2021年高考数学理科试卷真题及答案解析【精华】

2024年3月17日发(作者：上海市高考二模数学试卷)

四川省高考数学（理）试卷真题答案及解析

一、选择题

1.设集合A{x|(x1)(x2)0}，集合B{x|1

A.

{|x1x3}

x3}，则

A

2}

B

x3}

B.

{|x1x1}

C.

{|x1x

D.

{|2x

【答案】A

【解析】

A{x|1x2}

，且

B{x|1x3}

AB{x|1x3}

，故选A

2.设i是虚数单位，则复数

i

3

2

i

A.

i

B.

3i

C.

i

D.

3i

【答案】C

【解析】

i

3

22i

i

i

i

2

i

，故选C

3.执行如图所示的程序框图，输出S的值是

A.

3

B.

3

1

22

C.

2

D.

1

2

【答案】D

【解析】进入循环，当

k5

时才能输出

k

的值，则

Ssin

51

62

，

故选D

4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是

A.

ycos(2x

2

)

B.

ysin(2x

2

)

C.

ysin2xcos2x

D.

ysinxcosx

【答案】A

【解析】

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A.

y

cos(2

x

2

)sin2

x

可知其满足题意

B.

y

sin(2

x

k

2

)cos2

x

可知其图像的对称中心为

(

42

,0)(kZ)

，最小正

周期为

C.

y

sin2

x

cos2

x

2sin(2

x

4

)

可知其图像的对称中心为

(

k

28

,0)(kZ)

，最小正周期为

D. ysinxcosx2sin(x

4

)可知其图像的对称中心为(k

4

,0)(kZ)小

正周期为

2

2

5.过双曲线

x

2

y

3

1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线

于

A

、

B

两点，则

|AB|

A.

43

3

B. 23C.

6

D. 43

【答案】D

【解析】由题可知渐近线方程为

y3x

，右焦点

(2,0)

，

则直线

x2

与两条渐近线的交点分别为

A(2,23)

，

B(2,23)

，所以

|AB|43

6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的

偶数共有

（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个

【答案】B

【解析】分类讨论

①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数，其余位置没有限制，故有

CA

13

34

72

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种。

②当4在万位时，个位可以排0、2两个数，其余位置没有限制，固有

CA

13

24

48

种，

综上：共有120种。故选B。

7.设四边形ABCD为平行四边形，

AB

6,

AD

4

.若点M,N满足

BM

3

MC

，

DN

2

NC

，则

AMNM

（）

（A）20 （B）15 （C）9 （D）6

【答案】C

【解析】C.本题从解题方式方法上可有两种思路。

方法①：这个地方四边形ABCD为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而

以A为坐标原点建立坐标系。由

A（

0,0

），M（

6,34

）N（

,4

），

进而

AM

(6,3)

，

NM

(2,1)

，

AMNM

9

。

方法②：这个地方可以以

AB

，

AD

为基底向量，利用三角形法则将

AM

，

NM

分

别用基底向量表示可得

AMAB

3

11

4

AD

，

NM

3

AB

4

AD

则

311

434

AD

13

2

AMNMABADAB

3

AB

2

4

AD9

。

综合两种方法，显然方法①更具备高考解题的准确性和高效性。

8.设a,b都是不等于1的正数，则“

3

a

3

b

3

”是“

log3

a

log3

b

”的

（A）充要条件（B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】

B

【解析】条件

3

a

3

b

3

等价于

ab1

。当

ab1

时，

log

3

alog

3

b0

。所

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以，

11

a

log

b

。所以，“

33

b

3

”是“

log3

a

log3

b

”

3

alog

3

b

，即

log3

a

log3

的充分条件。但a

1

3

,b3也满足

log3

a

log3

b

，而不满足

ab1

。所以，

“

3

a

3

b

3

”是“log3

a

log3

b

”的不必要条件。故，选B。

9.如果函数

fx

1

2

m2x

2

n8x1mn0，0在区间

1

2

，

2

单调递

减，则mn的最大值为

（A）16 （B）18 （C）25 （D）

81

2

【答案】

B

【错误解析】由

fx

单调递减得：

fx0

，故

m2xn80

在

1

2

，

2

上

恒成立。而

m2xn8

是一次函数，在

1

2

，

2

上的图像是一条线段。故只须

在两个端点处

f

1

2

0,f20

即可。即

1

2

m2n80,1

，

2m2n80,2

2

由

212

得：

mn10

。所以，

mn

mn

2

25

. 选C。

【错误原因】

mn

当且仅当

mn5

时取到最大值

25

，而当

mn5

，

m,n

不满

足条件

1,2

。

【正确解析】同前面一样

m,n

满足条件

1,2

。由条件

2

得：m

1

2

12n。

于是，

mn

11n12n

2

2

n12n

22

18

。

mn

当且仅当m3,n6时取到最

大值

18

。经验证，

m3,n6

满足条件

1,2

。故选

B

。

10.设直线

l

与抛物线y

2

4x

相交于

A,B

两点，与圆

x5

2

y

2

r

2

r0

相切

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于点

M

，且

M

为线段

AB

的中点.若这样的直线

l

恰有4条，则

r

的取值范围

是

（A）

1，3

（B）

1，4

（C）

2，3

（D）

2，4

【答案】

D

【解析】当直线

l

与

x

轴垂直的时候，满足条件的直线有且只有

2

条。

当直线

l

与

x

轴不垂直的时候，由对称性不妨设切点

M5rcos,rsin0

，则切线的斜率为：k

cos

AB

sin

。另一方面，

由于

M

为

AB

中点，故由点差法得：

k

2

AB

rsin

。故r

2

cos

，

r2

。

由于

M5rcos,rsin

在抛物线内，所以满足y

2

4x

。代入并利用

rcos2

化简得到

r4

。故

2r4

。

当

2r4

时，由r

2

cos

知满足条件且在

x

轴上方的切点

M

只有

1

个。从

而总的切线有

4

条。故选

D

。

二、填空题

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11.在

2x1

8

的展开式中，含

x

2

的项的系数是________（用数字填写答案）

〖答案〗

-40

〖解析〗由题意知

x

2

的系数为：

C

3

x

2

(1)

3

5

40

12.

sin15

°

sin75

°

的值是________

〖答案〗

6

2

〖解析〗

sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30

=

322162

22224

sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30

322162

22224

sin15sin75

6

2

13.某食品的保鲜时间

y

（单位：小时）与储藏温度

x

（单位：

°

C）满足函数关

系

ye

kxb

（

e=2.718

为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在0

°

C的

保鲜时间是192小时，在23

°

C的保鲜时间是48小时，则该食品在33

°

C的保

鲜时间是________小时。

〖答案〗24

〖解析〗e

k0+b

192bln192,e

k22b

48k

ln4

22

4

故当

x33

时，e

33

ln

22

ln192

e

ln24

24

14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点

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M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC中点，设异面直线EM与AF所成的角

为，则

cos

的最大值为________

A

〖答案〗

2

5

〖解析〗

AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立坐标系，设正方形边长为

2

cos

2m2m

m

2

,

令

f(m)(m0,2)

555m

2

25

5m

2

25

(2m)10m

f(m)

25m

2

25

5m

2

25

m0,2,f()m0

f(m)

2

max

f(0)

2

5

，即cos

max

5

15.已知函数f(

x

)2

x

,

g

(

x

)

x

2

ax

(

其中aR

)

。对于不相等的实数

x

1

，

m

f(x

1

)f(x

2

)g(x

1

)g(x

2

)

xx

，n

12

xx

。现有如下命题：

12

(1) 对于任意不相等的实数

x

1

，

x

2

，都有

m0

；

(2) 对于任意a的及任意不相等的实数

x

1

，

x

2

，都有

n0

；

(3) 对于任意的a，存在不相等的实数

x

1

，

x

2

，使得mn;

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x

2

，设

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(4) 对于任意的a，存在不相等的实数

x

1

，

x

2

，使得mn.

其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。

〖答案〗(1) (4)

〖解析〗

(1)设

x

x

1

>

x

2

,函数2单调递增，所有2

x

1

>2

x

2

,

x

1

-

x

2

>0, 则

m

f(x

1

)f(x

x

1

2

)2

x

2

x

1

x

=

2

2

x

1

x

>0,所以正确；

2

(2)设

x

g(x

1

)g(x

2

)

1

>

x

2

,则

x

1

-

x

2

>0,则n

x

1

x

2

x

22

1

x

2

a(x

1

x

2

)(x

1

x

2

)(x

1

x

2

a)

xx

x

1

x

2

a，可令

x

1

=1，

x

2

=2，

1

x

21

x

2

a=—4，则n=—1<0，所以错误；

(3)因为mn，由（2）得：

f(x

1

)f(x

2

)

x

x

1

x

2

a

，分母乘到右边，右边即

1

x

2

为

g

(

x

1

)

g

(

x

2

)

，所以原等式即为

f(x

1

)f(x

2

)

=

g(x

1

)g(x

2

)

，

即为

f(x

1

)g(x

2

)

=

f(x

1

)g(x

2

)

，令

h(x)f(x)g(x)

,

则原题意转化为对于任意的

a

，函数

h(x)f(x)g(x)

存在不相等的实数

x

1

，

x

x

2

使得函数值相等，h(x)2

x

x

2

ax，则h(x)2ln22xa，则

h(x)2（

x

ln2）2

，

令

h

\"

x0

，且1x2，可得

h

\'

x

为极小值。若

a10000

，则

h

\'

x0

，

即

h

\'

x0

，

hx

单调递增，不满足题意，所以错误。

(4)由(3) 得

f

(

x

1

)

f

(

x

2

)

=

g(x

1

)g(x

2

)

，则

fx

1

gx

1

gx

2

fx

2

，设

hxfxgx

，有x

1

，x

2

使其函数值相等，则

hx

不恒为单调。

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hx2

x

x

2

ax

，

hx

\'

\'

2ln2

\'

x

2xa

，

hx

\'\'

2l

x

n2

2

20

恒成立，

hx

\'

单调递增且

h

三、简答题

0

，

h0

。所以

hx

先减后增，满足题意，所以正确。

16.（本小题12分）设数列{

a

n

}

的前

n

项和S

n

2a

n

a

1

，且a

1

,a

2

1,a

3

成等差数

列。

（1）求数列{

a

n

}

的通项公式；

（2）记数列

{

1

a

}

的前

n

项和

T

n

，求得使|T

n

1|

1

n

1000

成立的

解：（1）当n2时有，

a

n

S

n

S

n1

2a

n

a

1

(2a

n1

a

1

)

则a

n

2a

n1

(n2)

a

n

a

=2

（n32）

n-1

则

a

n

是以a

1

为首项，2为公比的等比数列。

又由题意得

2a

2

2a

1

a

3

22a

1

2a

1

4a

1

a

1

2

则

a

n

2

n

(nN

*

)

（2）由题意得

11

*

a

(nN)

n

2

n

11

由等比数列求和公式得T

2

[1()

n

]

1

n

n

2

1(

2

)

1

1

2

则T

n

1（）-

1

2

2

=(

1

n

2

)

又当n10时，

（

1

2

）

10

=1024

，（

1

9

2

）

=512

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n

的最小值。

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T

n

1

1

1000

成立时，

n

的最小值的

n10

。

点评：此题放在简答题的第一题，考察前

n

项和S

n

与通项a

n

的关系和等比数列

的求和公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我

们在复习时要紧抓课本，着重基础。

17.（本小题12分）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3

名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参

加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生

中随机抽取3人组成代表队

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

（2）某场比赛前。从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的

男生人数，求X得分布列和数学期望.

【解析】（1）正难则反。求出A中学中无学生入选代表队的概率，再用1减去

即能得到题目所求。

（2）由题意，知

X1,2,3

，分别求出相应的概率，由此能求出

X

的分布列和期

望。

【答案】

（1）设事件

A

表示“A中学至少有1名学生入选代表队”，

33

P(A)1

CC

34

CC

33

1

199

66

100100

（2）由题意，知

X1,2,3

,

3122

PX(1)

CC

33

1

C

4

;PX

33

3

13

33

1

6

5

(2)

CC

C

4

6

5

;PX(3)

CC

C

4

6

5

因此

X

的分布列为：

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