2023年12月2日发(作者：南通用的数学试卷小学)
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案
1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：
$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$
为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f\'(x)=80-30x$。
当$f\'(x)=0$时，即$x=frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(frac83)=400$。当$x
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。求$sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
解：根据题意可列出
$$S_1=sqrt{1^2+1}-1=0.4142136cdots,
{S_2}=sqrt{2^2+1}-2=0.7320508cdots$$
对于$nge2$，可推导出
$$S_n=sqrt{n^2+1}-n=frac{1}{sqrt{n^2+1}+n}$$
所以，
$$T_n=frac{S_1+cdots+S_n}{n}=frac{1}{n}sum_{k=1}^nfrac{1}{sqrt{k^2+1}+k}$$
因为
$$frac{2}{sqrt{k^2+1}+k}-frac{2}{sqrt{k^2+4k^2+4}+k}=2(sqrt{k^2+4k^2+4}-sqrt{k^2+1}-3k)>0$$
所以
$$begin{aligned}T_n& &=frac12(n-S_n)+frac1n end{aligned}$$ 又因为 $$begin{aligned}T_n&>frac12left(frac{1}{1+2}+frac{2}{2+3}+cdots+frac{n-1}{n+(n-1)}+frac{n}{sqrt{n^2+1}+n}right) &=frac{1}{sqrt{n^2+1}+n} end{aligned}$$ 所以 $$frac{1}{sqrt{n^2+1}+n} 由于 $$S_n<1, n-sqrt{n^2+1}<1, forall ninmathbb{Z}^+$$ 因此 $$5n-6 进而 $$45times10 因此$sum_{k=1}^{2019}s_k=10sum_{k=1}^{2019}T_k-5cdot2019=10cdot45times2019-5cdot2019=9105845$，个位数为$5$。 因此，$sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数为5。 （二）2018年全国高中数学联赛试题及答案 1. 给定三个正整数$a,b,c$。令$A=tan^{-1}frac{a^2}{bc},B=tan^{-1}frac{b^2}{ac},C=tan^{-1}frac{c^2}{ab}$，求证： $$tan(A-2B)+tan(2B-3C)+tan(3C-A)=0$$ 解：为了证明$tan(A-2B)+tan(2B-3C)+tan(3C-A)=0$，我们可以尝试将式子化简： $$begin{aligned}&tan(A-2B)+tan(2B-3C)+tan(3C-A) =&frac{sin(A-2B)}{cos(A-2B)}+frac{sin(2B-3C)}{cos(2B-3C)}+frac{sin(3C-A)}{cos(3C-A)} =&frac{(2sin Acos B-2cos Asin B)(-cos(2B-3C)cos(A-2B))+(cos 2Bcos 3C-sin2Bsin 3C) (sin(3C-A)cos(2B-3C))}{cos(2B-3C)cos(A-2B)cos(3C-A)} &+frac{(sin 3Ccos A-cos 3Csin A)(cos(A-2B)cos(3C-A))}{cos(2B-3C)cos(A-2B)cos(3C-A)} =&frac{-sin 2Acos^2 B+sin 2Acos^2 B+sin^2 2Bcos(A-3C)+cos^2 3Csin(A-3C)-sin^2 3Csin(A-3C)}{cos(2B-3C)cos(A-2B)cos(3C-A)} =& 0end{aligned}$$ 因此，$tan(A-2B)+tan(2B-3C)+tan(3C-A)=0$。 2. 编写一个程序，求出$101$的连分数逼近，保留的小数位数为$10^6$位。解释连分数逼近的原理。 解：连分数逼近是一种数学上的求逼近方法，可以将一个数表示为下面这个形式： $$a_0+frac{1}{a_1+frac{1}{a_2+frac{1}{a_3+cdots}}}=a_0+cfrac{1}{a_1+cfrac{1}{a_2+cfrac{1}{a_3+cdots}}}$$ 其中$a_0,a_1,a_2,a_3,cdots$都是正整数。 连分数逼近的思路是不断截取这个序列进行逼近，适用于实数和分数，极其高效和迅速。对于目标数$x$和它的有理逼近式$p_0/q_0$，在有理逼近的基础上有一个新的近似：$p_1/q_1$。设该序列的连分数逼近式为： $$[a_0;a_1,a_2,cdots,a_n]=a_0+frac1{displaystyle a_1+frac1{displaystyle a_2+frac1{a_3+cdots+frac1{a_n}}}}$$ 易知： $$begin{aligned}begin{cases}p_{-1}=1, q_{-1}=0 p_0=a_0q_{-1}+q_{-2}, q_0=a_0q_{-1}+p_{-1}=a_0 p_{k+1}=a_{k+1}p_{k}+p_{k-1}, q_{k+1}=a_{k+1}q_{k}+q_{k-1} end{cases}end{aligned}$$ 在用连分数逼近式求$101$的连分数逼近时，我们可以将其表示为： $$101=[101;,1,99,2,1,4,1,1,2,1,7,4,1,14,3,2,3,1,2,7,1,1,55,1,3,cdots]$$ 所以， $$begin{aligned}frac{1}{101}&=[0;99,2,1,4,1,1,2,1,7,4,1,14,3,2,3,1,2,7,1,1,55,1,3,cdots] &=[0;99,2,1,4,1,1,2,1,7,4,1,14,3,2,3,1,2,7,1,1,55,1,cdots]end{aligned}$$ 因此，$101$的连分数逼近为： $$101=[101]=101, [0;99,2,1,4,1,1,2,1,7,4,1,14,3,2,3,1,2,7,1,1,55,1,3, cdots]$$ 程序如下： bitset<10000010> vis; ll a[10000010], p[100],q[100]; ll C = 1000000, cnt=0; ll gcd(ll x, ll y) { return y? gcd(y,x%y): x; } int main() { Gcd[0]=1; FOR(i,1,1000) a[i]=i,vis[i]=1; FOR(i,2,C) if(!vis[i]) { for(ll j=i;j<=C/i;j++) vis[i*j]=1; } while(1) { a[++cnt]=1; FOR(i,2,C) if(!vis[i]) if(judge(gcd(i,C),1)) { if(a[cnt-1]==1) a[cnt]++; else a[++cnt]=1; p[cnt]=a[cnt]*p[cnt-1]+p[cnt-2]; q[cnt]=a[cnt]*q[cnt-1]+q[cnt-2]; if(cnt%1000==0) { FOR(j,1,le) { putchar(num[j]^129); } le=0; } } if(a[cnt]==1) break; } return 0; } （三）2017年全国高中数学联赛试题及答案 1. 已知$A,B$为实数，满足对于任何实数$x$，下列不等式成立： $$|Ax^2+Bx+1|gefrac{1}{4}$$ 证明：$A^2le2$。 解：当$A=0$时，题目成立。当$A>0$时，设不等式左边的根为$x_1$，右边的根为$x_2$，不妨设$x_1 Ax_1x_2+frac{A}{2}(x_1+x_2)^2- Ax_1x_2+1le0 Rightarrow frac{A}{2}(x_1+x_2)^2+1le0$$ 当$A>0$时，上式显然不成立，所以当$A>0$时，$A^2le2$。 当$A<0$时，同样设不等式左边的根为$x_1$，右边的根为$x_2$，不妨设$x_1 $$-(Ax-x_1)(Ax-x_2)le0 Rightarrow Ax_1x_2-Ax(x_1+x_2)+1ge0 Rightarrow Ax_1x_2+frac{A}{2}(x_1+x_2)^2- Ax^2+1le0 Rightarrow frac{A}{2}(x_1+x_2)^2+1- Ax_1x_2le Ax^2$$ 当$Axle-2$时，显然上式成立。当$Ax>-2$时，则不难证明$x_1=-frac{A+sqrt{A^2-8A}}{2A}, x_2=-frac{A-sqrt{A^2-8A}}{2A}$，再将其代入上式得： $$frac{A}{2}(-frac{sqrt{A^2-8A}}{A})^2+1-frac{(A^2-8A)}{4A}le (-frac{sqrt{A^2-8A}}{2})^2$$ 整理得到： $$A^2-6A+8le0 Rightarrow (A-2)(A-4)le0$$ 所以当$A<0$时，$A^2le2$。 综上，不等式成立当且仅当$A^2le2$。 2. 让我们来玩一个“数学表达式”的游戏。将最初的“表达式”写成$1,2,3$任意排列的全排列。然后从最左端开始，找到符合下列情况的最小连续子串并将其替换。找到一个字母$A$，紧接着是一个字母$B$，并将子串“AB”的所有可能情况都替换成另一个字母$C$，然后继续寻找下一个“AB”子串，直到没有为止。例如，全排列为$3,1,2$，并且我们已用$C$代替过了$1,2$和$2,3$，那么下一个要替换的子串是$3,C$，因为它可以被$D$代替，即将全部出现的$3,D$替换为$E$，从而得到新的表达式$C,C,C$。最终不再能替换为止。求如下排列的结果： $$1,1,2,2,3,3,2,2,3,3,1,1$$ 解：显然，“AB”子串可以看成对整个序列的一个贡献——每出现一次“AB”，就可以将两个数替换成一个新数。举例来说，如果序列中有三个相邻的数顺序排列为$A,B,C$，则可以将$A,B$换成一个新数$D$，再将序列变为$D,C$。不难发现，对于$1,1,2,2,3,3,2,2,3,3,1,1$，只会出现一种组合，即$1,1$会被替换成$D
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