2024年1月24日发(作者：八上月考数学试卷常考题)
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判断角的终边所在的象限题型分析
判断角的终边所在的象限属于基础题型，其判定方法主要有下面五种：①根据角的范围；②利用角的对称与旋转；③根据三角函数的符号；④逐一讨论四个象限；⑤根据三角函数的定义.下面就上述方法在不同的题型中的应用进行举例说明.
一、已知三角函数符号判断角所在的象限
例1已知sin＜0,且tan＞0,求所在象限.
解：由sin＜0,知在第三、第四象限或y轴负半轴上，
又由tan＞0,知在第一、三象限，∴在第三象限.
二、已知三角不等式判断角所在的象限
例2已知cot(sin)·tan(cos)＞0，判断是第几象限的角.
解：(1)当θ为第一象限角的角时，0＜sin＜1＜，0＜cos＜1＜，
22∴cot(sin)＞0，tan(cos)＞0，∴cot(sin)·tan(cos)＞0，满足条件；
(2)当θ为第二象限角的角时，0＜sin＜1＜，﹣＜﹣1＜cos＜0，
22∴cot(sin)＞0，tan(cos)＜0，∴cot(sin)·tan(cos)＜0，不满足条件；
(3)当θ为第三象限角的角时，﹣＜﹣1＜sin＜0，﹣＜﹣1＜cos＜0，
22∴cot(sin)＜0，tan(cos)＜0，∴cot(sin)·tan(cos)＞0，满足条件；
(4)当θ为第四象限角的角时，﹣＜﹣1＜sin＜0，0＜cos＜1＜，
22∴cot(sin)＜0，tan(cos)＞0，∴cot(sin)·tan(cos)＜0，不满足条件.
∴角θ是第一、三象限的角.
sin+csc例3已知＜0，则角所在象限为( )
tan+cotA.第一、三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限
限角
解：设P(x，y)是角终边上异于原点的任一点，且|OP|=r(r＞0)，则
yr＋rysin+csc由已知 ＜0，得 ＜0，∴rx＜0，∵r＞0，∴x＜0.
tan+cotyx＋xy所以cos＜0，且y≠0，所以是第二或第三象限的角，故选C.
三、已知三角等式判断角所在的象限
cossin例4若+=﹣1，试判断所在的象限.
1+tan21+cot2cossincossincossin解：+=+=+=cos|cos|+sin|sin|,
1+tan21+cot2sec2csc2|sec||csc|
cos＜0若原等式成立，则必须满足：,∴θ应为第三象限角.
sin＜0D.第三、四象四、已知角所在的象限判断等分角、倍角、和差角所在的象限
例5已知是第四象限的角,求、2α、﹣α、180-α、180+α角的终边所在象限(或所3在坐标轴).
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解:(1)k·120＋90＜＜k·120＋120，k∈Z
3当k＝3n，n∈Z时，n·360＋90＜＜n·360＋120,则在第二象限,
33当k＝3n＋1，n∈Z时，n·360＋210＜＜n·360＋240,则在第三象限,
330当k＝3n＋2，n∈Z时，n·360＋330＜＜n·360＋360,则在第四象限,
33∴是第二或第三或第四象限角
3(2)k·720＋540＜2α＜k·720＋720,k∈Z,∴2α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上,.
(3)法一：-k·360-360＜-α＜-k·360-270,k∈Z,∴-α是第一象限角.
法二：∵α是第四象限角，-α的终边与的α终边关于x轴对称，∴-α是第一象限角.
(4)法一：-k·360-180＜180-α＜﹣k·360﹣90,k∈Z,∴180﹣α是第三象限角.
法二：∵α是第四象限角，∴180﹣α的终边与α的终边关于y轴对称,∴180﹣α是第三象限角,
(5) 法一：k·360+450＜180＋α＜k·360+540，k∈Z,∴180＋α是第二象限角.
法二：∵α是第四象限角，∴180＋α的终边与α的终边关于原点对称(或说互为反向延长线)，
∴180＋α是第二象限角.
例6若角θ是第四象限的角，则角﹣θ是( )
2B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
解：∵角θ是第四象限的角，且﹣θ与θ关于x轴对称，∴﹣θ是第一象限的角，
此时，﹣θ可以看成是角﹣θ按逆时针方向旋转弧度所成的角，即为第二象限的角，22故选B.
五、已知其它条件判断角所在的象限
例7已知点P(tanα,cosα)在第三象限，试确定角α的终边所在的象限.{二}
解：∵点P(tanα,cosα)在第三象限，∴tanα＜0，cosα＜0，
由tanα＜0，知α为第二或第四象限角，
由cosα＜0，知α为第二、第三象限角或为x轴负半轴上的角，
∴角α为第二象限的角.
A.第一象限角
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