2024年3月27日发(作者：数学试卷讲评目的)
12. (本小题满分16分)
已知n为正整数，数列{a
n
}满足
(1) 求证：数列
2
a
n
>0，4(n＋1)a
2
n
－na
n
＋
1
＝0，设数列{b
n
}满足
a
2
n
b
n
＝
n
.
t
a
n
为等比数列；
n
(2) 若数列{b
n
}是等差数列，求实数t的值．
100
班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________
高中数学模拟试题二十五
高中数学模拟试题二十五
一、 填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．
1. “x≠1或y≠2”是“x＋y≠3”的____________条件．
2. 如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s＝________．
3. 某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西
向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为________．
→→
4. 已知直线x＋y＝a与圆O：x
2
＋y
2
＝8交于A，B两点，且OA·OB＝0，则实数a的值
为________．
5. 已知等比数列{a
n
}各项为正数，a
3
，a
5
，－a
4
成等差数列．若S
n
为数列{a
n
}的前n项
S
6
和，则＝________．
S
3
6. 设向量a＝(cos 25°，sin 25°)，b＝(sin 20°，cos 20°)．若t是实数，且u＝a＋tb，
则
|
u
|
的最小值为________．
(第7题)
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一问题如下：“今有刍甍，
下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“如图，在多面
体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，宽BC为3丈，长AB为4丈，EF∥AB，EF为2丈，
EF与平面ABCD之间的距离为1丈．问该多面体的体积是多少？”估算该几何体的体积为
________丈
3
.
8. 已知函数f(x)＝
{
x
2
－x＋a，x≥－a，x
2
＋x＋3a，x<－a.
记A＝{x|f(x)＝0}，若A∩(－
∞，2)≠∅，则实数a的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
9. (本小题满分14分)
已知向量a＝(1，m)，b＝(2，n)．
(1) 若m＝3，n＝－1，且a
⊥
(a＋λb)，求实数λ的值；
(2) 若|a＋b|＝5，求a·b的最大值．
101
10. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，
，N分别是AE，CD的中点．求证：
(1) 直线MN∥平面EBC；
(2) 直线EA⊥平面EBC.
102
M
11. (本小题满分16分)
某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)．设计
要求彩门的面积为S(单位：m
2
)，高为h(单位：m)(S，h为常数)．彩门的下底BC固定在广场
地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为
l.
(1) 请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；
(2) 问：当α为何值时l最小？并求最小值．
103
12. (本小题满分16分)
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足：a
n
>0，S
n
＝(a
n
＋p)
2
(n∈N
*
，p∈R)．
2
(1) 若p＝，求a
1
的值；
9
(2) 若a
1
，a
2
，a
3
成等差数列，求数列{a
n
}的通项公式．
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