高数下期末考试试题及答案解析

2023年12月2日发(作者：阜阳中考数学试卷第23题)

--WORD格式--可编辑--专业资料-----

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

名

姓⋯

．

⋯

号

学⋯

封

号

序

超

号

班

学

教不

纸

卷

试答

学

大

峡

三

2017

学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷（ A）

注意： 1、本试卷共 3

页；

2、考试时间 110

分钟； 3

、姓名、学号必须写在指定地方

题号

一

二

三

四

总分

⋯

得分

⋯

⋯

⋯

阅卷人

得分

一、单项选择题（ 8

个小题，每小题 2

分，共 16

分）将每题的正确答案的代号 A、 B、 C或 D

填入下表中．

⋯

题号

1 2 3 4

5 6 7 8

⋯

答案

线

1．已知

a

与 b

都是非零向量，且满足

a b a

b

，则必有（

）.

密

(A)

a b 0

(B)

a b 0

(C)

a b

0

(D)

a b 0

2.

极限 lim( x2

y2 )sin

1 ( ).

过

x 0

2 2

x

y

y 0

(A) 0

(B) 1 (C) 2

(D)

不存在

要

3．下列函数中， df f

的是 (

).

（ A） f (x, y)

xy

（ B） f (x, y)

x

y c0 ,c0为实数

（ C） f (x, y)

x2 y2

（ D） f (x, y)

ex题

y

4．函数 f ( x, y)

xy (3

x

y)

，原点 (0,0)

是 f (x, y)

的 (

).

（ A）驻点与极值点

（ B）驻点，非极值点

⋯

（ C）极值点，非驻点

（ D）非驻点，非极值点

⋯

5

．

设 平 面 区 域 D : (x

222

， 若 I

x y1)

1

d

，

．

( y 1)

x y

d

， I

2

⋯

D 4

D 4

⋯

3 x y

⋯

I

3

d

，则有（

） .

D

4

⋯

（ A） I1

⋯

I

2 I3

（ B） I

1

I

2 I

3

（ C） I

2

I1 I

3

（ D） I

3 I

1

I

2

⋯

6．设椭圆 L

：

x2

y

2

1的周长为 l

，则

(3x2

4 y2 )ds

（

） .

⋯

L

4 3

⋯

(A) l (B)

3l

(C)

4l

(D)

12l

专业资料

--学习资料分享----

WORD

格式整理

7．设级数

an

为交错级数， an

0 (n

)

，则（

） .

n 1

(A)

该级数收敛

(B)

该级数发散

(C)

该级数可能收敛也可能发散

(D)

该级数绝对收敛

8.

下列四个命题中，正确的命题是（

） .

（ A）若级数

an

发散，则级数 an2

也发散

n 1

n 1

（ B）若级数

an2

发散，则级数

an

也发散

n 1

n 1

（ C）若级数

an2

收敛，则级数

an

也收敛

n 1

n 1

（ D）若级数

| an |收敛，则级数

an2

也收敛

n 1

n 1

阅卷人

得分

二、

填空题 (7

个小题，每小题

2

分，共 14

分)

．

3x 4 y

2z

6 0

1.

直线

与 z

轴相交，则常数

a

为

.

x 3y

z a 0

2．设 f ( x, y)

ln( x

y ),

则 f

y (1,0)

______

_____.

x

3．函数 f (x, y)

x

y

在 (3, 4)

处沿增加最快的方向的方向导数为

.

4．设 D : x2

y2

2x

，二重积分

( x y)d =

.

D

5．设 f x

是连续函数，

{( x, y , z) | 0 z 9 x2

y2 }

，

f (x

2

y

2 )dv

在的三次积分为

.

6.

幂级数

n 1 xn

( 1)

的收敛域是

.

n 1

n!

1

, x 0

7.

将函数 f ( x)

以 2

为周期延拓后，其傅里叶级数在点

1 x2 , 0 x

于

.

值得拥有 --WORD格式--可编辑--专业资料-----

WORD

格式整理

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

阅卷人

得分

5

个小题，每小题

7

分，共 35

分，解答题应写出文字

三、综合解答题一（

说明、证明过程或演算步骤）

1．设 u xf ( x, )

，其中

xf

有连续的一阶偏导数，求

u

，

u

．

⋯

名

姓⋯

．

⋯

号

学⋯

封

号

序

超

号

班

学

教不

纸

卷

试答

学

大

峡

三

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

线

密

过

要

题

⋯

⋯

．

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

4．设

3.

交换积分次序，并计算二次积分

0

解：

dx

sin y

dy

．

x

y

--学习资料分享y

2．求曲面 ez

----

z xy

专业资料

x y

解：

是由曲面 z xy, y x, x 1

及 z 0

所围成的空间闭区域， 求 I xy2 z3dxdydz .

解：

3

在点 (2,1,0)

处的切平面方程及法线方程．

解：

5．求幂级数nxn 1

的和函数 S(x)

，并求级数

nn

的和．

n 1

n 1

2

解：

值得拥有

--WORD格式--可编辑--专业资料-----

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

名

姓⋯

．

⋯

号

学⋯

封

号

序

超

号

班

学

教不

纸

卷

试答

⋯

学

大

．峡

三

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

线

密

过

要

题

⋯

⋯

3．利用格林公式，

计算曲线积分 I

4．

计算

WORD

格式整理

阅卷人

得分

四、综合解答题二（

5

个小题，每小题 7

分，共 35

分，解答题应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

1.

从斜边长为 1

的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．

解

xdS

，

为平面

x y z 1在第一卦限部分 .

解：

2．计算积分 ( x2 y2 )d s，其中 L

为圆周 x2 y2 ax ( a 0 )

．

L

解：

5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分

蝌

dxdy + dydz + dzdx

，

其中

为圆锥面 z2 x2 y2

介于平面 z

解：

(x2

y

2)d x (x 2xy)dy

，其中 L

是由抛物线 y x2

和

L

x y2

所围成的区域 D

的正向边界曲线．

y

y

x2

x y2

D

专业资料

值得拥有

O x

--学习资料分享----

S

0

及 z 1之间的部分的下侧 --WORD格式--可编辑--专业资料-----

WORD

格式整理

3

I

3

D 4

I

2

x2xy

d

，则有（ A

I1

2

I

3

；

）

I

2

I

3

；

（A） I

1 I

3

； （B） I

1

（ C） I

2

2（D） I

3

）

6．设椭圆 L

：

(A) l

；

4

(B)

y

3

3l

21的周长为 l

，则

(3 x

L

4l

；

4y )ds

（ D

(D)

；

(C)

12l

2017

学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷 (A)

答案及评分标准

一、单项选择题（ 8

个小题，每小题 2

分，共 16

分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 D A B B A D C D

．已知

a

与 b

都是非零向量，且满足

a b a

b

，则必有（ D

）

(A) a

b

0

；

(B)

a

b 0

； (C)

a b

0

； (D) a

b

0

．

2.

极限 lim( x2

y2 )sin

1 ( A )

x 0

2 2

x

y

y 0

(A) 0

；

(B) 1

；

(C) 2

；

(D)

不存在 .

3．下列函数中， df f

的是 (

B )

；

（ A）

f ( x, y)

xy

；

（ B） f ( x, y)

x

y c0 , c0为实数

；

（ C）

f (x, y) x2 y2

；

（ D） f (x, y)

ex y

.

4．函数 f ( x, y)

xy (3

x

y)

，原点 (0,0)

是 f (x, y)

的 ( B

).

（

A）驻点与极值点；（

B）驻点，非极值点；

（ C）极值点，非驻点；

（ D）非驻点，非极值点 .

5

．

设 平 面 区 域 D： ( x 1)2

( y 1)2

2

， 若 Ix y1

d

， I

2

x y

d

，

D 4 D4

专业资料

--学习资料分享----

7．设级数

an

为交错级数， an

0 (n

)

，则（

C

）

n 1

(A)

该级数收敛；

(B)

该级数发散；

(C)

该级数可能收敛也可能发散；

(D)

该级数绝对收敛．

8.

下列四个命题中，正确的命题是（

D

）

（ A）若级数

an

发散，则级数

an2

也发散；

n 1

n 1

（ B）若级数

an2

发散，则级数

an

也发散；

n 1

n 1

（ C）若级数

an2

收敛，则级数

an

也收敛；

n 1

n 1

（ D）若级数

| an |收敛，则级数 an2

也收敛．

n 1

n 1

二、

填空题 (7

个小题，每小题 2

分，共 14

分 )

．

3x 4 y

2z 6 0

1.

直线

与 z

轴相交，则常数

a

为

3

。

x 3y

z a 0

2．设 f ( x, y)

ln( x

y

),

则 f

y (1,0)

_______1_____

x

3．函数 f (x, y)

x

y

在 (3, 4)

处沿增加最快的方向的方向导数为

2

4．设 D : x2

y2

2x

，二重积分

( x y)d =

．

D

5．设 f x

是连续函数，

{( x, y , z) | 0

z 9 x2

y2 }

，

f (x

2

y

2 )dv

2

2 3 9

的三次积分为

d

d

f (

2 )dz

0

0 0

6.

幂级数

( 1)n 1 xn

的收敛域是

(

,

).

n!

n 1

1 , x 0

7.

函数 f ( x)

，以 2

为周期延拓后，其傅里叶级数在点x

1 x2 , 0 x

2

.

2

值得拥有

1--WORD格式--可编辑--专业资料-----

三、综合解答题一（

5

个小题，每小题 7

分，共 35

分 .

解答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

1．设 u

xf ( x,

x)

，其中 f

有连续的一阶偏导数，求

u

， u

．

y

x y

解：

u f

xf1

x f2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分

x

y

u

x2

f

2

.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

分

y

y2

2．求曲面 ez

z xy

3

在点 (2,1,0)

处的切平面方程及法线方程．

解：令 F x, y,

z

ez

z xy 3

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2

分

1)n ( Fx , Fy ,F (2,1,0)

z )

( y ,x ,ez

，n(1, 2, 2)

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分

所以在点

(2,1,0)

处的切平面方程为

( x 2) 2( y 1) 2 z

0

，

即 x 2y 2z 4

0

；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6

分

法线方程为

x

2

y 1 z

.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

分

1

2

2

3.

交换积分次序，并计算二次积分

dx

sin y

dy

；

0 x

y

解：

sin y

y sin y

dx

dy = dy dx

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分

0

x

0

0

y

y

= sin ydy

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

分

0

4．设

是由曲面 z

xy , y x, x

1

及 z

0

所围成的空间区域，求 I

xy2 z3dxdydz

解：注意到曲面

z

xy

经过 x

轴、 y

轴，⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2

分

={( x, y, z) : 0

z xy ,0 y x,0 x 1}

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分

1 x xy

故 I

xy

2 z3dxdydz

dx dy

xy2 z3dz = 1

．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

分

0 0

0

364

5．求幂级数

n 1

的和函数

S(x)

，并求级数

n

的和．

n 1 nx

n

1 2n

解： S(x)

nxn

1

，

S(0) 1

，

n 1

由已知的马克劳林展式：

1

n

x ,| x |

1

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2

分

1 x

n 1

1

有 S(x)

(n 1 xn)

(1 1 x

1) =

(1 x)2

， | x | 1

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5

分

--学习资料分享----

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格式整理

n 1n

1 1

n 1 2n

= 2

n 1 2n 1 =

2 S(

2) =2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

分

四、综合解答题二（

5

个小题，每小题 7

分，共 35

分 .

解答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

1.

从斜边长为 1

的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．

解 设两个直角边的边长分别为

x

， y

，则 x2

y

2

1

，周长 C x y 1

，

需求 C

x

y

1在约束条件

x

2 y2

1

下的极值问题．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2

分

设拉格朗日函数

L( x, y,

) x y 1 ( x2 y2

1)

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分

Fx

1 2 x 0 ,

令

Fy

1 2 y 0 ,

x2

y2 1,

解方程组得 x

2

y

为唯一驻点，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6

分

2

又最大周长一定存在，故当

2

x

y

时有最大周长 .

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

分

2

2．计算积分

( x2 y2 )ds

，其中 L

为圆周 x2 y2

ax ( a

0 )

．

L

解： L

的极坐标方程为

a cos

，

；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2

分

2

2

则 ds

2 ( )2 d ad

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分

所以

2

2

2

3 2

a3

( x

y

)ds

2

ad

2 a cos d

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯

L

2

2

2

或解： L

的形心 ( x, y)

(

a ,0)

， L

的周长

a

，

2

( x2

y2 )ds= axds= ax a = a3

L

L

2

3．利用格林公式，计算曲线积分

I (x2

y2)dx (x 2xy)d y

，其中 L

是

L

由抛物线 y

x2

和 x y2

所围成的区域 D

的正向边界曲线．

解： I

(x2

y2)dx (x 2xy)dy

L

y

y

dxdy

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3

分

D

1

x

D

dx

0

x2

dy

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5

分

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

分

O

3

4．

计算

xdS

，

为平面 x

y z

1在第一卦限部分 .

解：

在 xoy

面上的投影区域为

D xy : x y 1( x 0, y 0)

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯

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1,

故 dS 3dxdy

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3

dS

3

.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7

6

6

4

分

2又

: z 1

x y,

z

x

1,

z

y

1

1 x

xdy

0

1

所以

xdS

3

Dxdxdy

3

dx

0

分

xy

1

或解：由对称性，

xdS

3

( x y

z) dS

蝌3

5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分

dxdy + dydz + dzdx

，其中

为锥面 z2

x

2y

S

介于平面 z 0

及 z 1之间的部分的下侧。

解：补曲面 D : x2

y2 1, z

1（取上侧），⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2

分

蝌 dxdy + dydz + dzdx

＝ 0，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分

S + D

＝

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故

蝌 dxdy + dydz + dzdx

S

＝ -

蝌 dxdy + dydz + dzdx

D

dxdy =

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

{ x2 y2 1}

专业资料

值得拥有

分

由高斯公式知

7