高中数学竞赛典型题目

2024年1月7日发(作者：数学试卷b版答案上册答案上册)

数学竞赛典型题目（一）

1.(美国数学竞赛)设a1,a2,,an是整数列,并且他们的最大公因子是1.令S是一个整数集,具有性质:

（1）aiS(i1,2,,n)

（2）

aiajS(i,j{1,2,,n}),其中i,j可以相同

（3）对于x,yS，若xyS，则xyS

证明：S为全体整数的集合。

2．(美国数学竞赛)a,b,c是正实数，证明：

(a5a23)(b5b23)(c5c23)(abc)3

3．(加拿大数学竞赛)T为2004100的所有正约数的集合，求集合T的子集S中的最大可能的元素个数。其中S中没有两个元素，一个是另一个的倍数。

4．(英国数学竞赛)证明：存在一个整数n满足下列条件：

（1）n的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；

（2）2004能整除n.

5．(英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为0.a1a2的实数x满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，akak1ak2003(1k2004)，证明：x是有理数。

6．(亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S，满足：如果m,nS，则mnS

(m,n)7．(亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S中有奇数条直线分离这两点。

(n1)!*(nN)是 偶数。 8．(亚太地区数学竞赛)证明：2nn9．(亚太地区数学竞赛)x,y,z是正实数，证明：

(x22)(y22)(z22)9(xyyzzx)

10．（越南数学竞赛）函数f满足f(cotx)cos2xsin2x(0x)，令

g(x)f(x)f(1x)(1x1)，求g(x)在区间[1,1]的上最值。

11．（越南数学竞赛）定义p(x)4x32x215x9,q(x)12x36x27x1，证明：

（1）每个多项式都有三个不同的实根；

（2）令A为p(x)的最大实根，B为q(x)的最大实根，证明：A23B24

12．（越南数学竞赛）令F为所有满足f:RR且f(3x)f[f(2x)]x对任意xR成立的函数f的集合。求最大实数A使得f(x)Ax对所有fF,xR都成立。

13．（美国数学竞赛）证明：对于每个n，我们可以找到一个n位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被5n整除。

14．（美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。

15．（巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD的边ABm,ADn,其中m,n是互质的奇数。矩形被分成了mn个单位正方形，对角线AC交单位正方形于点ACA1A,A2,A3,,ANC，证明：A1A2A2A3A3A4(1)NAN1AN

mn16．（美国数学竞赛）S为含有2002个元素的集合，并且P是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意n(0nP) ，我们可以将Ｐ的n个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。

17．（美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：f(x2y2)xf(x)yf(y)对于任意实数x,y成立。

18．（美国数学竞赛）非负实数x,y,z满足x2y2z2xyz4，证明：

xyzxyyzzxxyz2

19．（巴尔干数学竞赛）数列

{an}:a120,a230,an13anan1，求所有n使5anan11是完全平方数。

20．（巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有f:NN使得f(f(n))f(n)2n2001或2n2002

21．（协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。

22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。

23．（巴尔干数学竞赛）正实数a,b,c满足abcabc，证明：a2b2c23abc

24．（加拿大数学竞赛）A0,A1,A2位于半径为１的圆上，并且A1A2不是直径，点列{An}定义如下：An是An1An2An3的外心，证明：A1,A5,A9,A13共线，并求所有的A1,A2使得A1A1001是一个整数的５０次幂。

A1001A200125．（越南数学竞赛）n为正整数，证明：方程有唯一的解xn1，且n时，xn4

111122x12x1nx1226．（越南）对于实数a,b定义如下数列：x0,x1,x2,.由x0a，xn1xnbsinxn确定

（1）若b1.证明：对于任何a，数列有极限;

（2）若b2.证明：对于某些a，数列没有极限.

27．（越南）定义一个正实数序列：x0,x1,x2,.x0b，xn1ccxn.求所有实数c，使得对所有b(0,c)，数列存在极限.

28．（波兰数学竞赛）k是正整数，数列{an}:a1k1,an1ankank，证明：数列中的任两项互质。

29．（数学竞赛）数列{xn}:x1a,x2b,xn2xn1xn，一个数c如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择a,b使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。

30．（波兰数学竞赛）a,b都是整数，使得2nab对所有非负整数n都是完全平方数，证明：a0

an为an1an22000a1和a2为素数，31．（波兰数学竞赛）数列{an}定义如下：2的最大素因子。证明：数列{an}有界.

32．（波兰数学竞赛）p(x)是一个多项式，次数为奇次，满足p(x21)p2(x)1对所有x成立。证明：p(x)x

33．（国际数学竞赛）将集合S{1,2,3,,1978}分成六个不同的集合Ai(i1,2,3,4,5,6)，即SA1A2A6且AiAj，求证：在某个Ai中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。

34．（国际数学竞赛）设n是一个固定的正偶数.考虑一块nn的正方板，它被分成n2个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将板上N个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N的最小值.

35．一个99方格能否被15个22方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？

36．已知边长为n的正方形及其内部的(n1)2个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于1。

237．已知x是循环节为p的纯循环小数，y是无限小数，其小数点后的第n位

与数x小数点后的第nn位的数字相同，问：y是否是有理数？

38．求所有的正整数a,b使得ab2b1,ba2a1

39．{xn}:x01,x13,xn16xnxn1，证明：除第一项外，{xn}中无完全平方数。

40．f(x)ax2bxc是实系数多项式，且对于任何整数x0,f(x0)是完全平方数，证明：f(x)(exd)2，其中e,d是整数。

41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使

（1）S中任意两个数互质；

（2）S中任意k(k2)个数的和是合数。

42．（越南数学竞赛）是否存在(01)，使得有一个无穷的正数列{an}满足：1an1annan,(n1,2,) .

43．一个整数有限序列a0,a1,,an称为一个二次序列，如果对于每个i{1,2,,n},aiai1i2；

（1）证明：对于任何两个整数b,c，都存在一个正整数n和一个二次序列使a0b,anc；

（2）求满足下列条件的最小正整数n，使a00,an1996

44．x,y,z是正实数，求证：

(xyyzzx)(1119)

4(xy)2(yz)2(zx)245．用16个13矩形和一个11正方形拼成一个77正方形，求证：11正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。

46．环形公路上有n个加油站，每个加油站有汽油若干桶，n个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。

47．正实数a,b,c满足abc1，求证：1a(cb)2b(ca)2c(ba)2[]

4cbcaba1113＋333a(bc)b(ca)c(ab)248．xiR(i1,2,,n)，证明：

x1x121x121x12x2xnn

21x12xn2nan149．数列{an}:a1,an12，证明：ak1

2anan1k150．求方程x!y!xy的正整数解

51．求所有三次多项式p(x)使得对任意的非负实数x,y有p(xy)p(x)p(y)

52．S{x22y2|x,yZ}，对于整数a，若3aS，证明：aS

53．{xn}:x01,xn13xnxn5，已知x15,x226,x3136,x4712，求x2007

54．数列{an}由a01,anan0(n0)

an1aa100(n1)确定，证明：

2nn155．非负实数x,y,z满足x2y2z21，证明：1xyz2

1yz1zx1xy56．圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小值。

57．是否存在一个能被103整除的正整数n，满足2n12(modn)

58．正实数x,y,z满足xyyzzxxyz，证明：1111

x2y1y2z1z2x159．（塞尔维亚数学竞赛）求能被整除且数字和是的最小的正整数。

60．对20072007方格染色，使得任意22方格中最多有2个方格被染色，问：最多可以将多少个方格染色？

61．空间中有9个点，其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线段，但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？

62．（2009加拿大数学竞赛）由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白色的，另个扇形涂成黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。

求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有个扇形位于大圆的同色扇形上。

2n63．（印度尼西亚数学竞赛）n是大于１的奇数，证明：8n4|C4n

64．（英国数学竞赛）求定义在实数集上的函数使f(x3)f(y3)(xy)(f(x2)f(xy)f(y2))

65．（英国数学竞赛）将不大于２５００的正整数写成二进制，其中以１开头的数字串所表示的整数的不同个数记为b(n)，求证：n2500时，b(n)39，并确定取等条件。

66．一个圆桌周围有n个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时针开始数2个位置坐下，即第二个人坐在第一个人旁边，第k1人从第k个人n个人恰好坐满n个位置，逆时针开始数k1个位置坐下。如果按照这种坐法，求n得所有可能值。

67．（2009加拿大数学竞赛）已知为完全平方数，求所有的有序整数对。

68．求所有的质数p,q使pq|(5p5q)

69．求所有的质数p,q使pq|(5p2p)(5q2q)

70．数列{an}:a1k,a25k2,an23an12an，其中k是常数。

（1）求所有k使数列收敛；

（2）若k1，求证：an227an18anan1

1aann171．数列{yn}:y1y21,yn2(4k5)yn1yn42k，求所有的正整数k，使得数列中的每一项都是完全平方数。

72．求证：数列ann2中有无穷多个完全平方数。

73．an(n1)2n2

（1）证明：存在无穷多个m使得am1am1；

（2）证明：存在无穷多个m使得am1am1。

74．（全国高中数学n1联赛）设f(x)x2a,记f1(x)f(x),fn(x)f(f(x)),n2,3，M{aR|fn(0)2,nN*}

1证明：M[-2,]

412275．实数列{an}(n0,1,2)满足an1an(n0,1,2)，证明：an5an5

576．Ｐ为边长为１的正四面体内一点，证明：Ｐ到各个顶点的距离和至多为3。

77．xy1，证明：xxyyy111xyxyxx11y1

78．xiR(i1,2,,n)是否一定有

xxxxx1x2x2x3n1nn1x1x2xn

x3x4x1x279．证明：a5nan1(a,nN*)是合数。

80．f1f21,fnfn1fn2(n2)，若正整数a,b满足

min{fnfn1,fn1ffa}max{n,n1}，证明：bfn1

fnbfn1fn81．把一个实数用与它相岭的两个整数之一代替称为“整化”，证明：对于给

定的n个实数，存在一种整化方式，使得这些数中任意若干个数的和与这些数n1整化后对应的和之差不大于。

482．（数学竞赛）求证：存在无穷多个正整数n，使得n19n99可以用两种不同的方式表示为两个平方数的和。

83．（保加利亚）数列{an}：a11，an12[an]n.

ann，(n1,2,)证明：n4时，nan84．在正三角形三个顶点上各放置一个整数使得：三个数的和是整数，若某个顶点上的数x0，三个顶点上的数x,y,z相应变换为x,yx,zx，只要有负数，操作就一直进行下去。问：操作能否在有限步之后停止？

85．（德国数学竞赛）数列{an}：a11，

a21,a32,an31(an1an27)，证明：an 是正整数．

an86．（克罗地亚数学竞赛）求使数列：cos,cos2,cos22,,cos2n每一项均为负数的所有实数.

87．（瑞典数学竞赛）求所有实数x满足方程x22x2xx

288．（俄罗斯数学竞赛）求所有的正整数n使得不等式sinnAsinnBsinnC0对于任何锐角三角形的三个内角A,B,C都成立。

89．（台湾数学竞赛）正实数a,b,c满足abc29，证明：11a11b11c31abc3

n(n1)n190．（克罗地亚数学竞赛）对于大于２的整数n，证明：

4n2491．数列{an}(n0,1,2)满足amnamn1(a2ma2n)(m,n0,1,2)，若2

a11，求a2003

21.证明：对所有n有(n,an)1. 92．数列{an}定义如下：a12，an12an93．求整数c，使2007c2007.且存在xN，使x2c是22007整数倍.

94．（德国竞赛）证明：存在无穷多个正整数a,b使

（1）a|b25，（2）b|a25，（3）(a,b)1.

95．已知射线y(415)x(x0).现将该射线绕O点逆时针转动角，形成一个区域D，试证：无论多么小，区域D中总存在无穷多个格点(m,n)满足：

（1）16mn与110mn均为完全平方数；

（2）n|m21，m|n21.

96．（保加利亚数学竞赛）求实数a，使得等式4annaan对于任意的正整数n成立。

97．(芬兰数学竞赛）设n是大于2的整数，an是最大的n位数，满足其既不是两个数的平方和也不是两个数的平方差。

（1）求an；

(2)求n的最小值，使an的各位数字的平方和是一个完全平方数。

98．设a,b,c是一个三角形的三边长，且abc1，若n2，证明：nabbcca1nnnnnnnnn2

212xn99．（芬兰数学竞赛）{xn}:x1,xn1xn3，令

S111，求S

x11x21x20021100．设正数a,b,c,x,y,z满足cybza,azcxb,bxayc，求 求函数x2y2z2f(x,y,z)的最小值.

1x1y1z101.正实数ai(i1,2,3,,n)满足:a1a2a3an1,证明:

1111

n1a1n1a2n1an102.a,b,c是正实数,证明:a3c4b8c的最小值.

a2bcab2cab3cxyS,求证:xy103.S是至少有4个元素的实数集,对任意x,yS(xy),有对于所有这样的集合S,存在xS使2001x2002

104.在ABC中,求fsinAsinB5sinC的最大值

105.已知正整数a,b,x,y满足axby是a2b2的倍数,若px2y2是质数,证明:pa2b2

a2b2c23(a2b2c2) 106.正实数a,b,c满足abc1,证明:bca107.在一个mn的方格表中填上互不相等的mn个数,并且把每列数值交大的前a(m)个数作上标记,在把每行数值交大的前b(n)个数作上标记,证明:至少有ab个数作了两次标记.

108.在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字，则称它“好数码”（如，等），则长度不超过（为正整数）的所有“好数码”有多少个？

109.(罗马尼亚数学竞赛)存在无穷个使不能整除．

，存在无穷多个使

110.设n4是一个给定的正整数,S{P1,P2,,Pn}是平面上的n个点,无三点共线,无四点共圆,设at是使PiPjPk的外接圆包含Pt的PiPjPk的个数,记m(s)a1a2an,证明:存在一个仅依赖于n的函数f(n),使得S中的点为一个凸多边形的顶点当且仅当m(s)f(n)

111.定义a(modm){amk|kZ},设m1,m2,,m10是大于1的10个正整数,且他们两两的最大公约数都不相同但都大于1,求证:存在整数a1,a2,,a10使ai(modmi)互不相同.

112.(1)n1,n2,是每项都大于等于2的正整数列，数列{qn}满足：qi{1,2}，证明：数列akn1q1n2q2nkqk收敛，并且它的极限在(1,2]

(2) 证明：对x(1,2]存在满足条件（1）的数列，其极限是x.

113.（印度）设正整数n,p满足3pn，一个正n边形有p个顶点涂红色，2p其余涂蓝色，证明：存在两个至少有1个顶点的全等多边形满足：一个2多边形全是红顶点，另一个多边形全是蓝顶点。

114.考虑1,2,,n每个数正偶数因子的个数，并且相加得到一个数，类似考察每个数的正奇数因子得到另一个数，证明：这两个数的差至少是n。

115.(波兰数学竞赛)数列{an}:a11,anan1an(n2,3,)，证明：数列2中有无限项是7的倍数。

116.（保加利亚数学竞赛）已知n2且0xi1(i1,2,,n)，证明：xxxiii1i1nni1n（xn1x1）

2117.（俄罗斯数学竞赛）正整数nm，证明：对一切x(0,)，都有2

2sinnxcosnx3sinmxcosmx

xyzux118.正整数x,y,z,u满足，求最大的常数m使得m，这里y2xyzu(x,y,z,u)是满足上面方程组得解且xy

119.（亚太数学竞赛）正实数a,b,c满足abc8，证明：a2(1a3)(1b3)+b2(1b3)(1c3)+c2(1c3)(1a3)4

3120.（罗马尼亚）证明：数列{an}:ann2n3中有无穷多个偶数，也有无穷多个奇数。

