送你十五道有价值的初中数学几何解答题(含解析)

2024年1月10日发(作者：数学试卷考差学生什么能力)

送你十五道有价值的初中数学几何解答题

一．解答题（共15小题）

1．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC的平分线，OEAB，OFCD．

（1）若AOD50，请求出DOP的度数；

（2）OP平分EOF吗？为什么？

2．已知，AB//CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，若EAF30，EDG40，则AED

；

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则AED、EDGEAF、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

（3）如图3，DI平分EDC，交AE于点K，交AI于点I，且EAI:BAI1:2，AED22，I20，求EKD的度数．

3．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，ABCADC90，BCD是锐角．

（1）若BDBC，证明：sinBCDBD．

ACBD的值．

AC（2）若ABBC4，ADCD6，求（3）若BDCD，AB6，BC8，求sinBCD的值．

（注:本题可根据需要自己画图并解答）

第1页（共36页）

4．如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，AFCB，垂足为F．

（1）求证：ABCADE；

（2）求FAE的度数；

（3）求证：CD2BFDE．

5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD交于点O，CE平分ACD交BD于点E，

（1）求DE的长；

（2）过点EF作EFCE，交AB于点F，求BF的长；

（3）过点E作EGCE，交CD于点G，求DG的长．

6．（1）一个多边形每个内角都相等，且每个外角等于一个内角的边形的边数；

2，求这个多3（2）两个多边形边数之比为3:4，内角和之比为2:3，求这两个多边形的边数．

7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将OAB变换成△OA1B1第二次将△OA1B1变换成△第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1,3)，OA2B2，A1(2,3)，A2(4,3)，A3(8,3)，B(2,0)，第2页（共36页）

B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0)．

（1）求OAB的面积；

（2）写出△OA4B4的各个顶点的坐标；

（3）按此图形变化规律，你能写出△OAnBn的面积与OAB的面积的大小关系吗？

8．如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DHAC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线；

（2）若FD3，求证；A为EH的中点．

EF2（3）若EAEF1，求圆O的半径．

9．如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，以OA为半径的eO与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分BAC；

（2）若BAC60，OA2，求阴影部分的面积（结果保留)．

10．如图，AH是圆O的直径，AE平分FAH，交eO于点E，过点E的直线FGAF，第3页（共36页）

垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：直线FG是eO的切线；

（2）若AD8，EB5，求eO的直径．

11．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CECB．

（1）求证：BC是eO的切线；

（2）连接AF，BF，求ABF的度数；

（3）如果OA3，求AEgAB的值．

12．如图，以ABC的BC边上一点O为圆心，经过A、C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若ABBF．

（1）求CAD的度数；

（2）求证：AB是eO的切线；

（3）若CF8，DF210，求线段AB的长．

13．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在第4页（共36页）

弧BM上．

（1）如图1，MA6，MB8，NOB60，求NB的长；

（2）如图2，过点M作MCAB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究MCP、NAB、MBA之间的数量关系，并证明．

14．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且PDAPBD．延长PD交圆的切线BE于点E

（1）判断直线PD是否为eO的切线，并说明理由；

（2）如果BED60，PD3，求PA的长．

（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

15．如图， 点C是BA延长线上一点，CD切eO于点D，CA1，AB是eO的直径，CD是eO半径的3倍 ．

（1） 求eO的半径R；

（2） 如图 1 ，弦DE//CB，动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中， 图中阴影部分的面积是否发生变化， 若发生变化， 请你说明理由；若不发生变化， 请你求出阴影部分的面积；

（3） 如图 2 ，动点M从A出发， 在eO上按逆时针方向向B运动 ． 连接DM，第5页（共36页）

过D作DM的垂线， 与MB的延长线交于点N，当点M运动到什么位置时，DN取到最大值？求此时动点M所经过的弧长 ．

第6页（共36页）

参考答案与试题解析

一．解答题（共15小题）

1．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC的平分线，OEAB，OFCD．

（1）若AOD50，请求出DOP的度数；

（2）OP平分EOF吗？为什么？

1【思路】（1）根据对顶角相等、角平分线的性质求得COPBOC25；然后由平角2的定义推知COD180，则DOPCODCOP；

（2）根据垂直的定义、角平分线的定义求得EOPFOP．

【解析】（1）Q直线AB与CD相交于点O，

BOCAOD50，

QOP是BOC的平分线，

11COPBOC5025，

22DOPCODCOP18025155；

（2）OP平分EOF，

理由如下：QOEAB，OFCD，

EOBCOF90，

QOP是BOC的平分线，

POCPOB，

EOBPOBCOFPOC，即EOPFOP，

OP平分EOF．

【考点】本题考查了垂直的定义，对顶角、邻补角以及角平分线的定义．解题时一定要数形结合．

2．已知，AB//CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，若EAF30，EDG40，则AED 70

；

第7页（共36页）

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则AED、EDGEAF、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

（3）如图3，DI平分EDC，交AE于点K，交AI于点I，且EAI:BAI1:2，AED22，I20，求EKD的度数．

【思路】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得DAHE40，再根据AED是AEH的外角，即可得到AEDAAHE304070；

（2）依据AB//CD，可得EAFEHC，再根据EHC是DEH的外角，即可得到EHGAEDEDG，即EAFAEDEDG；

（3）设EAI，则BAE3，进而得出EDK2，依据EHCEAFAEDEDG，可得32224，求得EDK16，即可得出EKD的度数．

【解析】（1）如图，延长DE交AB于H，

QAB//CD，

DAHE40，

QAED是AEH的外角，

AEDAAHE304070，

故答案为：70；

（2）EAFAEDEDG．

理由：QAB//CD，

EAFEHC，

QEHC是DEH的外角，

EHGAEDEDG，

EAFAEDEDG；

第8页（共36页）

（3）QEAI:BAI1:2，

设EAI，则BAE3，

QAED22，I20，DKEAKI，

又QEDKDKEDEK180，KAIKIAAKI180，

EDK2，

QDI平分EDC，

CDE2EDK24，

QAB//CD，

EHCEAFAEDEDG，

即32224，

解得18，

EDK16，

在DKE中，EKD1801622142．

【考点】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

3．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，ABCADC90，BCD是锐角．

（1）若BDBC，证明：sinBCDBD．

ACBD的值．

AC（2）若ABBC4，ADCD6，求（3）若BDCD，AB6，BC8，求sinBCD的值．

（注:本题可根据需要自己画图并解答）

第9页（共36页）

【思路】（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，只要证明BED∽ABC，即可解决问题．

（2）如图2中，过点B作BFBD交DC的延长线于F．只要证明DABCBF，推出DFADCD6，求出BD、AC即可．

（3）当BDCD时，如图3中，过点B作MN//DC，过点C作CNMN，垂足为NM延长BA交MN于点N，则四边形DCNM是矩形，ABM∽BCN，所以AMMBAB6，设AM6y，BN8y，BM6x，CN8x，通过BDDC，BNCNBC8列出方程求出x、y的关系，求出AB，即可解决问题．

【解析】（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，

QABCADC90，

ADCABC180，

四边形ABCD四点共圆，

BDEACB，EABBCD，

QBEDABC90，

BED∽ABC，

BDBEsinEABsinBCD；

ACAB

（2）如图2中，过点B作BFBD交DC的延长线于F．

第10页（共36页）

QABCDBF90，BADBCDABCADC360，ABCADC180，BAD180BCDBCF，

QBCFBAD，BCBA，

DABCBF，

BDBF，ADCF，

QDBF90，

BDF是等腰直角三角形，

BD12DF，

2QADCD6，

CFCDDF6，

BD32，ACAB2BC242，

BD323．

AC424

（3）当BDCD时，如图3中，过点B作MN//DC，过点C作CNMN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，ABM∽BCN，

AMBMAB6，

BNNCBC8设AM6y，BN8y，BM6x，CN8x，

第11页（共36页）

在RtBDM中，BDBM2DM210x，

QBDDC，

10x6x8y，

x2y，

在RtABM中，AB(6y)2(12y)265y，

sinBCDsinMABBM12y25．

AB65y5【考点】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形，学会利用参数解决问题．

4．如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，AFCB，垂足为F．

（1）求证：ABCADE；

（2）求FAE的度数；

（3）求证：CD2BFDE．

【思路】（1）根据题意和题目中的条件可以找出ABCADE的条件；

（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到FAE的度数；

（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．

【解析】证明：（1）QBADCAE90，

BACCAD90，CADDAE90，

BACDAE，

在BAC和DAE中，

ABADBACDAE，

ACAE第12页（共36页）

BACDAE(SAS)；

（2）QCAE90，ACAE，

E45，

由（1）知BACDAE，

BCAE45，

QAFBC，

CFA90，

CAF45，

FAEFACCAE4590135；

（3）延长BF到G，使得FGFB，

QAFBG，

AFGAFB90，

在AFB和AFG中，

BFGFAFBAFG，

AFAFAFBAFG(SAS)，

ABAG，ABFG，

QBACDAE，

ABAD，CBAEDA，CBED，

AGAD，ABFCDA，

GCDA，

QGCADCA45，

在CGA和CDA中，

GCADCACGACDA，

AGADCGCD，

QCGCBBFFGCB2BFDE2BF，

CD2BFDE．

第13页（共36页）

【考点】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD交于点O，CE平分ACD交BD于点E，

（1）求DE的长；

（2）过点EF作EFCE，交AB于点F，求BF的长；

（3）过点E作EGCE，交CD于点G，求DG的长．

【思路】（1）求出BCBE，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；

（2）求出FEBECD，根据全等三角形的性质得出BFDE即可；

（3）延长GE交AB于F，证GDE∽FBE，得出比例式，代入即可求出答案．

【解析】（1）Q四边形ABCD是正方形，

ABCADC90，

DBCBCAACD45，

QCE平分DCA，

第14页（共36页）

ACEDCE12ACD22.5，

BCEBCAACE4522.567.5，

QDBC45，

BEC18067.54567.5BCE，

BEBC2，

在RtACD中，由勾股定理得：BD(2)2(2)22，DEBDBE22；

（2）QFECE，

CEF90，

FEBCEFCEB9067.522.5DCE，

QFBECDE45，BEBCCD，

FEBECD，

BFDE22；

（3）延长GE交AB于F，

由（2）知：DEBF22，

由（1）知：BEBC2，

Q四边形ABCD是正方形，

第15页（共36页）

AB//DC，

DGE∽BFE，

DGDE，

BFBEDG22222，

解得：DG324．

【考点】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．

6．（1）一个多边形每个内角都相等，且每个外角等于一个内角的边形的边数；

2，求这个多3（2）两个多边形边数之比为3:4，内角和之比为2:3，求这两个多边形的边数．

【思路】（1）一个多边形的每个外角都等于其内角2，则内角和是外角和的1.53倍，根据多边形的外角和是360，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．

（2）设多边形的边数为3n，则另一个为4n，分别表示出两个多边形的内角和得到有关n的方程求解即可．

【解析】（1）多边形的内角和是：3601.5540．

设多边形的边数是n，

则(n2)g180540，

解得：n5．

故这个多边形的边数是5；

（2）Q两个多边形的边数之比为3:4，

设多边形的边数为3n，则另一个为4n，

Q内角和度数之比为2:3，

(3n2):(4n2)2:3，

解得：n2，

3n6，

第16页（共36页）

4n8．

故这两个多边形的边数分别为6和8．

【考点】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．（2）中正确的设出边数并表示出其内角和是解决本题的关键．

7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将OAB变换成△OA1B1第二次将△OA1B1变换成△第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1,3)，OA2B2，A1(2,3)，A2(4,3)，A3(8,3)，B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0)．

（1）求OAB的面积；

（2）写出△OA4B4的各个顶点的坐标；

（3）按此图形变化规律，你能写出△OAnBn的面积与OAB的面积的大小关系吗？

1【思路】（1）根据三角形的面积公式：面积底高进行计算即可；

2（2）对于A1，A2An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n，而纵坐标都是3，同理B1，B2，Bn也一样找规律．

（3）根据三角形的底边后一个是前一个三角形的底边的2倍，先求出△OAnBn的底边OBn的长度，高都是3不变，然后利用三角形的面积公式分别计算出两三角形的面积，相除即可得到倍数．

1【解析】（1）SOABOBgyA

21233；

2

（2）根据图示知O的坐标是(0,0)；

已知A(1,3)，A1(2,3)，A2(4,3)，A3(8,3)，对于A1，A2An坐标找规律比较从而发现An的第17页（共36页）

横坐标为2n，而纵坐标都是3；

同理B1，B2Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n1，纵坐标为0．

由上规律可知：A4的坐标是(16,3)，B4的坐标是(32,0)；

综上所述，O(0,0)，A4(16,3)，B4(32,0)；

（3）根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，

OBn2n1，

1SOAnBn2n1332n2nSOAB

2即SOAnBn2nSOAB．

【考点】本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．

8．如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DHAC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线；

（2）若FD3，求证；A为EH的中点．

EF2（3）若EAEF1，求圆O的半径．

【思路】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：则DHOD，ODBOBDACB，DH是圆O的切线；

（2）如图2，先证明EBC，得EDC是等腰三角形，证明AEF∽ODF，则FDOD3，设OD3x，AE2x，可得EC8x，根据等腰三角形三线合一得：EFAE2EHCH4x，从而得结论；

（3）如图2，设eO的半径为r，即ODOBr，证明DFODr，则DEDFEFr1，第18页（共36页）

BDCDDEr1，证明BFD∽EFA，列比例式为：EFBF，则列方程可求出rFAFD的值．

【解析】证明：（1）连接OD，如图1，

QOBOD，

ODB是等腰三角形，

OBDODB①，

在ABC中，QABAC，

ABCACB②，

由①②得：ODBOBDACB，

OD//AC，

QDHAC，

DHOD，

DH是圆O的切线；

（2）如图1，在eO中，QEB，

由（1）可知：EBC，

EDC是等腰三角形，

QFDEF32，

QAE//OD，

AEF∽ODF，

FDEFODAE32，

设OD3x，AE2x，

QAOBO，OD//AC，

BDCD，

AC2OD6x，

ECAEAC2x6x8x，

QEDDC，DHEC，

EHCH4x，

AHEHAE4x2x2x，

第19页（共36页）

AEAH，

A是EH的中点；

（3）如图1，设eO的半径为r，即ODOBr，

QEFEA，

EFAEAF，

QOD//EC，

FODEAF，

则FODEAFEFAOFD，

DFODr，

DEDFEFr1，

BDCDDEr1，

在eO中，QBDEEAB，

BFDEFAEABBDE，

BFBD，BDF是等腰三角形，

BFBDr1，

AFABBF2OBBF2r(1r)r1，

QBFDEFA，BE，

BFD∽EFA，

EFBFFAFD，

1r1r1r，

解得：r1512，r1522（舍)，

综上所述，eO的半径为152．

第20页（共36页）

【考点】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．

9．如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，以OA为半径的eO与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分BAC；

（2）若BAC60，OA2，求阴影部分的面积（结果保留)．

【思路】（1）由RtABC中，C90，eO切BC于D，易证得AC//OD，继而证得AD平分CAB．

（2）如图，连接ED，根据（1）中AC//OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则AEMDMO，则图中阴影部分的面积扇形EOD的面积．

【解析】（1）证明：QeO切BC于D，

ODBC，

QACBC，

AC//OD，

CADADO，

QOAOD，

OADADO，

OADCAD，

即AD平分CAB；

（2）设EO与AD交于点M，连接ED．

QBAC60，OAOE，

第21页（共36页）

AEO是等边三角形，

AEOA，AOE60，

AEAOOD，

又由（1）知，AC//OD即AE//OD，

四边形AEDO是菱形，则AEMDMO，EOD60，

SAEMSDMO，

S阴影S扇形EOD60222．

3603

【考点】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

10．如图，AH是圆O的直径，AE平分FAH，交eO于点E，过点E的直线FGAF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：直线FG是eO的切线；

（2）若AD8，EB5，求eO的直径．

【思路】（1）连接OE，证明FG是eO的切线，只要证明OEF90即可；

（2）先求出CE，利用角平分线得出EFBE5，进而求出CF，即可利用勾股定理求出AB，最后用勾股定理即可得出结论．

【解析】（1）如图1，连接OE，

第22页（共36页）

QOAOE，

EAOAEO，

QAE平分FAH，

EAOFAE，

FAEAEO，

AF//OE，

AFEOEF180，

QAFGF，

AFEOEF90，

OEGF，

Q点E在圆上，OE是半径，

GF是eO的切线．

（2）设ABx，

Q四边形ABCD是矩形，

ABCDx，BCAD8，

CEBCBE3，

QAE是BAF的角平分线，BEAB，EFAF，

EFBE5，

在RtCEF中，根据勾股定理得，CF4，

DFCDCFx4，

在RtABE和RtAFE中，EFEBAEAE，

第23页（共36页）

RtABERtAFE(HL)，

AFABx，

在RtADF中，x2(x4)264，

x10，

AB10，

设eO的半径为r，

OB10r，

在RtBOE中，r2(10r)225，

r25，

425．

2eO的直径为【考点】本题考查的是切线的判定，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定理，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可

11．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CECB．

（1）求证：BC是eO的切线；

（2）连接AF，BF，求ABF的度数；

（3）如果OA3，求AEgAB的值．

【思路】（1）连接OB．欲证明BC是切线，只要证明OBBC即可；

1（2）连接OF．只要证明AOF是等边三角形，可得ABFAOF30；

2（3）只要证明DAE∽BAH，可得【解析】（1）证明：连接OB．

ADAE，即可推出AEgABADgAH；

ABAH第24页（共36页）

QCDOA，

ADE90，

DAEAED90，

QOAOB，

AOBA，

QCECB，

CBECEBAED，

ABOCBE90，

OBC90，

OBBC．

（2）连接OF．

QADOD，FDOA，

FAFOAO，

AOF是等边三角形，

AOF60，

ABF12AOF30．

（3）延长AO交eO于H，连接BH．

QAH是直径，

ABHADE90，QDAEHAB，

DAE∽BAH，

ADAEABAH，

第25页（共36页）

3AEgABADgAH69．

2【考点】本题考查圆综合题、切线的判定、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

12．如图，以ABC的BC边上一点O为圆心，经过A、C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若ABBF．

（1）求CAD的度数；

（2）求证：AB是eO的切线；

（3）若CF8，DF210，求线段AB的长．

¶的度数是90，根据圆周角定理得出即可； 【思路】（1）求出CD（2）求出OADBADODFOFD1809090，根据切线的判定得出即可；

（3）根据勾股定理求出半径，根据切割线定理得出AB2BEBC，代入即可求出AB．

¶的中点， 【解析】（1）QCE为eO直径，D为CE¶的度数是90，

CD1CAD9045；

2

（2）证明：连接OA，QOA0D，

ODAOAD，

¶的中点，

QOD为半径，D为EC

ODCE，

第26页（共36页）

DOF90，

ODAOFD90，

QBAFAFB，AFBOFD，

OAFBAF90，

即OAAB，

AB是eO的切线；

（3）设OEOCODR，

在RtOFD中，OF2OD2DF2，

QCF8，DF210，

(8R)2R2(210)2，

解得：R2或6，

QCF8，

R2舍去，

即OEODOC6，CE12，EF624，

QBA是eO的切线，BEC是eO的割线，

由切割线定理得：AB2BEBC，

QABBF，

AB2(AB4)(AB8)，

解得：AB8．

【考点】本题考查了垂径定理，切割线定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

13．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．

第27页（共36页）

（1）如图1，MA6，MB8，NOB60，求NB的长；

（2）如图2，过点M作MCAB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究MCP、NAB、MBA之间的数量关系，并证明．

【思路】（1）只要证明OBN是等边三角形即可解决问题；

（2）结论：MCPMBANAB90．方法一：如图2中，画eO，延长MC交eO于点Q，连接NQ，NB．关键是证明CP//QN；

方法二：如图21中，连接MO，OP，NO，BN．关键是证明MCPNBM；

【解析】（1）如图1，QAB是半圆O的直径，

M90，

在RtAMB中，ABMA2MB2，

AB10．

OB5，

QOBON，

又QNOB60，

NOB是等边三角形，

NBOB5．

（2）结论：MCPMBANAB90．

理由：方法一：如图2中，

第28页（共36页）

画eO，延长MC交eO于点Q，连接NQ，NB．QMCAB，

又QOMOQ，

MCCQ，

即

C是MQ的中点，

又QP是MQ的中点，

CP是MQN的中位线，

CP//QN，

MCPMQN，

QMQN12MON，MBN12MON，

MQNMBN，

MCPMBN，

QAB是直径，

ANB90，

在ANB中，NBANAB90，

MBNMBANAB90，

即MCPMBANAB90．

方法二：如图21中，连接MO，OP，NO，BN．第29页（共36页）

QP是MN中点，

又QOMON，

OPMN，

1且MOPMON，

2QMCAB，

MCOMPO90，

设OM的中点为Q，

则

QMQOQCQP，

点C，P在以OM为直径的圆上，

1在该圆中，MCPMOPMQP，

21又QMOPMON，

21MCPMON，

21在半圆O中，NBMMON，

2MCPNBM，

QAB是直径，

ANB90，

在ANB中，NBANAB90，

NBMMBANAB90，

即MCPMBANAB90．

【考点】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．

第30页（共36页）

14．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且PDAPBD．延长PD交圆的切线BE于点E

（1）判断直线PD是否为eO的切线，并说明理由；

（2）如果BED60，PD3，求PA的长．

（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

【思路】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得ADB90，进而求得ADOPDA90，即可得出直线PD为eO的切线；

（2）根据BE是eO的切线，则EBA90，即可求得P30，再由PD为eO的切线，得PDO90，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；

（3）根据题意可证得ADFPDAPBDABF，由AB是圆O的直径，得ADB90，设PBDx，则可表示出DAFPAD90x，DBF2x，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．

【解析】（1）直线PD为eO的切线

证明：如图1，连接OD，QAB是圆O的直径，ADB90

ADOBDO90，

又QDOBO，BDOPBD

QPDAPBD，BDOPDA

ADOPDA90，即PDOD

Q点D在eO上，直线PD为eO的切线．

（2）QBE是eO的切线，EBA90

QBED60，P30

第31页（共36页）

QPD为eO的切线，PDO90

在RtPDO中，P30，PD3

tan30OD，解得OD1

PDPOPD2OD22

PAPOAO211

（3）（方法一）证明：如图2，依题意得：ADFPDA，PADDAF

QPDAPBDADFABF

ADFPDAPBDABF

QAB是圆O的直径ADB90

设PBDx，则DAFPAD90x，DBF2x

Q四边形AFBD内接于eO，DAFDBF180

即90x2x180，解得x30

ADFPDAPBDABF30

QBE、ED是eO的切线，DEBE，EBA90

DBE60，BDE是等边三角形．

BDDEBE

又QFDBADBADF903060DBF2x60

BDF是等边三角形．BDDFBF

DEBEDFBF，四边形DFBE为菱形

（方法二）证明：如图3，依题意得：ADFPDA，APDAFD，

QPDAPBD，ADFABF，PADDAF，

ADFAFDBPDABF

ADAF，BF//PD

DFPBQBE为切线BEPB

DF//BE

四边形DFBE为平行四边形

QPE、BE为切线BEDE

第32页（共36页）

四边形DFBE为菱形

【考点】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．

15．如图， 点C是BA延长线上一点，CD切eO于点D，CA1，AB是eO的直径，CD是eO半径的3倍 ．

（1） 求eO的半径R；

（2） 如图 1 ，弦DE//CB，动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中， 图中阴影部分的面积是否发生变化， 若发生变化， 请你说明理由；若不发生变化， 请你求出阴影部分的面积；

（3） 如图 2 ，动点M从A出发， 在eO上按逆时针方向向B运动 ． 连接DM，第33页（共36页）

过D作DM的垂线， 与MB的延长线交于点N，当点M运动到什么位置时，DN取到最大值？求此时动点M所经过的弧长 ．

【思路】（1） 由题意，CD是eO半径的3倍，CA1，在直角CDO中， 根据勾股定理CD2OD2CO2，代入即可求出；

（2） 由DE//CB，可知， 动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中，DEQ的面积不变， 则阴影部分的面积不变；当点Q运动到O点时， 则DOE60，即可求出阴影部分的面积；

（3） 如图， 连接AD、BD，当DM过圆心O时，DN取到最大值；易证由已知， 可求得，AD1，BD3，所以，DN3DM，ADB∽MDN，AM的长 ．

此时，AOM120，即可求得·【解析】 （1）QCD切eO于点D，

三角形CDO是直角三角形，

QCA1，CD是eO半径的3倍，

在直角CDO中，CD2OD2CO2，

则，(3R)2R2(1R)2，

R1；

（2）QDE//CB，

动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中，DEQ的底DE不变， 底DE上的高不变，

第34页（共36页）

DEQ的面积不变， 则阴影部分的面积不变；

由OD1，CO2，

C30，则COD60，

ODE60，

QODEOED，

OED60

DOE60，

S阴影

601R2；

3606（3） 如图， 连接AD、BD，

DABDMN，又ADBMDN90，

ADB∽MDN，

又AD1，AB2，

BD3，

DNBD3，

DMADDN3DM，

当DM为最大值， 即DM过圆心O时，DN取到最大值；

QAOD60，

AOM120，

·AM12022R．

3603

第35页（共36页）

【考点】本题考查了切线的性质、 扇形面积的计算、 弧长的计算及直角三角形的知识， 作辅助线连接圆心和切点， 利用垂直构造直角三角形解决是解答本题的关键 ．

第36页（共36页）