2024年3月16日发(作者：2022年襄汾中考数学试卷)
2017考研数学(二)科目中行列式怎么算？
（来源：文都教育）
在往年的数学（二）考试大纲中，明确要求考生“会应用行列式
的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式”。文都教育认为，
鉴于考研数学大纲的稳定性，在2017考研的数学（二）科目中依然
会出现计算行列式的题目，因此系统详细地研究这个知识点很有必要。
（一）计算行列式的主要方法
计算行列式一般有两个思路：将一般行列式转化为上（下）三角
行列式或对行列式进行降阶，具体的计算方法主要有如下几种：
（1）应用行列式的性质计算行列式：
①
行列式中两行（列）互换，行列式的值变号。
②
行列式的某一行（列）有公因子k，则k可以提取到行列式外。
③
若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把行列
式拆成两个行列式之和。
④
把行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值
不变。
（2）应用行列式按行（列）展开定理计算行列式：
n阶行列式等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子
式乘积之和，即
Aa
i1
A
i1
a
i2
A
i2
a
in
A
in
a
ik
A
ik
,(i1,2,
,n).
k1
n
Aa
1j
A
1j
a
2j
A
2j
a
nj
A
nj
a
kj
A
kj
,(j1,2,
,n).
k1
n
（3）利用方阵的特征值计算它的行列式：
A
i
。 若
A
是
n
阶矩阵，
i
(i1,2,,n)
是
A
的特征值，则
n
（4）应用如下公式计算行列式（
A
，
B
为n阶方阵）：
T
①
AA
i1
；
k
k
n
②
ABAB
，
AA
，
aAaA
；
1
③
AA
*
n1
，
A
1
A
；
1
④
若矩阵
A
和
B
相似，即
AB
，则
AB
；
（5）直接应用公式计算2阶行列式和3阶行列式：
a
11
a
21
a
11
a
21
a
31
a
12
a
11
a
22
a
12
a
21
,
a
22
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
11
a
22
a
33
a
12
a
23
a
31
a
13
a
21
a
32
a
13
a
22
a
31
a
12
a
21
a
33
a
11
a
23
a
32
.
a
33
在具体的解题实践中，可能要多种方法并用。在计算具有数值元
素的低阶行列式时，往往需要利用行列式的性质对该行列式进行多次
化简，以便行列式中出现尽可能多的零元素，这是一个值得重视的解
题技巧。
（二）几个重要的特殊行列式
（1）n阶上（下）三角行列式等于行列式对角线上n个元素的乘
积。故可以考虑应用初等行（列）变换把行列式变为上（下）三角行
列式，就能直接写出行列式的值了。
（2）n阶副对角线行列式等于行列式副对角线上n个元素的乘积
的
(1)
0
n(n1)
2
倍。
0
0
0
0
0
a
1
0
(1)
0
0
n(n1)
2
0
a
2
a
1
a
2
a
n
0a
n1
0
a
n
（3）拉普拉斯展开式：若
A
和
B
分别是m阶和n阶矩阵，则
AOA*AO
A
B,
OBOB*B
OA
BO
O
B
A
*
*A
BO
(1)
mn
A
B.
（4）范德蒙行列式：
1
V(a
1
,a
2
,
,a
n
)
a
1
a
1
n1
1
a
2
1
a
n
1jin
(a
i
a
j
)
n1
a
2
n1
2
a
n
我们在计算行列式时，可以考虑应用行列式的性质把目标行列式
（三）真题解析
下面请随文都教育看一下往年数学（二）科目中考察计算行列式
的两道真题及解析，体会解题方法和技巧，以便牢固掌握该知识点。
真题1（2015年，数学（二），二，（14）,4分）
1.已设3阶矩阵
A
的特征值为2，-2,1，
BA
2
AE
，其中
E
为3阶
单位矩阵，则行列式
B
.
答案：21
解析：因为3阶矩阵
A
的特征值为2，-2,1，故
A
的多项式
BA
2
AE
的特征值分别为
1
2
2
213
，
2
(2)
2
(2)17
，
3
1
2
111
，
故行列式
B
1
2
3
21
。
真题2（2014年，数学（二），一，（7），4分）
0
a
2.
行列式
0
c
2
转化为上述几种特殊的行列式，从而直接应用公式得出结果。
ab0
00b
cd0
00d
B.
(adbc).
D.
bcad.
2222
A.
(adbc).
C.
adbc.
2222
2
答案：B
解析：
方法一：应用行列式的性质，转化为拉普拉斯展开式。具体地，原行
列式的2行与3行互换，1列与2列互换，2列与3列互换，故
0ab0a
a00bc
0cd0
0
c00d0
b00
d00abab
(adbc)
2
0abcdcd
0cd
3
方法二：把上述行列式按第1行，第3行展开，得
原式
(1)
1323
(adbc)(adbc)(adbc)
2
本文系统讨论了2017考研数学（二）科目中计算行列式的方法，
并给出了往年数学（二）试卷中2道真题的解析，希望能对考生复习
备考有所帮助。最后，文都教育预祝各位考生在研究生考试中获得好
成绩，心想事成！
4
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