中考数学压轴题解题方法大全及技巧

2024年1月9日发(作者：温州三模初三数学试卷分析)

WORD格式可编辑

中考数学压轴题解题技巧

湖北竹溪城关中学 明道银

解中考数学压轴题秘诀（一）

数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。

（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。

（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。

在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。

解中考数学压轴题秘诀（二）

具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。 专业技术 资料整理

完美.格式.编辑

解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。

1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

4、综合多个知识点，运用等价转换思想：

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第（1）小题较易，第（2）小题中等，第（3）小题偏难，在解答时要把第（1）小题的分数一定拿到，第（2）小题的分数要力争拿到，第（3）小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧（先以2009年河南中考数学压轴题为例）。

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

解：(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分

将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

8=16a+4b

得

0=64a+8b

解 得a=-1,b=4

212x+4x …………………3分

2PEBCPE4（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=

APABAP811∴PE=AP=t．PB=8-t．

221∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.

2∴抛物线的解析式为：y=- 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

1111（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. …………………5分

222811∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.

881∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分

8∴点G的纵坐标为：-②共有三个时刻. …………………8分

t1=401685， t2=，t3=

． …………………11分

13325压轴题的做题技巧如下：

1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

压轴题解题技巧练习

一、 对称翻折平移旋转

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

1．（2010年南宁）如图12，把抛物线yx2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E.

（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；

（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.

（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得

l2

122SABMS四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由.

yC1

EDAA

y

M

B

O

P

C1

A

x

y

N

B

Q

O

P

图2（2）

E

F

x

CBOxl1C2

C3

C4

图2（1）

2．（福建2009年宁德市）如图，已知抛物线C1：yax25的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

二、 动态：动点、动线

3．(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

y

(2)点P是线段AB上的动点，过点P作

PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE

C

的面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，

E

是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三

角形？若存在，请直接写出所有符合条件的

B A

点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

x

O P

4．（2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

B

B

P

C

P

P

D C

2A

图Q

C

A

图Q

PA

Q

B

5．（09年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里．．．．规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；

（3）求y与x之间的函数关系式．

MN4，6．(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，以MA1，MB1．A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设ABx．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面积？

M A B

（第24题）

N

C

三、 圆

7．（2010青海） 如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；

（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长 ．

y

A

E

C

D

图1

O

B

y

x

A

C

C

G

B

x

8．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点BD

图2

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

1

的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝．

3(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

9．（09年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．

（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

y

y

D

C

N

E

A B D

A O

x

1

－4

x C

O

F

M

B

10．（2009年潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线yaxbxc与y轴交于点2D，与直线yx交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

四、比例比值取值范围

11．（2010年怀化）图9是二次函数y(xm)k的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

（1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标；

专业.资料.整理

2

完美.格式.编辑

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB5SMAB,若存在，求出P点的坐4标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线yxb(b1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

图9

12． (湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分图1

标系别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

1（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线yx2bxc经过B、P两点，过4线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

y

B

C

Q

O

x

A

P

第26题图

13．（成都市2010年）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yaxbxc与x轴 专业.资料.整理

2

完美.格式.编辑

0)，若将交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(3，经过A、C两点的直线ykxb沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为SABP、SBPC，且SABP:SBPC2:3，求点P的坐标；

（3）设Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

五、探究型

14．（内江市2010）如图，抛物线ymx2mx3mm0与x轴交于2A、B两点，与y轴交于C点.

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明

y理由.

D

oAB

EC

26题图15．（重庆市潼南县2010年）如图, 已知抛物线y x12xbxc与y轴相交于C，与x2 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

16．（2008年福建龙岩）如图，抛物线yax25ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

y

C

A

1

B

0

1

x

y

QHAOBx

P

C

17．（09钦州）26．（本题满分10分）

年广西32x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐43标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动4t点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

如图，已知抛物线y＝（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

18．（09年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐6标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

5（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B

y

y

C

B

P N

A

E

D

A

O C x

M O B

x

2两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠

20)的函数值y相等，连结AC、BC．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（08江苏徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°

【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板．．．．DEF．．．绕点旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q

．．E．．．【探究一】在旋转过程中，

（1） 如图2，当CE＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.

EA 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（2） 如图3，当CE＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.

EACE＝m时，EP与EQ满足的数量关EA（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当系式

为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)

【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：

（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.

（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.

AA(D)AEFEPBQFCPDBQCF

BC(E)D六、最值类

22．(2010年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数yxbxc的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四

边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC

为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在

请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

//2解中考数学压轴题秘诀（一）

数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。

（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。

在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。

解中考数学压轴题秘诀（二）

具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。

1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

4、综合多个知识点，运用等价转换思想：

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第（1）小题较易，第（2）小题中等，第（3）小题偏难，在解答时要把第（1）小题的分数一定拿到，第（2）小题的分数要力争拿到，第（3）小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。

近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐，它不仅综合考查初中数学骨干知识，如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。此类题型也往往起到了考试的选拔作用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离，所以准确快速解决此类问题是赢得中考数学胜利的关键。如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法――以静制动。

另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题

例1：（北京市石景山区2010年数学期中练习）在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,

(1)求△ABC的面积；

(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？

点评：此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置，有三种情况。

（1）当0﹤t≦6时，P、Q分别在AB、BC边上；

（2）当6﹤t≦8时，P、Q分别在AB延长线上和BC边上；

A

（3）当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.

然后分别用第一步的方法列方程求解.

例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，

P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，

（1）写出y与x的关系式

(2)求当y＝B

1时，x的值等于多少？

3点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.

例3：(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）

A．32 B．18 C．16 D．10

y

B

3例4：（09齐齐哈尔）直线yx6与坐标轴分别交于A、B两点，4动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；

P

O

Q

A

x

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边5形的第四个顶点M的坐标．

（3）当S点评：本题关键是区分点P的位置：点P在OB上，点P在BA上。

例5：（2009宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范Q

围．

解：（1）过点C作CDAB，垂足为D．则AD2，

当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即AMP

C

3时，

2A M

N

B

四边形MNQP是矩形，t3秒时，四边形MNQP是矩形．

2P

C

Q

PMAMtan60°=333，S四边形MNQP322

13(PMQN·)MN3t

22A

（2）1°当0t1时，S四边形MNQPM

N

C

P

Q

B

2°当1≤t≤2时，S四边形MNQP13(PMQN·)MN3

2217(PMQN·)MN3t3

22A

3°当2t3时，S四边形MNQPM

N

B

点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。

例6：（2009四川乐山）．如图（15），在梯形ABCD中，DC∥A，B9A0°，AD6厘米，DC4厘米，BC的坡度CDi3∶4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动 专业.资料.整理

QAPE图（3）

B

完美.格式.编辑

点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

6. 解：（1）作CEAB于点E，如图（3）所示，则四边形AECD为矩形．

∶4，AECD4，CEDA6．又i3CE3．EB8，AB12． 2分

EB4在Rt△CEB中，由勾股定理得：BCCE2EB210．

（2）假设PC与BQ相互平分．由DC∥AB，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上）． ············································································································

3t10122t．即CQBP，解得t2222，即t秒时，PC与BQ相互平分．

55（3）①当Q在BC上，即0≤t≤10时，作QFAB于F，则CE∥QF．

3即QFBQ，CEBCQF3t9t119t981．QF．S△PBQPB·QF(122t·)=(t3)2． ············

610522555当t3秒时，S△PBQ有最大值为81厘米2．

5②当Q在CD上，即101411≤t≤时，S△PBQPB·CE(122t)6=366t．

332210102秒时，S△PBQ有最大值为36616厘米．

33易知S随t的增大而减小．故当t 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

925410tt，0≤t55381

16，y514106t36．≤t≤33综上，当t3时，S△PBQ有最大值为81厘米2．

5二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

例7：（包头）如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

解：（1）①∵t1秒，∴BPCQ313厘米，

∵AB10厘米，点D为AB的中点，∴BD5厘米．

又∵PCBCBP，BC8厘米，∴PC835厘米，∴PCBD．

又∵ABAC，∴BC，∴△BPD≌△CQP．

②∵vPvQ， ∴BPCQ，

又∵△BPD≌△CQP，BC，则BPPC4，CQBD5，

∴点P，点Q运动的时间tB

D

A

Q

P

C

BP4CQ515秒，∴vQ厘米/秒．

4433t38015x3x210，解得x34（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得秒．

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

∴点P共运动了80380厘米．

380秒点P与点Q第一次在3梯形∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过边AB上相遇．

例8：（09济南）如图，在ABC中，A∥D，BC3，AD，5BCDC，∠42A．BM45B点出发沿线段B动点从以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形

∴KHAD3．在Rt△ABK中，AKABsin4542．24

2BKABcos454224在，Rt△CDH中，由勾股定理得，2HC52423

∴BCBKKHHC43310

A

D

B

K

H

（图①）

A

D

N

C

B

G

M

（图②）

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形

∵MN∥AB∴MN∥DG∴BGAD3∴GC1037

由题意知，当M、N运动到t秒时，CNt，CM102t．

∵DG∥MN∴∠NMC∠DGC又∠C∠C

∴△MNC∽△GDC∴CCNCMt102t50即解得，tCDCG5717

（3）分三种情况讨论：①当NCMC时，如图③，即t102t∴t 专业.资料.整理

103

A

D

N

A

D

N

完美.格式.编辑

②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E

解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC11MC102t5t

22在Rt△CEN中，coscEC5tCH3∴又在Rt△DHC中，coscNCtCD55t325解得tt58

∵∠C∠C，DHCNEC90∴△NEC∽△DHC∴NCEC即DCHCt5t25∴t ·····················································································

538③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.FC解法一：（方法同②中解法一）

11NCt

22A

D

1t60FC3

cosC2解得t17MC102t5解法二：

∵∠C∠C，MFCDHC90∴△MFC∽△DHC

B

（图⑤）

H

M

1FCMC2t102t60∴即∴t

HCDC1735综上所述，当t102560、t或t时，△MNC为等腰三角形

8173例9：（呼和浩特）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A P

A、D

专业.资料.整理

O

完美.格式.编辑

C同时出发，当其中一点到达端

点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．

(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？

AD∥BCPD∥QC 解：(1)∵直角梯形ABCD，当PDQC时，四边形PQCD为平行四边形．

由题意可知：APt，CQ2t

A

P

D

8t2t，3t8，t8

3O

B

A

P

H

D

Q

8当ts时，四边形PQCD为平行四边形．

3（2）解：设PQ与⊙O相切于点H，过点P作PEBC，垂足为E

O

直角梯形ABCD，AD∥BC

PEAB由题意可知：APBEt，CQ2tBQBCCQ222t

B

E

Q

EQBQBE222tt223t

AB为⊙O的直径，ABCDAB90°AD、BC为⊙O的切线APPH，HQBQ

PQPHHQAPBQt222t22t

在Rt△PEQ中，P2E2EQP122Q2(t223t)即：(22)8t28t81

440t211t180，(t2)(t9)0t12，t29 7分

因为P在AD边运动的时间为AD88秒，而t98t9（舍去）

11P

N

当t2秒时，PQ与⊙O相切．

A

例10. (2009山东淄博) 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P， 专业.资料.整理

B

D

Q

M

（第25题）

C

完美.格式.编辑

Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

解：

（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点P与点N重合时，

由x22x20，得x1211，x2211（舍去）．因为BQ+CM=x3x4(211)20，此时点Q与点M不重合．所以x211符合题意．

②当点Q与点M重合时，

由x3x20,得x5．此时DNx22520，不符合题意．故点Q与点M不能重合．

所以所求x的值为211．

（2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，由20(x3x)20(2xx2)，解得x10(舍去)，x22．

当x=2时四边形PQMN是平行四边形．

②当点P在点N的右侧时，由20(x3x)(2xx2)20， 解得x110(舍去)，x24．

当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x2或x4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧．

若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，

即2xxx23x．解得x10(舍去)，x24．

由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．

第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来。中等的动点题也就没问题了。但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个范围内

1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想

纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表示的图形。因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

4、综合多个知识点,运用等价转换思想

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5、分题得分:中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第(1)小题较易,第(2)小题中等,第(3)小题偏难,在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到,第(2)小题的分数要力争拿到,第(3)小题的分数要争取得到,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

6、分段得分:一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多踏多给分。因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

二. 重点难点：

1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。

2. 难点： 探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。

三. 具体内容：

通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：

1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。

2. 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目。

3. 存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

4. 规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。

由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

（1）利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律。

（2）反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。

（3）分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。

（4）类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

【典型例题】

[例1]（2007呼和浩特市）在四边形构成一个新的四边形，请你对四边形为一个菱形，这个条件是 。

中，顺次连接四边中点填加一个条件，使四边形，成

解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）

[例2]（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1。

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：______________。

（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是______________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是______________________。（图3、图4用于探究）

解：

（1）是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（2）是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3），此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形。

，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

[例3]（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点O、点A重合。连结CP，过点P作PD交AB于点D。

（1）求点B的坐标；

（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；

（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且P的坐标。

=，求这时点

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

解析：（1）过C作CH⊥OA于H，BE⊥OA于E

则△OCH≌△ABE，四边形CHEB为矩形

∴OH=AE，CH=BE

∵OC=AB=4，∠COA=60°

∴CH=，OH=2

∴CB=HE=3

∴OE=OH+HE=5

∵BE=CH=∴B（5，

）

（2）∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形

∴△OCP是等边三角形

∴OP=OC=4

∴P（4，0）

即P运动到（4，0）时，△OCP为等腰三角形

（3）

∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°

∴∠OPC+∠DPA=120°

又∵∠PDA+∠DPA=120°

∴∠OPC=∠PDA

∵∠OCP=∠A=60°

∴△COP∽△PAD

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

∴

∵，AB=4

∴BD=

∴AD=

即

∴得OP=1或6

∴P点坐标为（1，0）或（6，0）

[例4]（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂足为F。 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明。

解：经探求，结论是：DF = AB

证明如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴ ∠B

=

AD∥BC，

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

∴ ∠DAF

=

∠AEB。

∵ DF⊥AE ∴ ∠AFD =

∵ AE = AD

∴ ABE ≌DFA

∴ AB = DF

[例5]（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在点，若，中，点分别在。

相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边上，设相交于请你写出图中一个与形；

（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）。

（2）答：与四边形相等的角是是等对边四边形。

（或）。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形证法一：如图1，作于点，作。

交延长线于点。

因为所以。因为，

。

。

。

，为公共边，所以，。

所以可证所以所以四边形是等边四边形。

，交于点。 证法二：如图2，以为顶点作

因为所以。

，为公共边，

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

所以所以因为所以所以所以所以所以四边形说明：当，。

。

，。

。

。

。

是等边四边形。

时，，

仍成立。只有此证法，只给1分。

，，边上自由移动。

[例6]（07山东滨州）如图1所示，在中，为的中点，动点在边上自由移动，动点在（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置。若不能，请说明理由。

（2）当写出的取值范围。

时，设，，求与之间的函数解析式，（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与试探究直线与圆O的位置关系，并证明你的结论。

相切（如图2），

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

解：如图，

（1）点此时点①是②（2）在和。

移动的过程中，的位置分别是：

的中点，。③与与重合。

重合，是的中点。

，，

能成为的等腰三角形。

中，又，。。

，，，。

（3）与圆O相切。，。。

即。又。

，。

点到点到和的距离相等。与圆O相切，

的距离等于圆O的半径。

与圆O相切。

[例7]（2007乐山）如图，在矩形中，，。直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点。我们知道，结论“”成立。

（1）当时，求的长；

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（2）是否存在这样的点，使的周长等于存在，求出的长；若不存在，请说明理由。

周长的倍？若

解：（1）在中，由

，由，得知

，（2）假设存在满足条件的点，设。

，则

由知，

，解得此时，，

符合题意。

[例8]（2006湖南衡阳）观察算式：

1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52

用代数式表示这个规律（n为正整数）：1+3+5+7+9++（）= 。

分析与解答：由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1+3+5+7+…+（）=n2，填n2。

【模拟试题】

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

1.（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O。给出下列三个条件：

①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD。

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形。

2.（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M是AD的中点。

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由。

3. 如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB•于点E，DF∥AB交AC于点F。

（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由。

（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

4. 如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C。点D是EF上一个动点，连接AD。试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由。

5.（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC•延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。

（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。

6.（2006广西贺州市）观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是 .

7.（2006广西百色市）如图，A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，An+1An+2⊥AnB，垂足为An+2，则线段An+1An+2（n为自然数）的长为（ ）

A. B. C. D.

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

8.（2007成都市）在平面直角坐标系的图象与轴交于轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点（1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围。

中，已知二次函数两点（点和在点。

的左边），与

9.（2007绵阳市）如图，已知抛物线y = ax2

+ bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为。设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。

（1）求m的值及抛物线的解析式；

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（2）设∠DBC = ，∠CBE = ，求sin（－）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

动点与相似

1．已知∠AOB=45°，P是边OA上一点，OP=42，以点P为圆心画圆，圆P交OA于点C（点P在O、C之间，如图）。点Q是直线OB上的一个动点，连PQ，交圆P于点D，

已知，当OQ=7时，PD2，

DQ3（1）求圆P半径的长；

（2）当点Q在射线OB上运动时，以点Q为圆心，OQ为半径作圆Q，若圆Q与圆P相切，试求OQ的长度；

（3）连CD并延长交直线OB于点E，是否存在这样的点Q，使得以O、C、E为顶点的三角形与△OPQ相似，若存在，试确定Q点的位置；若不存在，试说明理由。

P

D

C

A

P

C

A

专业.资料D

.整理

O

O

Q

B

E Q

B

完美.格式.编辑

2. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，ACB90，点A，C的坐标分别为A(3，0)，C(1，0)，∠BAC的正切值是3／4

（1）求过点A，B的直线的函数解析式；

（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出mAPDQm的值；如不存在，请说明理由．

y

B

A

O

C

x

288和y在第二象限中的图像，A点在y的图像上，点xxx2A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交y图像于点C，AB、DC均平行x轴，分别交x28yy、y的图像于点B、D.

xx3.

如图，双曲线y（1）用m表示A、B、C、D的坐标；

（2）求证：梯形ABCD的面积是定值；

（3）若△ABC与△ACD相似，求m的值.

ABDC 专业.资料.整理

Ox

完美.格式.编辑

4．如图，直线y2xn(n＞0)与x轴、y轴分别交于点A、B,SOAB16，抛物线yax2bx(a0)经过点A，顶点M在直B

y

线y2xn上．

（1）求n的值；

（2）求抛物线的解析式；

（3）如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么在对称轴上找一点P，使得OPN和AMN相似，求点P的坐标．

O

A

x5. 如图所示，抛物线yx3m(m>0)的顶点为A，直线l：y23xm与y轴3交点为B.

（1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；

（3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与⊿OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

y

3

l: y=x

-

m

3A

xO

专业.资料.整理

B

y=

-x-3m2第25题图

完美.格式.编辑

6. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y2x沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．

（1）求△ABC面积；

（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

22y

54321-5-4-3-2-10

-1-2-3-4-512345x

7. 设抛物线yaxbx2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．

(1)求m的值和抛物线的解析式；

(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线yx1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

8．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，0)，C

Q

y

D

B

C

E

Q

P

图1

A

x

O

图2

P

A

x

y

B

A(6，0)，C(0，3)．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动O

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

2秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，3另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示OP，OQ；

（2）当t1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；

（3）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

9. 在直角坐标系xOy中，设点A(0,t)，点Q(t,b)(t,b均为非零常数). 平移二次函数ytx2的图象, 得到的抛物线F满足两个条件: ① 顶点为Q; ② 与x轴相交于B,C两点(|OB||OC|). 连接AB.

(1) 是否存在这样的抛物线F，使得|OA||OB||OC|?请你作出判断，并说明理由；

(2) 如果AQ//BC, 且tanABO

23，求抛物线F对应的二次函数的解析式.

23)，，0)．10. 已知：抛物线yax2bxc(a≠0)，顶点C (1，与x轴交于A、B两点，A(1

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN 专业.资料.整理

完美.格式.编辑

⊥DB于N，请判断PMPN是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

BEAD（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边．PAEFAE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若PBEG成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

y

E

M

O

P

A

B x

N

D

C

11. 抛物线ya(x1)(x5)与x轴的交点为M、N．直线ykxb与x轴交于P(－2，0)．与y轴交于C，若A、B两点在直线ykxb上．且AO=BO=2，

AO⊥BO．D为线段MN的中点。OH为Rt△OPC斜边上的高．

(1)OH的长度等于 ；k= ，b= ．

(2)是否存在实数a，使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点F．满足以D、N、E为顶点的

三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)．并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG102，写出探索过程

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

12.在直角坐标系xOy中，设点A(0,t)，点Q(t,b)(t,b均为非零常数). 平移二次函数ytx2的图象, 得到的抛物线F满足两个条件: ① 顶点为Q; ② 与x轴相交于B,C两点(|OB||OC|). 连接AB.

(1) 是否存在这样的抛物线F，使得|OA|2|OB||OC|?请你作出判断，并说明理由；

(2) 如果AQ//BC, 且tanABO

13.已知抛物线的顶点为2,1，且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且一O,C,D,B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D的坐标。

（3）连接OA, AB，在x轴的下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP∽OAB? 若存在， 专业.资料.整理

3，求抛物线F对应的二次函数的解析式.

2

完美.格式.编辑

求出p点坐标；若不存在说明理由 。

14.直线y=1x+2分别交x, y轴与点A, C。 P是直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，2ABPB为垂足，S9.

（1）求点P的坐标

（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧 。作PT⊥x轴，T为垂足，当△BTR与△AOC相似时，求点R的坐标。

15.抛物线经过点A（4，0），B (1，0)，C(0，2)三点。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥X轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A,P,M

为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来。中等的动点题也就没问题了。但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个范围内

1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想

纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表示的图形。因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

4、综合多个知识点,运用等价转换思想

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5、分题得分:中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第(1)小题较易,第(2)小题中等,第(3)小题偏难,在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到,第(2)小题的分数要力争拿到,第(3)小题的分数要争取得到,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

6、分段得分:一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多踏多给分。因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。

二. 重点难点：

1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。

2. 难点： 探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。

三. 具体内容：

通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：

1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。

2. 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目。

3. 存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

4. 规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。

由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

（1）利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律。

（2）反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（3）分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。

（4）类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用。

【典型例题】

[例1]（2007呼和浩特市）在四边形构成一个新的四边形，请你对四边形为一个菱形，这个条件是 。

中，顺次连接四边中点填加一个条件，使四边形，成

解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）

[例2]（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1。

专业.资料.整理

完美.格式.编辑

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：______________。

（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________。

（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是______________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是______________________。（图3、图4用于探究）

解：

（1）是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（2）是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3），此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形。

，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

专业.资料.整理