2015年全国考研数学真题答案(数一)

2023年12月10日发(作者：妈妈给儿子做数学试卷)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．1、设函数f(x)在连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线yf(x)的（-,+）拐点个数为（）

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

【答案】(C)

【考点】拐点的定义

【难易度】★★

【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f(x)的图形可知，曲线yf(x)存在两个拐点，故选(C).

2、设y则（）

12x1exex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解，23（A）a3,b1,c1. （B）a3,b2,c1.

（C）a3,b2,c1. （D）a3,b2,c1.

【答案】(A)

【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法

【难易度】★★

【详解】12x1xe,e为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+ab0的根，从而23a123,b122,再将特解yxex代入方程y3y2ycex得：c1.

1 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

3、若级数an1n条件收敛，则x3与x3依次为幂级数nanx1的：

n1n（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点

（C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点

【答案】(B)

【考点】级数的敛散性

【难易度】★★★

【详解】因为an条件收敛，故x2为幂级数anx1的条件收敛点，进而得n1n1nanx1的收敛半径为1，收敛区间为0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故n1nnax1nn1n的收敛区间仍为0,2，因而x3与x3依次为幂级数nanx1的收敛n1n点、发散点.

4、设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则f(x,y)dxdy

D（A）d241sin212sin21sin212sin2f(rcos,rsin)rdr （B）2d41sin212sin2f(rcos,rsin)rdr

（C）d34f(rcos,rsin)dr （D）3d41sin212sin2f(rcos,rsin)dr

【答案】(D)

【考点】二重积分的极坐标变换

【难易度】★★★

【详解】由yx得，24；由y3x得，3

由2xy1得，2rcossin1,r1

sin21

2sin22

由4xy1得，4rcossin1,r2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

所以f(x,y)dxdyd3D41sin212sin2f(rcos,rsin)rdr

11115、设矩阵A12a，bd，若集合{1,2}，则线性方程组Axb有无穷多个14a2d2解的充分必要条件为

（A）a,d （B）a,d

（C）a,d （D）a,d

【答案】(D)

【考点】非齐次线性方程组的解法

【难易度】★★

111111【详解】A,b12ad11a1d114a2d20100a1a2

d1d2Axb有无穷多解R(A)R(A,b)3

a1或a2且d1或d2

6、设二次型f(x21,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为2y1y222y3，其中

P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为（A）2y2222221y2y3 （B）2y1y2y3

（C）2y2222221y2y3 （D）2y1y2y3

【答案】(A)

【考点】二次型

【难易度】★★

【详解】由xPy，故fxTAxyT(PTAP)y2y222T201y2y3且：PAP0100

3

00

1 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

100200PC,QTAQCT(PTAP)C010QP001

010001TTT222fxAxy(QAA)y2yyy123所以，故选(A)

7、若A,B为任意两个随机事件，则

（A）P(AB)P(A)P(B) （B）P(AB)P(A)P(B)

（C）P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) （D）P(AB)

22【答案】(C)

【考点】

【难易度】★★

【详解】P(A)P(AB),P(B)P(AB)

P(A)P(B)2P(AB)

P(AB)P(A)P(B)故选（C）2

8、设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3,则EXXY2

（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5

【答案】(D)

【考点】

【难易度】★★★

【详解】

22EXXY2XEXEXY2EXXXY2EDXElncosxx0x21【答案】

29、lim【考点】极限的计算

2XEXEY2EX5

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．

4 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

【难易度】★★

1x2lncosxln(1cosx1)cosx121 【详解】limlimlimlimx0x0x0x0x2x2x2x22(10、2-2sinxx)dx1cosx

【答案】24

【考点】积分的计算

【难易度】★★

sinx22【详解】(

x)dx2xdx0-1cosx42211、若函数zz(x,y)由方程exyz+xcosx2确定，则dz【答案】

【考点】隐函数求导

【难易度】★★

z(0,1).

z【详解】令F(x,y,z)exyzxcosx2，则Fxyz1sinx，Fyxz，Fzxy，FyFxzz又当x0,y1时，z0，所以0，因而dz1，y(0,1)Fzx(0,1)Fz12、设是由平面xyz1与三个坐标平面所围成的空间区域，则

(0,1)dx

(x2y3z)dxdydz

【答案】1

4【考点】三重积分的计算

【难易度】★★★

【详解】由轮换对称性，得

òòò(x+2y+3z)dxdydz=6òòòzdxdydz=6òWW10zdzòòdxdy

Dz 5 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为112(1-z).所以

2211dz=3ò(z3-2z2+z)dz=

04òòò(x+2y+3z)dxdydz=6òòòzdxdydz=6ò0z×(1-z)WW1220-12013、n阶行列式0【答案】2n12

【考点】行列式的计算

【难易度】★★★

【详解】按第一行展开得

002222

00-12

=2n+1-2

14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0,1,1,0)，则P(XYY0)【答案】.

1

2【考点】

【难易度】★★

【详解】(X,Y)~N(1,0,1,1,0)，X~N(1,1),Y~N(0,1),且X,Y独立

X1~N(0,1)，PXYY0P(X1)Y0

11111PX10,Y0PX10，Y0

22222

6 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx，若f(x)与g(x)在x0是等价无穷小，求a，b，k值。

【考点】等价无穷小量，极限的计算

【难易度】★★★

【详解】f(x)xaln(1x)bxsinx

3x2x3x33xaxxbxxx3

233!aa 1axbx2x3x3

32f(x)与g(x)kx3是等价无穷小

1+a0a11ab0 b

221akk33

16、（本题满分10分）

设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成的区域的面积为4，且f(0)2，求f(x)的表达式.

【考点】微分方程

【难易度】★★★

【详解】如下图：

7 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

xx0处的切线方程为l：yf(x0)(xx0)f(x0)

l与x轴的交点为：y0时，xx0f(x0)f(x0)xx0， ，则ABf(x0)f(x0)因此，Sy111f(x0)ABf(x0)f(x0)4.即满足微分方程：2，解得：y822f(x0)11xc.

y8又因y(0)2，所以c17、（本题满分10分）

已知函数f(x,y)xyxy，曲线C:xyxy3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.

【考点】方向导数，条件极值

【难易度】★★★

【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故

2218，故y.

24xgradf(x,y)1y,1x

故f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为221y2(1x)2，其中x,y满足x2y2xy3，22即就求函数z(1y)(1x)在约束条件xyxy30下的最值.

构造拉格朗日函数F(x,y,)(1y)(1x)(xyxy3)

8

2222 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

Fx2(1x)2xy0F令2(1y)2yx0可得(1,1),(1,1),(2,2),(1,2)

yFx2y2xy30其中z(1,1)4,z(1,1)0,z(2,1)9z(1,2)

综上根据题意可知f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3.

18、（本题满分10分）

(Ⅰ)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明

[u(x)v(x)]\'=u\'(x)v(x)u(x)v(x)\'

(Ⅱ)设函数u1(x),u2(x)...un(x)可导，f【考点】导数定义

【难易度】★★

【详解】

\'(x)u1(x)u2(x)...un(x),写出f(x)的求导公式.

uxxvxxuxv(x)uxvxlimx0xuxxu(x)vxxuxv(xx)v(x)

limx0x u\'xv(x)uxv\'(x)

f\'(x)u1(x)u2(x) u1\'(x)u2(x) u1\'(x)u2(x)

u1\'(x)u2(x)

19、（本题满分10分）

9

un(x)\'un(x)u1(x)u2(x)un(x)\'\'un(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)u1(x)u2\'(x)un(x)un(x)

u1(x)u2(x)un\'(x) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

z2x2y2,已知曲线L的方程为起点为A(0,2,0)，终点为B(0,2,0)，计算曲线积zx,分IL(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dz

【考点】曲线积分的计算

【难易度】★★★

xcos,【详解】曲线L的参数方程为y2sin,从到

22zcos,I(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dz

L222(2sincos)sin2sin2cos(cos2sin)sind2122sin2sin2sinsin3d22

222sind222sin2d22021222220、（本题满分11分）

设向量组1,2,3是3维向量空间3的一个基，1212k3，222，31(k1)3。

（Ⅰ）证明向量组1,2,3是3的一个基；

（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基1,2,3与基1,2,3下的坐标相同，并求出所有的。

【考点】线性无关，基下的坐标

【难易度】★★★

2【详解】（Ⅰ）(1,2,3)(1,2,3)02k1

200k10 10 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

2因为00210222k1k140，

2k0k1所以1,2,3线性无关，1,2,3是3的一个基。

2（Ⅱ）设P02k1，为从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵，又设在基20P0k101,2,3下的坐标为x(x1,x2,x3)T，则在基1,2,3下的坐标为P1x，

由xPx，得Pxx，即(PE)x0

11由PE001100k12k2k1,c为任意常数。

k0，得k0，并解得xc0k11从而c1c3,c为任意常数。

21、（本题满分11分）

02-31-20设矩阵A-133相似于矩阵B0b0.

1-2a031（Ⅰ）求a,b的值.

（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P1AP为对角阵.

【考点】相似矩阵，相似对角化

【难易度】★★★

023120【详解】由A133相似于B0b0

12a031 11 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

03a1b1023120则,解得a4,b5

1330b012a031fA()|EA|11233(1)2(5)0

324123123当121,(EA)123000

12300023 特征向量11,20，01523123101 当35,(EA)1231210111215230001001231则特征向量31,所以P(1,2,3)101,得P1AP010

005101122、（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为

2-xln2x0f(x)=

0x0对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y（Ⅰ）求Y的概率分布；

（Ⅱ）求EY.

【考点】

【难易度】★★★★

【详解】Px3

为观测次数.

32xln2dx18

12 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

12k2（）PYkCk(k1)()2()k2,k2,1()()18781878

17k217（）EYk(k1)()()k(k1)()k2

8864k28K2121k1k2k(k1)xx设级数S(x)

36464k264(1x)k277S()16所以EYS()16

8823、（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

21f(x;)=10x1其他

其中为未知参数，X1，X2.....Xn为来自该总体的简单随机样本.

（Ⅰ）求的矩估计.

（Ⅱ）求的最大似然估计.

【考点】

【难易度】★★★

【详解】由题可得（）

x1x211EXdx|11221112xixi12ni1ni1nn

（）联合概率密度

f(x1,x2,,xn;)1,xi1

(1)nlnfnln(1)dlnfn0，故取

d1minx1,x2,

,xn

13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

14 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

赠送以下资料

15 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

考研英语作文模板（英语一）

大作文

考研英语大作文一般是看图写作，从一幅图分析含义及意义，所以只需要几个好的模板，根据题目套上去就行了。题目反映的意义无非三种：积极，消极和中性。所以我准备了三个不同类型的模板，到时候大家根据题目自己分析一个写作方向，再结合模板，把内容填进模板就好了。

模板只是保证文章结构不过于混乱，具体的写作还希望大家多背历年写作真题和资料书上的作文，总结出自己喜欢的句子背下来，背熟之后根据原文的中文意义用自己的语言再把文章写出来，这样才能得到更好的效果。

切记：模板只能起到应急和保证结构的作用，真正写好作文拿高分还需要自己不断地背诵和练习，祝大家考试顺利！

模板一：积极（图画反映了什么积极现象，我们应提倡…）

………（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。如果实在写不出可以不写）……….，The picture above symbolically/subtly illustrate/demonstrate

that ……(描述图画)……。Below the drawing，there is a caption which indicates……(图片下的标题)………..。或者：【on the drawing，there are huge Chinese characters

reads ：……(图片上的中文字)…….】

Undoubtedly，we can deduce from the cartoon that the painter is trying to show us

that ……（主旨）………..。To begin with，……………。In addition，…………..。………（小结）………..。

As far as I am concerned ，it is high time that we highlighted the significance

of ………and cultivated the citizens’awareness that ……….is essential to us 。only by

enforcing these measures into practice ，can our society be more harmonious，our economy

be more prosperous and we，as individuals ，embrace more promising prospect。

16 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

模板二：消极（图画反映了什么消极现象，我们应采取行动改变…）

………（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。如果实在写不出可以不写）……….，The picture above symbolically/subtly illustrate/demonstrate

that ……(描述图画)……。Below the drawing，there is a caption which indicates……(图片下的标题)………..。或者：【on the drawing，there are huge Chinese characters

reads ：……(图片上的中文字)…….】

Undoubtedly，we can deduce from the cartoon that due attention has to be paid to

the issue of ………….。The causes of this phenomenon are as follows ：To begin

with，……………。In addition，…………..。Last but not least ，…………………。If

we let this situation continue as it is，our…………will suffer a great

destruction/damage/injury。The problem will be worse and worse 。

As far as I am concerned ，It is imperative for us to take drastic and effective

measures to reverse the disturbing trend revealed in the above picture。On the one

hand，……………..。on the other hand，……………….。Only by enforcing these measures

into practice can we curb the current phenomenon/surmount this difficulty ，and we will

have a brilliant future。

模板三：中性（图画反映的现象是一把双刃剑，只要好好利用…）

………（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。如果实在写不出可以不写）……….，The picture above symbolically/subtly illustrate/demonstrate

that ……(描述图画)……。Below the drawing，there is a caption which indicates……(图片下的标题)………..。或者：【on the drawing，there are huge Chinese characters

reads ：……(图片上的中文字)…….】

Apparently，we can deduce from the cartoon that the painter is trying to attract our

attention to the issue of ………….。A coin has two sides ，the …………likes a

double-edged sword 。On the one hand，……………..。on the other

hand，……………….。……（小结）……..。

As far as I am concerned，……itself is not good or bad and we can benefit a lot

from …….as long as we take a good control over them 。Only by doing so can

our society be more harmonious，our economy be more prosperous and we ，as

individuals，embrace more promising prospect。

17 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一

18