2023年12月2日发(作者：怎么40分钟写完数学试卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合M{2,4,6,8,10},N{x1x6}，则M∩N（A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}2．设(12i)ab2i，其中a,b为实数，则（A．a1,b1A．2B．3B．a1,b1C．4D．53．已知向量a(2,1)，b(2,4)，则|ab|（）C．a1,b1）D．a1,b1）D．{2,4,6,8,10}4．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6xy2,5．若x，y满足约束条件x2y4,则z2xy的最大值是（y0,A．2（A．2）B．22C．3）D．32B．42）C．8D．126．设F为抛物线C:y4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF||BF|，则|AB|7．执行右边的程序框图，输出的n（A．3B．4C．5D．6）8．右图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]的大致图像，则该函数是（x33xx3x2xcosx2sinxyA．yB．C．D．yyx21x21x21x219．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则（）A．平面B1EF平面BDD1C．平面B1EF∥平面A1ACA．14B．12C．6B．平面B1EF平面A1BDD．平面B1EF∥平面A1C1D））D．310．已知等比数列an的前3项和为168，a2a542，则a6（11．函数fxcosxx1sinx1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（A．12．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ππ，22B．3ππ，22C．ππ，222D．3ππ，2221132B．C．D．3232二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记Sn为等差数列an的前n项和．若2S33S26，则公差d_______．A．14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．15．过四点0,0,4,0,1,1,4,2中的三点的一个圆的方程为______．1b是奇函数，则a_____，b______．1x三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。16．若fxlna（一）必考题：共60分。17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsinABsinBsinCA．（1）若A2B，求C；22（2）证明：2abc.18．（12分）如图，四面体ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC，E为AC的中点．2（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设ABBD2,ACB60，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m）和材积量（单位：m），得到如下32FABC的体积．数据：样本号i根部横截面积xi材积量yi并计算得1010.040.2520.060.401030.040.222i40.080.5450.080.511060.050.3470.050.3680.070.4690.070.42100.060.40总和0.63.9xi12i0.038，y1.6158，xiyi0.2474．i1i1（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．2附：相关系数rxxyyi1iinxixyiy2i1i1nn2，1.8961.377．20．（12分）已知函数f(x)ax（1）当a0时，求（2）若1(a1)lnx．xf(x)的最大值；3,12f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,2),B两点．（1）求E的方程；（2）设过点P(1,2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH，证明：直线HN过定点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）x3cos2t,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极y2sint点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且abc1，证明：323232πm0．31；9abc1（2）．bcacab2abc（1）abc（全国乙卷）文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.D11.D12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.214.15.3##0.310x2y32224765或13或x2y15或xy339222281692；xy152516.①.1；2②.ln2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（1）5π；8（2）由sinCsinABsinBsinCA可得，sinCsinAcosBcosAsinBsinBsinCcosAcosCsinA，再由正弦定理可得，accosBbccosAbccosAabcosC，然后根据余弦定理可知，122212211acbbca2b2c2a2a2b2c2，化简得：22222a2b2c2，故原等式成立．18.【小问1详解】由于ADCD，E是AC的中点，所以ACDE.ADCD由于BDBD，所以△ADB△CDB，ADBCDB所以ABCB，故ACBD，由于DEBDD，DE,BDÌ平面BED，所以AC平面BED，由于AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.【小问2详解】依题意ABBDBC2，ACB60，三角形ABC是等边三角形，所以AC2,AECE1,BE3，由于ADCD,ADCD，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE2BE2BD2，所以DEBE，由于ACBEE，AC,BE平面ABC，所以DE平面ABC.由于△ADB△CDB，所以FBAFBC，BFBF由于FBAFBC，所以FBAFBC，ABCB所以AFCF，所以EFAC，由于SAFC1ACEF，所以当EF最短时，三角形AFC的面积最小值.2113，BEDEBDEF，解得EF2222过E作EFBD，垂足为F，在Rt△BED中，313，所以DF12,BF2DF222所以BF33，DEBD4过F作FHBE，垂足为H，则FH//DE，所以FH平面ABC，且所以FH3,411133.SABCFH2333244所以VFABC19.（1）0.06m2；0.39m3（2）0.97（3）1209m320.（1）1（2）0,y2x221.（1）143（2）(0,2)【小问1详解】解：设椭圆E的方程为mx2ny21，过A0,2,B3,1，24n111则9，解得m，n，3mn144y2x2所以椭圆E的方程为：1.43【小问2详解】32A(0,2),B(,1)，所以AB:y2x，2322xy①若过点P(1,2)的直线斜率不存在，直线x1.代入1，34可得M(1,22626)，N(1,)，代入AB方程yx2，可得3332626)，由MTTH得到H(265,).求得HN方程：33T(63,y(226)x2，过点(0,2).3②若过点P(1,2)的直线斜率存在，设kxy(k2)0,M(x1,y1),N(x2,y2).kxy(k2)0,得(3k24)x26k(2k)x3k(k4)0，联立x2y21348(2k)6k(2k)yyxx123k24123k24可得，，23k(4k)xxyy4(44k2k)12223k243k24且x1y2x2y124k(*)3k24yy13y,可得T(13,y1),H(3y16x1,y1).联立2yx223可求得此时HN:yy2y1y2(xx2)，3y16x1x2将(0,2)，代入整理得2(x1x2)6(y1y2)x1y2x2y13y1y2120，将(*)代入，得24k12k29648k24k4848k24k236k2480,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.（1）3xy2m0（2）195m122[选修4—5：不等式选讲]23.【小问1详解】证明：因为a0，b0，c0，则323232a0，b0，c0，3333abc所以a2b2c2，3323232即abc12333111，所以abc，当且仅当2时取等号．22，即abc3abc399【小问2详解】证明：因为a0，b0，c0，所以bc2bc，ac2ac，ab2ab，所以aaa，bbb，cccbc2bc2abcac2ac2abcab2ab2abc323232323232323232abcabcabc1bcacab2abc2abc2abc2abc2abc当且仅当abc时取等号.


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