2023年12月11日发(作者：2018年河南中考数学试卷)

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高等数学公式

导数公式：

(tgx)sec2x(arcsinx)1(ctgx)csc2x1x2(secx)secxtgx(arccosx)1(cscx)cscxctgx1x2(ax)axlna(arctgx)11x2(log1ax)xlna(arcctgx)11x2根本积分表：

tgxdxlncosxCdx2ctgxdxlnsinxCcos2xsecxdxtgxCsecxdxlnsecxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdx1cscxctgxdxcscxCa2x2aarctgxaCxdx1xadxaxlnaCx2a22alnaxaCshxdxchxCdx1aa2x2x2alnaxCchxdxshxCdxa2x2arcsinxaCdxx2a2ln(xx2a2)C22Inn1nsinxdxcosnxdx0nIn20x2a2dxx2a222xa2ln(xx2a2)Cx2x2a2dxx2a2alnxx222a2Cx2a2x2dx2a2x2a2arcsinxaC三角函数的有理式积分：

sinx2u1u2，　cosx1u21u2，　utgx2，　dx2du1u2

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一些初等函数： 两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx

sinx

lim1x0

x

1lim(1)xe2xxshxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)arthx11x2ln1x三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin cos tg ctg

-α -sinα cosα -tgα -ctgα

90°-α cosα sinα ctgα tgα

90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα

180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα

180°+α -sinα -cosα tgα ctgα

270°-α -cosα -sinα ctgα tgα

270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα

360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα

360°+α sinα cosα tgα ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg()tgtgsinsin2cos1tgtg2sin2ctgctgcoscos2cosctg()12cos2ctgctgcoscos2sin2sin2

·倍角公式：

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sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2

·半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg21cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cosabc2R·余弦定理：c2a2b22abcosC

sinAsinBsinC2

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz〕公式：

(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：Klim.

23s0sds(1y)直线：K0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：

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b矩形法：f(x)ban(y0y1yn1)ab梯形法：f(x)ban[12(y0yn)y1yn1]

ab抛物线法：f(x)ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1a3n)]定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpA引力：Fkm1m2r2,k为引力系数

函数的平均值：y1bbaf(x)dxa1b均方根：baf2(t)dta空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：dM21M2(x2x1)(y22y1)2(z2z1)向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosaxbxaybyazbza222222xayazbxbybzijkcabaxayacabsin.例：线速度：vwrz,.bxbybzayaz向量的混合积：[abc](abax)cbxbybbczacos,为锐角时，cxcycz

代表平行六面体的体积。- - -

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1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2平面的方程：xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc

多元函数微分法及应用

全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuuvvdxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0，　，　　xFzyFz

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FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：　　　JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)　　　　xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)　　　　yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：

FvFuGGuvFvGv

x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,GGGxGGG(x,y,z)0yzzx曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

Fy}Gy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ffijxy

f它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定

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重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1ydxdyx22平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)dDD,　　yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：FxfD(x,y)xd(xya)2222，　　Fyf3D(x,y)yd(xya)2222，　　Fzfa3D(x,y)xd(xya)22322柱面坐标和球面坐标：

xrcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2

r(,)2F(r,,)rsindr0f(x,y,z)dxdydzF(r,,)rsindrdddd002重心：x1Mxdv,　　y1Mydv,　　z1Mzdv，　　其中Mxdv转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　Iy(x2z2)dv，　　Iz(x2y2)dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：y(t)Lxt22f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情况：y(t)- - - -

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdyPdxQdy格林公式：()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：QP在＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP＝。注意奇点，如(0,0)，应xy

u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。曲面积分：

22对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：，其中：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy号；R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正Dxy

号；P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz号。Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：

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(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义——通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...xy通量：AzndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(RQPRQyz)dydz(zx)dzdx(xPy)dxdyPdxQdyRdzdydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RyQz，　PRQPzx，　xy

ij旋度：rotAkxyzPQ向量场AR沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：

q2qn11qn等比数列：1q1q等差数列：123n(n1)n2

调和级数：111123n是发散的级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：

unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：　　npp1时收敛幂级数：

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1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定1

0时，R求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()

余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n!

2n1x3x5xsinxx(1)n1　　　(x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx欧拉公式：

eixeixcosx2eixcosxisinx　　　或

ixixsinxee2三角级数：

a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。傅立叶级数：

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a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx　　　其中1b(n1,2,3)nf(x)sinnxdx　　　112122835　111224224262正弦级数：an0，bn余弦级数：bn0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)b0

2nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期2l2n1lll1nxdx　　　(n0,1,2)anf(x)coslll其中lb1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)nlll

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：

dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

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dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e

dy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydy

P(x)Q(x)yf(x)，2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式

两个不相等实根(p24q0)

两个相等实根(p4q0)

2(*)式的通解

yc1er1xc2er2x

y(c1c2x)er1x

yex(c1cosxc2sinx)

一对共轭复根(p4q0)

2r1i，r2i4qp2

p，22二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

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1、行列式

1.

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行〔列〕的元素乘以其它行〔列〕元素的代数余子式为0；

③、某行〔列〕的元素乘以该行〔列〕元素的代数余子式为A；

3. 代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMij

4. 设n行列式D：

n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，那么D1(1)2D；

n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，那么D2(1)2D；

将D主对角线翻转后〔转置〕，所得行列式为D3，那么D3D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，那么D4D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；

③、上、下三角行列式〔◥◣〕：主对角元素的乘积；

n(n1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2；

⑤、拉普拉斯展开式：AOCBACOBAB、CAOABOBC(1)mnAB

⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：EAnn(1)kSnkk，其中Sk为k阶主子式；k17. 证明A0的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

- - -

-

-

A0〔是非奇异矩阵〕；

r(A)n〔是满秩矩阵〕

A的行〔列〕向量组线性无关；

齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成假设干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0；

ATA是正定矩阵；

A的行〔列〕向量组是Rn的一组基；

A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2.

3.

对于n阶矩阵A：AA*A*AAE无条件恒成立；

(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*

(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1

4.

5.

矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1假设AA2，那么：

AsⅠ、AA1A2A111Ⅱ、A1As；

1A2；

1AsO；〔主对角分块〕

1BA1AO②、OBOOOA③、1BOAA1AC④、OBO11B1；〔副对角分块〕

OA1CB1；〔拉普拉斯〕

B1O；〔拉普拉斯〕

B11A1AO⑤、11CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：FrOEO；

Omn- - - -

-

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B，假设r(A)r(B)A2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：〔初等列变换类似，或转置后采用初等行变换〕

①、假设(A,E)(E,X)，那么A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：(A,B)(E,A1B)；

1B；

rc③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，那么A可逆，且xA1b；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1②、r2，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

iin111③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：11；

11111111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：kkk11(k0)；

1kk111⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：1(k0)；

115. 矩阵秩的根本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)r(A)；

③、假设AB，那么r(A)r(B)；

④、假设P、Q可逆，那么r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；〔可逆矩阵不影响矩阵的秩〕

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；〔※〕

⑥、r(AB)r(A)r(B)；〔※〕

⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；〔※〕

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，那么：〔※〕

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解〔转置运算后的结论〕；

Ⅱ、r(A)r(B)n

- - - -

-

⑨、假设A、B均为n阶方阵，那么r(AB)r(A)r(B)n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵〔向量〕行矩阵〔向量〕的形式，再采用结合律；

1ac②、型如01b的矩阵：利用二项展开式；

001

二项展开式：(ab)CaCabn0nn1nn11CamnnmmbCn11n1nabmmnmCbCnab；

nnnm0n注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

n(n1)(nm1)n!123mm!(nm)!mnnmn0nCnCn1 Ⅱ、CnmⅢ、组合的性质：CCCmn1CCmnm1n

Cr0nrn2nrr1；

rCnnCn1③、利用特征值和相似对角化：

7. 伴随矩阵：

n①、伴随矩阵的秩：r(A)10*r(A)nr(A)n1；

r(A)n1②、伴随矩阵的特征值：③、A*AA1、A*A8.

A(AXX,A*AA1A*XAX)；

n1

关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；〔两句话〕

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，那么：

①、m与方程的个数一样，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数一样，方程组Axb为n元方程；

10. 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进展初等行变换〔只能使用初等行变换〕；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2nn2①、211222；

am1x1am2x2anmxnbn- - - -

-

a11a②、21am1a12a22am2a1nx1b1a2nx2b2

Axb〔向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数〕amnxmbmx1b1xb2an〔全部按列分块，其中2〕；

xnbnanxn〔线性表出〕

③、a1a2④、a1x1a2x2⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n〔n为未知数的个数或维数〕

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；

T,m个n维行向量所组成的向量组B：1T,21TTT,m构成mn矩阵B2；

Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关

Ax0有、无非零解；〔齐次线性方程组〕

②、向量的线性表出

Axb是否有解；〔线性方程组〕

③、向量组的相互线性表示

AXB是否有解；〔矩阵方程〕

矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)

r(ATA)r(A)；(P101例15)

3.

4.

5.

n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关

②、,线性相关

0；

,坐标成比例或共线〔平行〕；

③、,,线性相关

,,共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

假设1,2,,s线性相关，那么1,2,假设1,2,,s线性无关，那么1,2,,s,s1必线性相关；

,s1必线性无关；〔向量的个数加加减减，二者为对偶〕

假设r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

假设A线性无关，那么B也线性无关；反之假设B线性相关，那么A也线性相关；〔向量组的维数加加减减〕

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A〔个数为r〕能由向量组B〔个数为s〕线性表示，且A线性无关，那么rs(二版P74定理7)；

- - - -

-

向量组A能由向量组B线性表示，那么r(A)r(B)；〔P86定理3〕

向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)〔P85定理2〕

8.

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)〔P85定理2推论〕

方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,r,Pl，使AP1P2Pl；

①、矩阵行等价：A~BPAB〔左乘，P可逆〕Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价：A~BAQB〔右乘，Q可逆〕；

③、矩阵等价：A~BPAQB〔P、Q可逆〕；

9. 对于矩阵Amn与Bln：

c①、假设A与B行等价，那么A与B的行秩相等；

②、假设A与B行等价，那么Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有一样的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩；

10. 假设AmsBsnCmn，那么：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；〔转置〕

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12. 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,(b1,b2,,br)(a1,a2,,as线性表示为：〔P110题19结论〕

,as)K〔BAK〕

其中K为sr，且A线性无关，那么B组线性无关r(K)r；〔B与K的列向量组具有一样线性相关性〕

〔必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法〕

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEmr(A)m、Q的列向量线性无关；〔P87〕

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEnr(A)n、P的行向量线性无关；

- - - -

-

14.

1,2,,s线性相关

kss0成立；〔定义〕

存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k11k22x1x,s)20有非零解，即Ax0有非零解；

xs,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

(1,2,r(1,2,15. 设mn的矩阵A的秩为r，那么n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

16. 假设*为Axb的一个解，1,2,,nr为Ax0的一个根底解系，那么*,1,2,〔P111题33结论〕

,nr线性无关；5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵ATAE或A1AT〔定义〕，性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj10ij(i,j1,2,ijn)；

②、假设A为正交矩阵，那么A1AT也为正交阵，且A1；

③、假设A、B正交阵，那么AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

2.

b2a2[b1,a2]b1

[b1,b1][br1,ar]br1;

[br1,br1]

brar[b1,ar][b,a]b12rb2[b1,b1][b2,b2]3.

4.

对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

①、A与B等价

A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆；

r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同

CTACB，其中可逆；

xTAx与xTBx有一样的正、负惯性指数；

- - - -

-

③、A与B相似

P1APB；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

假设C为正交矩阵，那么CTACBAB，〔合同、相似的约束条件不同，相似的更严格〕；

6.

7.

A为对称阵，那么A为二次型矩阵；

Tn元二次型xAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTACE；

A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

aii0,A0；(必要条件)

高中数学根本公式手册

第一章：集合与函数

1.德摩根公式

CU()CUACUB;CU(AB)CUACUB.

BAABBABCUBCUAACUBCUABR

(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

4.二次函数的解析式的三种形式①一般式f(x)axbxc(a0);② 顶点式

5.设x1x2a,b,x1x2那么

2f(x)a(xh)2k(a0);③零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.

x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0函数.

设函数yf(x)在某个区间可导，如果f(x)0，那么f(x)为增函数；如果f(x)0，那么f(x)为减6.函数yf(x)的图象的对称性:①函数yf(x)的图象关于直线xa对称ab对称2f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).②函数yf(x)的图象关于直线xf(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx).

7.两个函数图象的对称性:①函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.②函数- - - -

-

yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线xab对称.③函数yf(x)和yf1(x)的图2m象关于直线y=x对称.

m8.分数指数幂an1nam〔a0,m,nN，且n1〕.

man1m〔a0,m,nN，且n1〕.

babN(a0,a1,N0).

10.对数的换底公式

logaNlogmNlog.推论

lognnambmamlogab.

第二章：不等式

- - -

-

-

30.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

ab（2）a,bR2（3）abc3abc(a0,b0,c0).

22222(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR. （4）柯西不等式333ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（5）ababab

31.极值定理 已知x,y都是正数，则有

2pxy（1）如果积xy是定值p，那么当xy时和有最小值12xyxy（2）如果和是定值，那么当时积有最大值s.

a4ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)a2元二次不等式32.一，如果axbxcax2bxcxy同号，则其解集在两根之外；如果与简言之：同号两根之外，异号两根之间x1间.xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

s；

与异号，则其解集在两根之xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1；x

2).

33.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2aaxa.

xax2a2xa或2xa34.无理不等式（1）.

f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x) .

（2）f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或f(x)[g(x)]2g(x)0.

f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2.

（3）a1时,

x)(指数不等式与对数不等式ag(x)f(x)g(x) (1)当0a1a当a(2)f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0;

f(x)g(x).

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x) ;

(x)g(x)时f,

- - - -

-

第三章：数列

11.as1,n1n( 数列{).

san}的前n项的和为sna1a2nsn1,n2an12.等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式

sn(a1an)n2nan(n1)d112d2n2(a12d)n.

13.等比数列的通项公式an1a1nqq(nN*na1q)；

an1(1q)a1其前n项的和公式s1q,q1或sanq,q1nn1q.

na1,q1na1,q114.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；q1,q1

nbn(n1)d,q1其前n项和公式为sn(bd1qnd.

1q)q11qn,q1) 每次还款xab(1b)n15.分期付款(按揭贷款(1b)n1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

第四章：三角

16.同角三角函数的根本关系式

sin2cos21，tan=sincos，tancot1.

17.正弦、余弦的诱导公式

nsin(n)(1)2sin,α为偶数

2n1

(1)

2cos,α为奇数

cos(nn(1)2cos,α为偶数

2)n1

(1)2sin,α为奇数

18.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tan()tantan1tantan.

sin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);

- - -

-

-

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan积化和差公式

b ).

asin()sin()

2sin()sin()cossin

2cos()cos()coscos

2cos()cos()sinsin〔特别注意这里的大小关系〕

219.二倍角公式

sin2sincos.

2tancos2cos2sin22cos2112sin2.tan2.

1tan21cos21cos22,cos2 降幂公式

sin

2220.三角函数的周期公式 函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠20，ω＞0)的周期T；函数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周2sincos期T.

2

mn 通用周期公式：函数ysinmxcosnx的周期T21.正弦定理

abc2R.

sinAsinBsinC22222222222.余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;

cab2abcosC.

b2c2a2 余弦定理另一表达形式：cosA〔通常用来求角〕

2bc11123.面积定理〔1〕Sahabhbchc〔ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高〕.

222111〔2〕SabsinCbcsinAcasinB.

2221(|OA||OB|)2(OAOB)2.

(3)SOAB224.三角形角和定理在△ABC中，有

ABCC(AB)

CAB2C22(AB).

222第五章：向量

25.平面两点间的距离公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

- - - -

-

26.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，那么

abb=λax1y2x2y10y2x2.

y1x1y2x21〔联想记忆直线平行与垂直的性质〕.

y1x1ab(a0)a·b=0x1x2y1y20是实数，且PP27.线段的定比分公式 设P12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1PP2，那么

x1x2x1OPOP21t〔〕.

(1t)OPOP1OPtOP1211yy1y21特例：中点坐标公式xx1x2yy2,y1

2228.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),那么△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,).

33\'\'xxhxxh\'\'29.点的平移公式\' (图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图OPOPPP\'yykyyk形F上的对应点为P\'(x\',y\')，且PP\'的坐标为(h,k)).

\'第六章：不等式

30.常用不等式：

22〔1〕a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=〞号)．

abab(当且仅当a＝b时取“=〞号)．

2333〔3〕abc3abc(a0,b0,c0).

〔2〕a,bR〔4〕柯西不等式(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.

〔5〕ababab

31.极值定理

x,y都是正数，那么有

〔1〕如果积xy是定值p，那么当xy时和xy有最小值2p；

2222212s.

422232.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与axbxc同号，那么其〔2〕如果和xy是定值s，那么当xy时积xy有最大值2解集在两根之外；如果a与axbxc异号，那么其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

33.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

- - - -

-

xax2a2axa.

xax2a2xa或xa.

f(x)34.无理不等式〔1〕f(x)g(x)0g(x)0.

f(x)g(x)f(x)0〔2〕f(x)g(x)g(x)0或f(x)0.

f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0〔3〕f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]235.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);logf(x)0af(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

f(x)0af(x)ag(x)f(x)g(x);logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

第七章：解析几何

36.斜率公式ky2y1x〔P1(x1,y1)、P2(x2,y2)〕.

2x137.直线的四种方程

〔1〕点斜式yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

〔2〕斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

〔3〕两点式yy1xxyy1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

21x2x1〔4〕一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).

38.两条直线的平行和垂直 〔1〕假设l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)假设l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①lA1B1C11l2A；②l1l2A1A2B1B20；

2B2C239.夹角公式

tan|k2k11k|.(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

2k1tanA1B2A2B1AB(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

1A21B2- - -

-

-

直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是40.点到直线的距离

d.

2|Ax0By0C|AB22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

直线补充：过2条直线l1,l2的直线系方程：ll1kl2

41. 圆的四种方程

〔1〕圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.

〔2〕圆的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F＞0).

22xarcos〔3〕圆的参数方程

.

ybrsin〔4〕圆的直径式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

圆的补充知识：

1、 相交弦方程：l12

2、 圆的切线方程：见本页49项

xacosx2y242.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsinx2y2a2a243.椭圆221(ab0)焦半径公式PF1e(x)aex，PF2e(x)aex.

abccx2y244.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2PF1|e(x)|exa，PF2|e(x)|exa.

ccy245.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt,2pt)或 P(x,y)，其中

y22px.

2p22b24acb246.二次函数yaxbxca(x)〔1〕顶点坐标为(a0)的图象是抛物线：2a4ab4acb2b4acb214acb21(,)；,)；〔2〕焦点的坐标为(〔3〕准线方程是y.

2a4a2a4a4a247.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2〔弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb2 消去y得到axbxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率〕.

F(x,y)048.圆锥曲线的两类对称问题：

〔1〕曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

〔2〕曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.

A2B2A2B222249.切线方程快速解法：对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代F(x- - - -

-

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程

222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，这就是曲线的切线方程

222y2，用50.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

51.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC，

那么四点P、A、B、C是共面xyz1．

52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223〔a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)〕.

53.直线AB与平面所成角arcsinABm(m为平面的法向量).

|AB||m|mnmn或arccos〔m，n为平面，的法向量〕.

|m||n||m||n|54.二面角l的平面角arccos55.设AC是α的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．那么coscos1cos2.

56.假设夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，那么有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

57.空间两点间的距离公式假设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，那么

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

58.点Q到直线l距离h1(|a||b|)2(ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

|a|59.异面直线间的距离

d为l1,l2间的距离).

|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d|n|60.点B到平面的距离

d|ABn|〔n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A〕.

|n|222\'61.异面直线上两点距离公式ddmn2mncos

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，A\'Em,AFn,EFd).

2262.

l2l12l2l3cos21cos22cos231

〔长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3〕〔立几中长方体对角线长的公式是其特例〕.

S\'63. 面积射影〔二面角〕定理S〔大型考试如高考时最好先加以证明〕

cos64．常见几何体的体积公式：

- - - -

-

棱柱：vsh(s:底面积，h：高）圆柱：v=r2h

121棱锥:v=sh,圆锥：v=rh33第八章：排列组合与二项式定理：

66.分类计数原理〔加法原理〕Nm1m267.分步计数原理〔乘法原理〕Nm1m2m68.排列数公式An=n(n1)(nm1)=mn.

mn.

n！.(n，m∈N*，且mn)．

(nm)！nmmmm1nn1nmm1An69.排列恒等式〔1〕An;〔2〕An(nm1)An1;〔3〕AnAn1An;nnAn1; 〔4〕nAnmmmm1〔5〕An.

AmA1nn70.组合数公式Cmn=Anmn(n1)(nm1)n！*==(，∈N，且mn).

nmm12mm！(nm)！Ammmnmm1m 71.组合数的两个性质(1)Cn=Cn ;(2)

Cn+Cn=Cn1

nnm1m1nnm1nmmmrCn;〔2〕CnCn1;〔3〕CnCn1; 〔4〕Cn72.组合恒等式〔1〕C=2;mnmmr0mnrr1〔5〕CrrCrr1Crr2CnCn1.

mm73.排列数与组合数的关系是：An .

m！Cn0n1n12n22rnrrnn74.二项式定理(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb ;

rnrr二项展开式的通项公式：Tr1Cn1，2，n).

ab(r0，式子(axbycz)n中xpyqznpq的系数：CnCnpabcpqpqnpq

式子(axpbn)中常数项的系数：用比例法

qx

第九章：概率

75.等可能性事件的概率P(A)m.

n76.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

77.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

78.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).

79.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．

kknk80.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P(k)CP(1P).

nn81.离散型随机变量的分布列的两个性质：〔1〕P,2,i0(i182.数学期望Ex1P1x2P2);〔2〕P1P21.

xnPn

- - - -

-

83.数学期望的性质：〔1〕E(ab)aE()b；〔2〕假设～B(n,p)，那么Enp.

84.方差Dx1Ep1x2Ep222xnEpn2

85.标准差=D.

86.方差的性质(1)DE(E);(2)DabaD；〔3〕假设～B(n,p)，那么Dnp(1p).

22287.正态分布密度函数fx1ex2262,x,式中的实数μ，〔>0〕是参数，分别表示个26体的平均数与标准差.

288.标准正态分布密度函数fx1x226e,x,.

89.对于N(,2)，取值小于x的概率Fxx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1Fx2Fx1

x2x1.

nnxixyiy90.回归直线方程

yabx，其中xiyinxyi1bni1nxx22.

ixinx2i1i1aybxnnixyiyixyiy91.相关系数

rxi1xi1nnn.

(xx)2n(yy)2ii(i1i1x2inx2)(1y2iny2)ii1|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

第十章：极限

|q|192.特殊数列的极限〔1〕limn0nq1q1.

不存在|q|1或q1ak10(kt)〔2〕limknkak1na0atnbntbnt1(kt).

tt1b0bk不存在 (kt)- - -

-

-

〔3〕Slimxx0a11qn1qna1n1〔S无穷等比数列a1q (|q|1)的和〕.

1qxx0(x)alimf(x)limf(x)a.这是函数极限存在的一个充要条件.

xx094.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

〔1〕g(x)f(x)h(x);〔2〕limg(x)a,limh(x)a〔常数〕,那么limf(x)a.

xx0xx0xx0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.

sinx11；95.两个重要的极限 〔1〕lim〔2〕lim1e(e=2.718281845…).

x0xxx96.f(x)在x0处的导数〔或变化率或微商〕

xf(x0x)f(x0)ylim.

xx0x0xx0xss(tt)s(t)lim97.瞬时速度s(t)lim.

t0tt0tvv(tt)v(t)lim98.瞬时加速度av(t)lim.

t0tt0tf(x0)ylim

第十一章：导数

dydfyf(xx)f(x)limlim.

x0x0dxdxxx100.函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方99.f(x)在(a,b)的导数f(x)y程是yy0f(x0)(xx0).

101.几种常见函数的导数

(1)C0〔C为常数〕.

(2)(xn)\'nxn1(nQ).

(3)(sinx)cosx.

(4)(cosx)sinx.

11；(logax)logae.

xxxxxx(6)

(e)e;(a)alna.

(5)

(lnx)102.复合函数的求导法那么 设函数u(x)在点x处有导数ux\'\'(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数yu\'f\'(u)，那么复合函数yf((x))在点\'\'\'，或写作x处有导数，且yxyuuxfx\'((x))f\'(u)\'(x).

103.可导函数yf(x)的微分dyf(x)dx.

第十二章：复数

- - - -

-

104.abicdiac,bd.〔a,b,c,dR〕

105.复数zabi的模〔或绝对值〕|z|=|abi|=a2b2.

106.复数的四那么运算法那么

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;

(4)(abi)(cdi)acbdbcad2i(cdi0).

222cdcd107.复平面上的两点间的距离公式d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2〔z1x1y1i，z2x2y2i〕.

108.向量的垂直 非零复数z1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，那么

OZ1OZ2z1z2的实部为零z2为纯虚数|z1z2|2|z1|2|z2|2

z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ为非零实数).

109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax2bxc0，①假设b24ac0,那么bb24acb;②假设b24ac0,那么x1x2;③假设b24ac0，它在实数x1,22a2ab(b24ac)i2集R没有实数根；在复数集C有且仅有两个共轭复数根x(b4ac0).

2a

附：

1、 本手册囊括了GCT数学局部的数学公式，但因个人能力有限，难免有疏漏指出，欢送大家指正

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