2023年12月11日发(作者：学霸挑战写数学试卷)
第一章：有理数
一、有理数的基础知识
1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数;（2）负数:在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数;(3）0即不是正数也不是负数,0是一个具有特殊意义的数字,0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析:①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－\"去判断，要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别.
②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。
③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；
④常常有温差、时差、高度差(海拔差）等等差之说，其算法为高温减低温等等；
2、有理数的概念及分类：整数和分数统称为有理数.
有理数的分类如下：
（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：
正整数正整数正有理数整数0正分数
负整数有理数有理数0正分数负整数分数负有理数负分数
负分数概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数;
②正有理数和0又称为非负有理数,负有理数和0又称为非正有理数
③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；
3、数轴:标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点）,选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大,即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0,正数大于负数。
概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；
②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；
- 1 - ③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；
④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地,设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数—a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式Lab或Lba,这两个公式选择那个都一样。
4、相反数
如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0,互为相反的两个数,在数轴上位于原点的两则,并且与原点的距离相等。
概念剖析:①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”.
②很显然，数a的相反数是—a,即a与—a互为相反数。要把它与倒数区分开。
③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边,且离原点的距离相等,也就是说它们关于原点对称。
④在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。
⑤如果数a和数b互为相反数,则a+b=0；ab1(ab0)或1(ab0)；
ba⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“-\"即可;例如ab的相反数是ba；
5、绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
(2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身;0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母(a0)aa表示如下：a0(a0)
a(a0)（3）两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离\"，而距离是非负,也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即a0.
②互为相反数的两个数离原点的距离相等,也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。
二、有理数的运算
- 2 - 1、有理数的加法
(1）有理数的加法法则：同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
（2)有理数加法的运算律：
加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律:( a+b ） +c = a + (b +c）
知识窗口:用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加;把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.
2、有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号,不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.
（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算；
概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数\"即可转化。转化后它满足加法法则和运算律。
3、有理数的乘法
(1)有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
（2）有理数乘法的运算律：交换律:ab=ba；结合律:（ab)c=a（bc）;交换律：a（b+c)=ab+ac。
（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1,那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。
概念剖析:①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”
②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘,积的符号由负因数的个数来决定,当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
③有理数乘法的计算步骤:先确定积的符号,再求各因数绝对值的积。
4、有理数的除法
有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数,0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法;除法法则也可以看成是：两个数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。
概念剖析:①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它满足乘法法则和运算律。
- 3 - ②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一,即a的倒数为和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即1（a≠0）;求一个真分数anm的倒数为;求一个带分数的倒数，应先将带分数化为mn假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数,应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。
5、有理数的乘方
（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“an\"其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。
(2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，—1偶数次幂是1、-1奇数次幂是—1；
概念剖析：①“an” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a；
nn②(a)a。因为a表示n个a相乘,而(a)表示n个a的相反数；
nn③任何数的偶次幂都得非负数,即a2n0。
知识窗口：所有的奇数可以表示为2n+1或2n—1；所有的偶数可以表示为2n.
6、有理数的混合运算
(1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.
(2)进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。
知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。
7、科学记数法
（1）把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。
（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
（3）一个数,从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位)，所得的数字，叫做这个数的有效数字。
- 4 - 概念剖析：I 把一个数b用科学记数法表示为a×10n，其中1a10,n为自然数,
5①当b10时,
n为这个数b的整数位数减1；例如：用科学记数法表示188000.04得1.880000410，它满足
11.880000410，561 （188000.04的整数部分有6位数）；
②当1b10时,n为0；例如:用科学记数法表示1.8800004得1.880000410；
③当b1时,n为由b变到a的过程中小数点移动位数的相反数;
④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现.
II 在让数字精确和数有效数字时应注意:
①在四舍五入法精确小数时不可轻视,即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略。如：将2.08965601精确到千分位,应为2.090,不应为2.09。其他分位也应注意.
②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位）,所得的数字\"； 科学记数法a×10n的形式中，效数字只与a有关,而与10n无关。
0第二章 整式的加减
2。1
整式
单项式:由数字和字母乘积组成的式子.单独一个数或一个字母也是单项式。因此,判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系,即分母中不含有字母;若式子中含有加、减运算关系,也不是单项式.
单项式的系数：是指单项式中的数字因数；
单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和。
多项式：几个单项式的和。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数。
多项式的项:在多项式中，每一个单项式。（注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号）
整事：单项式和多项式统称为整式.
2.2整式的加减
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.(几个常数项也是同类项)
同类项必须同时满足两个条件：（1)所含字母相同；（2）相同字母的次数相同，二者缺一不可。
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。
- 5 - 合并同类项法则:
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；
字母的升降幂排列：按某个字母的指数从小（大）到大(小）的顺序排列.
如果括号外的因数是正（负）数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（反）。
去（添)括号：①若括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
②若括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；
第三章 一元一次方程
1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.
2、等式的基本性质
（1)等式两边同时加上（或减去)同一个数或代数式，所得结果仍是等式.若ab,则acbc或acbc。
(2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.若ab,则acbc或（3）对称性:等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若a=b，则b=a；
（4）传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换.
3．方程：含未知数的等式，叫方程.
4．方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意:“方程的解就能代入”！
5．移项：改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项。移项的依据是等式性质1。移项必变号，“+”变“—\",“—”变“+”；“×\" 变“÷\"，“÷”变“×\"；即移加变减，移乘变除，移减变加,移除变乘。
ab;
cc6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
8．一元一次方程解法的一般步骤：
解一元一次方程的步骤
主要依据 注意问题
- 6 - 1、去分母 等式的性质2
注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项,切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质,把分母化为整数,若分子是代数式，则必加括号。
严格执行去括号的法则,若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号。
越过“=”的叫移项，属移项者必变号;未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时去括号法则
2、去括号
乘法分配律
3、移项 等式的性质1
把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。
4、合并同类项 合并同类项法则 注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变.
两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数)，切不可分子、分母颠倒。
5、系数化为1 等式的性质2
6、检验
10．列一元一次方程解应用题:
（1）读题分析法：“和，差，倍，分问题\"
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如:“大，小，多，少，是，共，合,为,完成,增加,减少,配套-—--—”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
（2）画图分析法：“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量）,填入有关的代数式是获得方程的基础。
11．解实际应用题：
知识点1：市场经济、打折销售问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润×100%
商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝(销售价－成本价）×销售量
知能点2： 方案选择问题
知能点3储蓄、储蓄利息问题
（1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做 - 7 - 期数,利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税
（2)利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20％）
(3）利润每个期数内的利息100%,
本金知能点4：工程问题
工作量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作量÷工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
知能点5：若干应用问题等量关系的规律
（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式. 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量
（2)等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc
知能点6：行程问题
基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
（1)相遇问题 (2)追及问题
快行距＋慢行距＝原距 快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题 顺水（风）速度＝静水（风)速度＋水流（风）速度
逆水（风)速度＝静水（风）速度－水流（风)速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速)不变的特点考虑相等关系
知能点7:数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9, 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为:100a+10b+c.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1；偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
- 8 - 第四章 图形认识初步
4。1多姿多彩的图形
（1）几何图形：把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形；几何图形可分为立体图形和平面图形
（2）立体图形:各部分不都在同一平面内的几何图形;（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)
（3）平面图形:各部分都在同一平面的几何图形；（如线段、三角形、长方形、圆等）
（4）立体图形的三视图:主视图（从正面看)、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看)
（5）展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图；
（6）几何体简称为体；
（7）包围着体的是面；（面有平的面和曲的面两种）
（8）面和面相交的地方形成线;线和线相交的地方形成点；
（9）点动成线、线动成面、面动成体；
（10）几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素;
4。2 直线、射线、线段
1、线段、射线、直线的定义
（1）线段:线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度.
（2)射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。
(3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度.
概念剖析:①线段有两个端点，射线有一个端点,直线没有端点；
②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说；
③线段只有长短之分，而没有大小之别,射线和直线既没有长短之分，也没有大小之别；
2、线段、射线、直线的表示方法
（1）直线的表示方法：①用一个小写字母表示直线（如直线l）②用一条直线上的两点来表示这条直线（如直线AB）
（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面.
(3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
概念剖析：①将线段的两个端点位置颠倒，得到的新线段与原来的线段是同一线段，即线段AB与线段BA是同一线段；
②将表示射线的两个点位置颠倒，得到的新射线与原来的射线不是同一射线，即射线AB与射线BA不是同一射线，因为它们的端点和方向不同；
③将表示直线的两个点位置颠倒，得到的新直线与原来的直线是同一直线，即直线AB与直线BA是同一直线；
④识别图中线段的条数要把握一点：只要有一个端点不相同，就是不同的线段;
⑤识别图中射线的条数要把握两点：端点和方向缺一不可；
3、线段、射线、直线的联系：
①射线和直线都是有线段无限延伸形成的，把线段向一个方向无限延伸就成了射线，把线段向两个方向无限延伸就形成了直线。
②射线和线段都可以看成是直线的一部分。
- 9 - 4、线段、射线、直线的区别：
①线段有两个端点,射线有一个端点，直线没有端点;
②“线段可以量出长度\"，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即射线和直线既没有明确的长度,也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说;
③直线不能延伸,射线只能向一个方向延伸，线段可以向两个方向延伸；
5、直线事实：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。
6、线段的比较：（1）叠合比较法；(2）度量比较法。
7、线段事实：“两点之间，线段最短”.连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
8、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
9、距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离；
4.3 角
1、角的概念：
(1)角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
(2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法：
角用“∠”符号表示
（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示.（顶点必须在中间）
（2)在角的内部写上阿拉伯数字,然后用这个阿拉伯数字来表示角。
（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
（4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒,用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′,1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
(1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角.
(3)0°<锐角<90°,直角=90°，90°<钝角〈180°，平角=180°，周角=360°.
6、画两个角的和，以及画两个角的差
（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
(2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线：从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
8、角的计算.
9、余角和补角
（1）互为余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；(即其中一个角是另一个角的余角）
（2）互为补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角；（即其中一个角是另一个角的补角）
（3）补角的性质：等角的补角相等；
（4）余角的性质：等角的余角相等；
10、方位角
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