人教版初中数学八年级上册期末试卷(2019-2020学年北京市海淀区

2023年12月2日发(作者：大连高二数学试卷答案)

2019-2020学年北京市海淀区

八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．共30分，每小题3分）

1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．（3分）2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（ ）

A．2×102

﹣B．2×103

﹣C．0.2×102

﹣D．0.2×103

﹣3．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）

A．a3•a2 B．a9﹣a3 C．（a2）3 D．a18÷a3

4．（3分）在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（ ）

A．x2+2x+4＝（x+2）2

C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2

B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）

D．x2+4＝（x+2）2

5．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：

（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．

（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．

（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．

（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）

第1页（共27页）

A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF

6．（3分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（ ）

A． B．1 C． D．a+b

7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（ ）

A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．S1＝S2 D．AD＝BC

8．（3分）如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（ ）

A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG

9．（3分）若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（ ）

A． B． C．第2页（共27页）

D． 10．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（ ）

①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长

②长方形ABCD的长宽之比可能为2

③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形

④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④

二、填空题（本大题共16分，每小题2分）

11．（2分）请写出一个只含有字母x的分式，当x＝3时分式的值为0，你写的分式是 ．

12．（2分）计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝ ．

13．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段 即可．

14．（2分）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是 ．

15．（2分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为 ．

第3页（共27页）

16．（2分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：

出行方式

地铁

公交

途径站点

草桥﹣大兴新城﹣大兴机场

北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣大兴机场

由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程： ．

17．（2分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为 ．

路程

全程约43公里

全程约54公里

18．（2分）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5 …，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6 …，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5 …，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5 …

（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 ；

第4页（共27页）

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20～22题每题5分，第23～26每题6分，第27题7分）

19．（8分）（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）1；

﹣（2）因式分解：3x2﹣12y2．

20．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．

21．（5分）已知a2﹣2ab+b2＝0，求代数式a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）的值．

22．（5分）如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：BE＝EF+FC．

23．（6分）已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2

（1）用x表示y；

（2）求代数式（x﹣）•+ 的值．

24．（6分）如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

交换命题的条件和结论，得到下面的命题：

第5页（共27页）

在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．

25．（6分）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：

x

B＝x2﹣2x+2

A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2

（1）完成上表；

（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．

①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；

②已知代数式ax2﹣10x+b 参照代数式3x2﹣4x+c 取值延后，请直接写出b﹣c的值： ．

26．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．

（1）在图中，依题意补全图形；

（2）记∠DAC＝α （α＜45° ），求∠ABF 的大小；（用含α 的式子表示）

（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．

﹣2

10

17

﹣1

5

10

0

2

5

1

1

2 3

5

第6页（共27页）

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l 为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1

；P1 关于直线l 的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：

（1）点（2，5）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；

（2）当点A在第一象限时，点M（3，1），N（3，﹣1）Q（﹣1，﹣3）中可以是点A的二次反射点的是 ；

（3）若点A在第二象限，点A1，A2 分别是点A的一次、二次反射点，△OA1A2 为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．

附加问题：若点A在y 轴左侧，点A1，A2 分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2 是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．

第7页（共27页）

2019-2020学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．共30分，每小题3分）

1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（3分）2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（ ）

A．2×102

﹣B．2×103

﹣C．0.2×102

﹣D．0.2×103

﹣﹣【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

第8页（共27页）

【解答】解：用科学记数法表示0.002＝2×103．

﹣故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，﹣n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）

A．a3•a2 B．a9﹣a3 C．（a2）3 D．a18÷a3

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．

【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；

B．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；

D．a18÷a3＝a15，故本选项不合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

4．（3分）在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（ ）

A．x2+2x+4＝（x+2）2

C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2

B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）

D．x2+4＝（x+2）2

【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；

B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；

C、原式＝（x﹣2）2，符合题意；

D、原式不能分解，不符合题意，

故选：C．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

5．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：

（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．

（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．

第9页（共27页）

（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．

（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）

A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF

【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．

【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；

而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；

故选：A．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

6．（3分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（ ）

A． B．1 C． D．a+b

【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝．

【解答】解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，

∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，

∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝故选：C．

【点评】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算是解题的关键．

第10页（共27页）

， 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（ ）

A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．S1＝S2 D．AD＝BC

【分析】由全等三角形的判定和等腰三角形的性质，依次进行推理判断即可求解．

【解答】解：若BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠BAD＝∠CAD，

∴AD是△ABC角平分线；

故A选项不符合题意；

若∠ADB＝∠ADC，且∠ADB+∠ADC＝180°，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，且AB＝AC，

∴AD是△ABC角平分线；

故B选项不符合题意；

若S1＝S2，

∴BD＝CD，且AB＝AC，

∴AD是△ABC角平分线；

故C选项不符合题意；

若AD＝BC，无法证明AD是△ABC角平分线；

故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

8．（3分）如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（ ）

第11页（共27页）

A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG

【分析】根据勾股定理和线段的和可得△ABC和△DFG三边分别相等，从而得结论．

【解答】解：设小正方形的边长为1，如图，

则AB＝DF＝3，BC＝DG＝∴△ABC≌△FDG（SSS），

故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用数形结合是解题的关键．

9．（3分）若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（ ）

A． B． C． D．

，AC＝FG＝＝，

【分析】根据分式的约分和减法进行分析即可．

【解答】解：A、＝，故此选项不合题意；

﹣＝＜0，故此选项不合题意； B、∵ab＝﹣4＜0，∴C、﹣﹣＝﹣∵∴﹣D、故选：D．

，

，

＜，故此选项不合题意；

，故此选项符合题意；

【点评】此题主要考查了分式的减法，关键是掌握比较两式大小可利用求差法．

10．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说第12页（共27页）

法正确的有（ ）

①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长

②长方形ABCD的长宽之比可能为2

③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形

④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④

【分析】根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，假设长方形的长宽比是2，推到出与已知的矛盾，排除②，根据长方形的周长为60，推到出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．

【解答】解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长；

②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b）

解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；

③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b

所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；

④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60

整理，得a+b＝10

所以四边形GHWD的面积为100．

故当长方形ABCD的周长为60时，它的面积不可能为100，故④的说法不正确．

综上正确的是①③．

故选：B．

第13页（共27页）

【点评】本题考查了长方形、正方形的周长和面积即等式的性质等知识点．掌握正方形的判定、长方形的周长公式和正方形的面积公式是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共16分，每小题2分）

11．（2分）请写出一个只含有字母x的分式，当x＝3时分式的值为0，你写的分式是

（答案不唯一） ．

【分析】根据题意可得分子为x﹣3，再确定分母即可．

【解答】解：由题意得：故答案为：．

，

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

12．（2分）计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝ 8a5 ．

【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值．

【解答】解：原式＝8a3•a4÷a2＝8a5，

故答案为：8a5

【点评】此题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段 DE 即可．

【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．

【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，

故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．

第14页（共27页）

故答案为：DE．

【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

14．（2分）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是 a+b ．

【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．

【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．

故答案为：a+b．

【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两边的长度之和大于第三边．

15．（2分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为 （4，0）或（6，0） ．

【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵点A（4，3），点C（5，3），

∴AC∥x轴，AC＝1，

连接AC，过C作CE∥AB交x轴于E，

∴AB＝CE，BE＝AC＝1，

∵点B（3，0），

第15页（共27页）

∴E（4，0），

以C为圆心，CE为半径画弧交x轴于E′，

则CE＝CE′＝AB，

过C作CD⊥x轴于D，

∴DE＝DE′＝1，

∴E′（6，0），

∴当CE＝AB时，点E的坐标为（4，0）或（6，0），

故答案为：（4，0）或（6，0）．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

16．（2分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：

出行方式

地铁

公交

途径站点

草桥﹣大兴新城﹣大兴机场

北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣大兴机场

由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：

．

【分析】若设公交的平均速度为x公里/时，则地铁的平均速度为2x公里/时，根据“小贝比小京少用了半小时到达机场”列出方程即可．

【解答】解：若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：故答案是：．

第16页（共27页）

路程

全程约43公里

全程约54公里

． 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

17．（2分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为 10 ．

【分析】延长AB、CD交于点E，证明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，证出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝10即可．

【解答】解：延长AB、CD交于点E，如图：

∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，

∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，

在△ADE和△ADC中，∴△ADE≌△ADC（ASA），

∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，

∵∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与∠CBE互补，

∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，

∴BC＝CE＝2CD＝10，

故答案为：10．

，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；证明三角形第17页（共27页）

全等是解题的关键．

18．（2分）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5 …，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6 …，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5 …，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5 …

（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 △P1P2P3 ；

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 18°≤α＜22.5° ．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．

（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．

【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，

∴∠OP2P1＝∠O＝30°，

∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，

∴∠OP2P3＝90°，

∴△P2P3P4不存在，

∴以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．

故答案为△P1P2P3．

（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，

需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，

∴18°≤α＜22.5°，

故答案为18°≤α＜22.5°．

【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20～22题每题5分，第23～26每题6分，第27题7分）

第18页（共27页）

19．（8分）（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）1；

﹣（2）因式分解：3x2﹣12y2．

【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及同底数幂的除法法则计算即可求出值；

（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：（1）原式＝1﹣32+3＝1﹣9+3＝﹣5；

（2）原式＝3（x2﹣4y2）＝3（x+2y）（x﹣2y）．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．

【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD＝CD．

【解答】证明：∵ED∥AC，

∴∠EDA＝∠DAC，

∵ED＝AE，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴∠EAD＝∠DAC，

在△ADB和△ADC中，

∴△ADB≌△ADC（SAS），

∴BD＝CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明△ADB≌△ADC是本题的关键．

21．（5分）已知a2﹣2ab+b2＝0，求代数式a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）的值．

第19页（共27页）

【分析】根据完全平方公式求出a＝b，再根据单项式乘以多项式和平方差公式算乘法，合并同类项，代入求出即可．

【解答】解：∵a2﹣2ab+b2＝0，

∴（a﹣b）2＝0，

∴a＝b，

a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）

＝4a2﹣ab﹣4a2+b2

＝﹣ab+b2

＝﹣a2+a2

＝0．

【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算和求值等知识点，能求出a＝b和能根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

22．（5分）如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：BE＝EF+FC．

【分析】（1）依题意补全图形即可；

（2）证明△ABE≌△CAF（AAS）．得出BE＝AF，AE＝CF．即可得出结论．

【解答】（1）解：依题意补全图形：

（2）证明：∵AB⊥AC，BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠B＝90°，∠CFA＝∠AEB＝90°．

∴∠CAF＝∠B．

在△ABE和△CAF中，∴△ABE≌△CAF（AAS）．

第20页（共27页）

， ∴BE＝AF，AE＝CF．

∵AF＝AE+EF，

∴BE＝EF+CF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质；证明三角形全等是解题的关键．

23．（6分）已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2

（1）用x表示y；

（2）求代数式（x﹣）•+ 的值．

【分析】（1）先由已知条件得到a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，然后利用整体代入的方法可用x表示y；

（2）先把y＝（x+2）2代入得到关于x的代数式，再把括号内通分，约分后进行同分母的加法运算即可．

【解答】解：（1）∵x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2，

∴a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．

∴y＝（x+2）2；

（2）原式＝＝＝＝＝1．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

第21页（共27页）

•++

+

24．（6分）如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

交换命题的条件和结论，得到下面的命题：

在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．

【分析】延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明△ABD是等边三角形，得到∠BAD＝60°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．

【解答】解：此命题是真命题，

理由如下：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，

∵∠ACB＝90°，CD＝BC，

∴AC是线段BD的垂直平分线，

∴AB＝AD，

∵CB＝AB，

∴BD＝AB，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠BAD＝60°，

∵AC⊥BD，

∴∠BAC＝∠BAD＝30°．

【点评】本题考查的是命题的证明，掌握等边三角形的性质、正确作出辅助性是解题的第22页（共27页）

关键．

25．（6分）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：

x

B＝x2﹣2x+2

A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2

（1）完成上表；

（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．

①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；

②已知代数式ax2﹣10x+b 参照代数式3x2﹣4x+c 取值延后，请直接写出b﹣c的值：

7 ．

【分析】（1）分别将x代入即可求得；

（2）①D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；

②由①可得a＝3，3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）x2﹣10（x﹣m）+b，则﹣6m﹣10＝﹣4，c＝b+3m2﹣10，则可求b﹣c＝7．

【解答】解：（1）将x＝2代入B＝x2﹣2x+2中，得B＝4﹣4+2＝2；

将x＝1代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，

将x＝2代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝1，

将x＝3代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，

故答案为2，2，1，2；

（2）①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，

∴D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；

②由①可得a＝3，

3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）2﹣10（x﹣m）+b，

∴﹣6m﹣10＝﹣4，

∴m＝﹣1，

第23页（共27页）

﹣2

10

17

﹣1

5

10

0

2

5

1

1

2

2

3

5

2 1 2 ∵c＝b+3﹣10，

∴b﹣c＝7，

故答案为7．

【点评】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确的列出代数式，并进行求解即可．

26．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．

（1）在图中，依题意补全图形；

（2）记∠DAC＝α （α＜45° ），求∠ABF 的大小；（用含α 的式子表示）

（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；

（2）先判断出AE＝AC，再表示出∠BAE，即可得出结论；

（3）先判断出△BCF是直角三角形，结合△ACE是等边三角形，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图1所示；

（2）如图2，

连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，

∴∠BAE＝90°﹣2α，

∵AB＝AC，

∴AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴

；

第24页（共27页）

（3），

证明：如备用图，连接AE，CF，

由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝45°，

∴∠CBF＝α，

∵点C关于直线AD的对称点为点E，

∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，

∴∠BCF＝90°﹣α，

∵∠CBF+∠BCF＝90°，

∴△BCF是直角三角形．

∵△ACE是等边三角形，

∴α＝30°．

∴∠CBF＝30°

∴．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△BCF是直角三角形是解本题的关键．

第25页（共27页）

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l 为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1

；P1 关于直线l 的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：

（1）点（2，5）的一次反射点为 （﹣2，5） ，二次反射点为 （5，﹣2） ；

（2）当点A在第一象限时，点M（3，1），N（3，﹣1）Q（﹣1，﹣3）中可以是点A的二次反射点的是 N点 ；

（3）若点A在第二象限，点A1，A2 分别是点A的一次、二次反射点，△OA1A2 为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．

附加问题：若点A在y 轴左侧，点A1，A2 分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2 是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．

【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可．

（2）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可．

（3）由题意点A在第二象限，推出点A1，A2均在第一象限．由△OA1A2为等边三角形，A1，A2关于OB对称，推出∠A1OB＝∠A2OB＝30°，分两种情形分别求解即可解决问题．

【解答】解：（1）由题意：点（2，5）的一次反射点为（﹣2，5），二次反射点为（5，﹣2）．

故答案为（﹣2，5），（5，﹣2）．

（2）由题意点A的二次反射点在第四象限，

第26页（共27页）

故答案为N点．

（3）∵点A在第二象限，

∴点A1，A2均在第一象限．

∵△OA1A2为等边三角形，A1，A2关于OB对称，

∴∠A1OB＝∠A2OB＝30°

分类讨论：

①若点A1位于直线l的上方，如图1所示，此时∠AOC＝∠A1OC＝15°，因此射线OA与x轴所夹锐角为75°．

②若点A1位于直线l的上下方，如图2所示，此时∠AOC＝∠A1OC＝75°，因此射线OA与x轴所夹锐角为15°．

综上所述，射线OA与x轴所夹锐角为75°或15°．

附加题：若点A在y 轴左侧，点A1，A2 分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2 是等腰直角三角形，则点A在平面直角坐标系xOy中的位置：x轴负半轴或第三象限的角平分线．

【点评】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，坐标由图形变化﹣对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

第27页（共27页）