数学毕业论文 均匀分布及其应用

2023年12月11日发(作者：宝宝数学试卷分析怎么写)

XX大学

毕 业 论 文

均匀分布及其应用

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二〇一 年 月 日

摘 要

均匀分布是几何概率的概率模型 ,是人类最早研究的概率之一。它直观、计算简单，通过对古典概率、几何概率的研究，最后建立了概率的公理化体系，概率统计才成为一门完整的学科。从古至今 ,人们对于均匀分布的认识经历了一段漫长的过程。在概率论发展的早期，这类概率计算以“几何概率”的名称出现，但由于对不可列样本空间的等可能性缺乏精确的定义而导致一些问题，近代则通过均匀分布对这类问题作了严格处理。均匀分布在概率统计早期发展中起了重要的作用。现今社会实际中的均匀分布问题种类繁多，本文的简单研究对于以后运用均匀分布解决实际问题有很多帮助。

关键词：均匀分布；几何概率；参数估计：概率密度

2 Abstract

×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.

Key words：××××; ××××; ××××; ××××

3 目 录

引言（绪论） …………………………………………………………………………5

1 定义 ………………………………………………………………………… 6

1.1 一维均匀分布 ………………………………………………………………… 6

1.2二维均匀分布…………………………………………………………………… 6

2 性质……………………………………………………………………………… 7

3 应用……………………………………………………………………………… 8

3.1二维均匀分布的一个简单应用………………………………………………… 8

3.2几何概率与均匀分布…………………………………………………………… 9

3.3均匀分布的参数估计 ………………………………………………………… 11

3.4均匀分布在实际生活中的应用 ……………………………………………… 12

结论 …………………………………………………………………………………13

参考文献 ……………………………………………………………………………14

附录 …………………………………………………………………………………15

致谢 …………………………………………………………………………………16

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引 言（绪 论）

设连续型随机变量X的分布函数为Fxxa/ba,axb则称随机变量X服从a,b上的均匀分布,记为X～Ua,b.若是a,b的任一子区间,Px1xx2x2x1/ba这表明X落在a,b的子区间内的概率只与子区间长度有关,而与子区间位置无关,因此X落在a,b的长度相等的子区间内的可能性是相等的,所谓的均匀指的就是这种等可能性.在实际问题中,当我们无法区分在区间a,b内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时,我们就可以假定X服从a,b上的均匀分布。本文主要归纳了概率论与数理统计中均匀分布的定义、性质以及几种简单应用。重点介绍了一维均匀分布和二维均匀分布。

5

1.定义

1.1：一维均匀分布

若随机变量X的概

则称X服从区间[a¸b]上的均匀分布，记为

0,xaxaFx,axbba1,xb1,axb.率密度为

fxba0,其他.X~U(a,b)X的分布函数为

1.2：二维均匀分布

设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有联合概1,x,yG,fx,yA0,其他。率密度

则称G{(x,y)axb,cxd}（X,Y）在区域G上服从均匀分布。

特别，若是一个矩形区域，则X和Y的联合概率密度为

1,axb,cyd,fx,ybadc0,其他。

6

2.性质

SDDDG2.1服从区域G上均匀分布的随机变量（X,Y），它在G上任何一个子区域内取PX,YDfx,ydxdyD11dxdySD4x,yDA值的概率只是该子区域的面积的大小有关，而与该子区域D在G内的位置和形状无关，即

G{(x,y)x2y2r2}2.2二维均匀分布的边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域G的形状密切相关。例如，圆形区域 .G{(x,y)axb,cxd}则区域G上的二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布。再如矩形区域，则二维均匀分布的两个边缘分布分别为区间[a¸b]和[c¸d]上的一维均匀分布。

1,ax,yb,fx,yfXxfYyba20,其他.FZzxyz0,z2a,z2a2,2azab,22bafx,ydxdy222ba2bz,abz2b,22ba1,z2b.2.3均匀分布不具有再生性。

即随机变量X和Y服从均匀分布且相互独立，X+Y不服从均匀分布。

证明：设随机变量X和Y在(a,b)上服从均匀分布，且相互独立，其联合密度为

7 则Z的密度函数为

很显然Z=X＋Y不服从均匀分布。

3.应用

3.1二维均匀分布的一个简单应用

设二维连续型随机变量(X,Y)有联合概率密度f(x¸y)，当g(x,y)是二元连续可微函数时，Z=g(X,Y)仍是连续型随机。求随机变量函数的分布是概率论中一个重要内容，会求两个随机变量简单分布的分布，在近年来考研中时一个必考点，但学生在求两个连续型随机变量的函数的分布时常常不知所措。

我们一般采用“分布函数法”来获得Z的分布，即先求Z的分布函数再将其关于z求导，得到Z的分布密度。该方法严谨直观，实用性强。这里有一个问题必须要注意，在求分布函数时，不要忘记z是任意实数，也就是要对一切z进行讨论，常常是一个分段函数。因此首先第一步，要根据随机变量X和Y自的取值范围及函数关系g(x,y)，正确求出随机变量Z的取值范DZx,ygx,yz围是必要的。第二步，求Z的分布函数即

FZzPZzPgX,YzPX,YDZDfx,ydxdy,Z

其中利用上式获得Z的分布函数，思想很简单，就是将未知

Fzzfzzz2aba2,2azab,2bzfZzFZ/z,abz2b,2ba0,其他.随机变量Z的分布转化为已知的随机变量(X¸Y)上去，计算的难点在于对不同的z，要通过DZ

8 来确定二重积分的上、下限。其实这里的计算，是高数中二重积分的计算问题，目的在于求SDZGPX,YDZSG出依赖于z的结果。在做题时，画出有关函数定义域的图形，对正确确定积分上下限肯定是有帮助的。第三步，关于z求导得

“分布函数法”是一种普遍适用的方法，难点在于区域Dz上二重积分的计算。但是当(X¸Y)服从二维均匀分布时，不妨设，

UXY求概率

fu.只须正确求出区域u0u2DZG,此时

u0

于是利用面积的比就可避免复杂的求二重积分

的计算过程。

Fu0u2Fu1例1（2001年数三） 设X和Y的联合分布为正方形

上均匀分布，求随机变量

的概率密度

解 U的取值范围是

若

则

若

则

fx,ydxdyGx,y1x3,1y3DZ1,x,yG,fx,ySG0,x,yG.PX,YDz

9 若

则

其中

此外，当X和Y独立且服从一维均匀分布时，(X,Y)亦服从二维均匀分布。

3.2几何概率与均匀分布

3.2.1几何概率

古典概率要求样本总数是有限的。若有无限个样本点，特别是连续无限的情况。随时等可能的，也不能利用古典概型，但是类似的算法可以推广到这种情形。

若样本空间是一个包含无限个区域（一维，二维，三维或n维），样本点是区域中的一个点，此时用点数度量样本点的多少就毫无意义。“等可能性”可以理解成“对任意两个区域，当他们的测度（长度，面积，体积，···）相等时，样本点落在这两个区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”在这种理解下，若记时间Ag任取一个样本点，它落在区域g，则Ag的概率定义为

0u2

g的测度的测度SD42u2FuPXYuPX,YDfx,ydxdyDSG4PAgDx,yxuyxu

这样定义的概率称为几何概率。

3.2.2几何概率与均匀分布的关系

几何概率若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，蒲丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。再概率论发展的早期，人们就注意到古典概

10 率仅考虑试验结果只有有限个的情况 是不够的，还必须考虑试验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示，其实验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”这一概念。假设区域S以及其中任何可能出现的小区域T都是可以测度的，其测度的大小分别用s和t表示。如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等。并且假定这类测度具有如长度一样的各种性质，如测度的非负性、可加性等。

3.3均匀分布的参数估计

3.3.1矩估计法

基本思想：矩估计法是一种古老的估计方法。大家知道，矩是描写随机变量的最简单的数字特征。样本来自于总体，从前面可以看到样本矩在一定程度上也反应了总体矩的特征，且在样本总量n增大的条件下，样本的k阶原点矩

1nkAkXini1以概率收敛到总体X的k阶原点矩mkEXk，

p即Akmknk1,2,L

因而自然想到用样本矩作为总体矩。

3.3.2具体做法：

假设1,2,,k为总体X的待估参数，X1,X2,Xn是来自X的一个样本

11

令

A1m1Am22AKmkAt1Xi\'miEX\',l1,2,,kni1t0Tt05nt05kk0,1,2,即

^^^

1,2,k,^Xt05T1,0x5数,,的方程组，从中解出fx512k0,其它一组解

得一个包含k个未知1,2,,k的

，然后用这个方程组的解1,2,k分别作为1,2,k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值。

^^^

3.4均匀分布在实际生活中的应用

例3.4.1 某公交汽车站每隔5分钟准时开出一辆车，某人不知发车时间，他到达车站的时刻是等可能的。试求他等待时间不超过3分钟的概率。

解 设车站发车时间是

不妨设某人到达车站时刻为T：

某人等待时间记为(T是一随机变量)

具题意可知：X服从（0,5）上的均匀分布，其概率密度函数为：

12 随机事件“X3”的概率为

故：他等车时间不超过3分钟的概率为0.6。

例3.4.2 某种外销产品经过统计可知，在国际市场上的需要量是随机变量且在（2000,4000）（单位吨）上服从均匀分布，若按此规律今年组织了2800吨，问不能满足需要的概率是多少？

fx1,2000x4000,20000,其他，P2800X400042000dx20000.6解 设X为国际市场上F33105dx350.6的需求量

由题意X的概率密度函数为，

随机事件“2800X4000”表示准备量不能满足需要，其概率为

则不能满足国际市场需要的概率为60%。

13 结 论

均匀分布包括一维均匀分布和二维均匀分布，其应用十分广泛，利用均匀分布问题解决生活中的实际问题已然成为主流。利用均匀分布与概率统计之间的关系，我们已经可以解决生活中很多小的概率问题，相信在以后科技不断发展，均匀分布在生活中的应用会更加广泛。

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参考文献

[1] 周概容编，概率论与数理统计，高等教育出版社

[2] 宋俊杰编，统计信息分析，南开大学出版社

[3] 谢兴武、李宏伟主编，概率统计释难解疑，科学出版社

[4] 复旦大学数学系主编，概率论与数理统计，复旦大学出版社

[5] 著，概率引论及统计应用， 高等教育出版社

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附 录

一个均匀分布的随机变数有一个概率密度函数，它在所定义的区间上是常fxdx1数，为了满足条件

这个常数必须等于区间常数的倒数。

一个均匀分布的随机变数在下述意义下是对等可能结果的连续性模拟。对于任意的子区间[c¸d]，其中acdb，在具有同样长度的子区间内PcXdPcXdfxdxcddcba是相同的。就是说，

因此它只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位置。

我们现在能把在一个区间[a¸b]上随机地选取一个点P的直观概念加以精确化，简单的说，这就是指所选取的点P的x坐标X在[a¸b]上是均匀分布的。

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致 谢

非常感谢云文在老师在我大学的最后学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，他给了我耐心的指导和无私的帮助。为了指导我们的毕业论文，他放弃了自己的休息时间，他的这种无私奉献的敬业精神令人敬佩，再此我向他表示我诚挚的谢意。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我如何学习，教会了我如何做人。在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！

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