人教版七年级下册数学 期末试卷专题练习(解析版)

2023年12月2日发(作者：swz2019年九上数学试卷)

人教版七年级下册数学 期末试卷专题练习（解析版）

一、解答题

1．已知直线AB//CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．

（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB\'与QC\'的位置关系为

；

（2）若射线QC先转15秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′//QC′．

2．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A\'B\'的位置；

（1）若1的度数为a，试求2的度数（用含a的代数式表示）；

（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在C\'D\'的位置．

①若EF//C\'G，1的度数为a，试求3的度数（用含a的代数式表示）；

②若B\'FC\'G，3的度数比1的度数大20，试计算1的度数．

3．如图1，点E在直线AB、DC之间，且DEBABECDE180．

（1）求证：AB//DC；

（2）若点F是直线BA上的一点，且BEFBFE，EG平分DEB交直线AB于点G，若D20，求FEG的度数；

1（3）如图3，点N是直线AB、DC外一点，且满足CDMCDE，41ABNABE，ND与BE交于点M．已知CDM012，且BN//DE，则4NMB的度数为______（请直接写出答案，用含的式子表示）． 4．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a,b，且a//b,ABC是直角三角形，BCA90，操作发现：

（1）如图1．若148，求2的度数；

（2）如图2，若A30,1的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把2的位置改变，发现21120，请说明理由．

（3）如图3，若∠A=30°，AC平分BAM，此时发现1与2又存在新的数量关系，请写出1与2的数量关系并说明理由．

5．已知，AB//CD．点M在AB上，点N在CD

上．

（1）如图1中，BME、E、END的数量关系为：

；（不需要证明）；如图2中，BMF、F、FND的数量关系为：

；（不需要证明）

（2）如图 3中，NE平分FND，MB平分FME，且2EF180，求FME的度数；

（3）如图4中，BME60，EF平分MEN，NP平分END，且EQ//NP，则FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么FEQ的度数．

二、解答题

6．已知a//b，直角ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且ACB90． （1）将直角ABC如图1位置摆放，如果AOG56，则CEF________；

（2）将直角ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，NEFCEF180，请写出NEF与AOG之间的等量关系，并说明理由；

（3）将直角ABC如图3位置摆放，若GOC135，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究POQ,OPQ与PQF的数量关系，请直接写出结论．

7．如图1，E点在BC上，AD．ACBBED180．

（1）求证：AB//CD

（2）如图2，AB//CD,BG平分ABE，与EDF的平分线交于H点，若DEB比DHB大60，求DEB的度数．

（3）保持（2）中所求的DEB的度数不变，如图3，BM平分EBK,DN平分CDE，作BP//DN，则PBM的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．

8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC＋∠B＋∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点A作ED∥BC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝

又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°

∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°

解题反思：

从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）

深化拓展：

（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．

9．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．

（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；

（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．

10．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线/自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是a°/秒，且a、b满足a4bab50．假定这一带长江两岸秒，灯B转动的速度是b°河堤是平行的，即PQ//MN，且BAN60

2

（1）求a、b的值；

（2）若灯B射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，当灯B射线第一次到达BQ时运动停止，问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行?

（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CDAC交PQ于点D，则在转动过程中，BAC与BCD的数量关系是否发生变化?若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

三、解答题

11．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．

（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________

（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？

（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．

12．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON＝30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）

13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α. （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=

°；

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：

；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：

.

14．如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．

（1）求证：∠BED＝90°；

（2）如图2，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；

（3）如图3，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EBM的角平分线与∠FDN的角平分线交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论： ．

15．如图，直线PQ//MN，一副直角三角板ABC,DEF中，ACBEDF90,ABCBAC45,DFE30,DEF60．

（1）若DEF如图1摆放，当ED平分PEF时，证明：FD平分EFM． （2）若ABC,DEF如图2摆放时，则PDE

（3）若图2中ABC固定，将DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作FGQ和GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求GHF的度数．

（4）若图2中DEF的周长35cm,AF5cm，现将ABC固定，将DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到D\'E\'A，点D、E的对应点分别是D\'、E\'，请直接写出四边形DEAD\'的周长．

（5）若图2中DEF固定，（如图4）将ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．

【参考答案】

一、解答题

1．（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′

【分析】

（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根

解析：（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′

【分析】

（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；

（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．

【详解】

解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，

过O作OE∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥OE∥CD，

∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，

∴∠POQ＝90°，

∴PB′⊥QC′，

故答案为：PB′⊥QC′；

（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，

∵AB∥CD，PB′∥QC′，

∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，

即12t＝45+3t，

解得，t＝5；

②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC\'＝3t+45°，

∵AB∥CD，PB′∥QC′，

∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，

即12t﹣180＝45+3t，

解得，t＝25；

③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，

∵AB∥CD，PB′∥QC′，

∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，

即12t﹣360＝45+3t，

解得，t＝45；

综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．

2．（1）

；（2）①

；②

【分析】

(1)由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；

(2) ①由（1）知，，根据平行线的性质得到

，再由折叠的性质及平角的定义

11解析：（1）90a

；（2）①45a

；②50

24【分析】

(1)由平行线的性质得到4B\'FCa，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；

11(2) ①由（1）知，BFE90a，根据平行线的性质得到BFEC\'GB90a

，22再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

1②由（1）知，∠BFE =

EFB901，由B\'FC\'G可知：2B\'FCFGC\'90，再根据条件和折叠的性质得到B\'FCFGC\'1+14021=90，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，由题意可知A\'E//B\'F，

∴14a，

∵AD//BC，

∴4B\'FCa，

BFB180a，

由折叠可知2BFE11BFB90a．

22

1（2）①由题（1）可知BFE90a

，

2∵EF//C\'G，

1BFEC\'GB90a，

2再由折叠可知：

113HGC180CGB18090a90a，

2213HGC45a；

4

②由B\'FC\'G可知：B\'FCFGC\'90，

1由（1）知BFE901，

21BFC1802BFE18029011，

2又3的度数比1的度数大20，

3=1+20，

FGC18023180212014021，

B\'FCFGC\'1+14021=90，

1=50．

【点睛】

此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．

3．（1）见解析；（2）10°；（3）

【分析】

（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；

（2）过点E作HE∥CD，设

由（1）得AB∥CD

解析：（1）见解析；（2）10°；（3）18015

【分析】

（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出CDEDEF,结合已知条件DEBABECDE180，得出FEBABE180,即可证明；

（2）过点E作HE∥CD，设GEFx,FEBEFBy,

由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出DEFDEFB20y,再由EG平分DEB，得出DEGGEBGEFFEBxy,则DEFDEGGEF2xy，则可列出关于x和y的方程，即可求得x，即GEF的度数；

（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，则1NP∥CD∥AB∥QM，根据CDMCDE和CDM，得出MDE3,根据4CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出PNDCDMDMQ,EDMBNM3,即1BNP4,根据NP∥AB，得出PNBABN4,再由ABNABE，得出4ABM16,由AB∥QM,得出QMB18016,因为NMBNMQQMB，代入的式子即可求出BMN．

【详解】

（1）过点E作EF∥CD，如图，

∵EF∥CD,

∴CDEDEF,

∴DEBCDEDEBDEFFEB,

∵DEBABECDE180,

∴FEBABE180,

∴EF∥AB，

∴CD∥AB；

（2）过点E作HE∥CD，如图，

设GEFx,FEBEFBy,

由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，

∴DDEH20,HEFEFBy,

∴DEFDEHHEFDEFB20y,

又∵EG平分DEB，

∴DEGGEBGEFFEBxy,

∴DEFDEGGEFxyx2xy,

即2xy20y,

解得：x10,即GEF10；

（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，

由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM， ∵NP∥CD，CD∥QM，CDM,

∴PNDCDMDMQ,

1又∵CDMCDE，

4∴MDE3CDM3,

∵BN//DE,

∴MDEBNM3,

∴PNBPNDBNM34,

又∵PN∥AB，

∴PNBNBA4,

1∵ABNABE,

4∴ABM4ABN4416,

又∵AB∥QM，

∴ABMQMB180,

∴QMB180ABM18016,

∴NMBNMQQMB1801618015．

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．

4．（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析

【分析】

（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°

解析：（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析

【分析】

（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，则∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，进而得出结论；

（3）过点C

作CP∥a，由角平分线定义得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，

∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°， ∵a∥b，

∴∠2=∠3=42°；

（2）理由如下：

过点B作BD∥a．如图2所示：

则∠2+∠ABD=180°，

∵a∥b，

∴b∥BD，

∴∠1=∠DBC，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，

∴∠2+60°-∠1=180°，

∴∠2-∠1=120°；

（3）∠1=∠2，理由如下：

过点C

作CP∥a，如图3所示：

∵AC平分∠BAM

∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，

又∵a∥b，

∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，

∴∠PCA=∠CAM=30°，

∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，

又∵CP∥a，

∴∠2=∠BCP=60°，

∴∠1=∠2．

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．

5．（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．

【分析】

（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质

解析：（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．

【分析】

（1）过E作EH//AB，易得EH//AB//CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH//AB，易得FH//AB//CD，根据平行线的性质可求解；

（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；

（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝2∠BME，进而可求解．

【详解】

解：（1）过E作EH//AB，如图1，

1

∴∠BME＝∠MEH，

∵AB//CD，

∴HE//CD，

∴∠END＝∠HEN，

∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，

即∠BME＝∠MEN−∠END．

如图2，过F作FH//AB，

∴∠BMF＝∠MFK，

∵AB//CD，

∴FH//CD，

∴∠FND＝∠KFN，

∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，

即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．

（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．

∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，

∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，

∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，

∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，

∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，

即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，

解得∠BMF＝60°，

∴∠FME＝2∠BMF＝120°；

（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．

由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，

∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，

∴∠FEN＝2∠MEN＝2（∠BME＋∠END），∠ENP＝2∠END，

∵EQ//NP，

∴∠NEQ＝∠ENP，

∴∠FEQ＝∠FEN−∠NEQ＝2（∠BME＋∠END）−2∠END＝2∠BME，

∵∠BME＝60°，

∴∠FEQ＝2×60°＝30°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．

1111111二、解答题

6．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析

【分析】

（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．

（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N

解析：（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析

【分析】

（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．

（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．

（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．

【详解】

解：（1）如图，作CP//a， ∵a//b，CP//a，

∴CP//a//b，

∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，

∴∠BCP=180°-∠CEF，

∵∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，

∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．

（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：

如图，作CP//a，则CP//a//b，

∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，

∵∠NEF+∠CEF=180°，

∴∠BCP=∠NEF，

∵∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠AOG+∠NEF=90°．

（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，

∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，

∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,

∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，

∴∠GOP=135°-∠POQ，

∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF． 如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，

∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，

∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，

∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，

∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．

【点睛】

本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．

7．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°

【分析】

（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论；

（2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再

解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°

【分析】

（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据ACBBED180，CEDBED180，可得ACBCED，所以AC//DF，可得ADFB，又AD，进而可得结论；

（2）如图2，作EM//CD，HN//CD，根据AB//CD，可得AB//EM//HN//CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB比DHB大60，列出等式即可求DEB的度数；

（3）如图3，过点E作ES//CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM的度数．

【详解】

解：（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，

ACBBED180，CEDBED180，

ACBCED，

AC//DF，

ADFB，

AD， DFBD，

AB//CD；

（2）如图2，作EM//CD，HN//CD，

AB//CD，

AB//EM//HN//CD，

1EDF180，MEBABE，

BG平分ABE，

1ABGABE，

2AB//HN，

2ABG，

CF//HN，

23，

ABE3，

12DH平分EDF，

13EDF，

2ABEEDF，

1(EDFABE)，

21212EDFABE2，

设DEB，

1MEB180EDFABE180(EDFABE)1802，

DEB比DHB大60，

60，

1802(60)

解得100

DEB的度数为100；

（3）PBM的度数不变，理由如下：

如图3，过点E作ES//CD，设直线DF和直线BP相交于点G， BM平分EBK，DN平分CDE，

1EBMMBKEBK，

21CDNEDNCDE，

2ES//CD，AB//CD，

ES//AB//CD，

DESCDE，

BESABE180EBK，

GPBK，

由（2）可知：DEB100，

CDE180EBK100，

EBKCDE80，

BP//DN，

CDNG，

1PBKGCDNCDE，

2PBMMBKPBK

11EBKCDE

221(EBKCDE)

2180

240．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．

8．（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；

解析：（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；

（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．

【详解】

解：（1）过点A作ED∥BC，

∴∠B=∠EAB，∠C=∠DCA，

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°．

故答案为：∠DAC；

（2）过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D=∠FCD，

∵CF∥AB，

∴∠B=∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，

∴∠B+∠BCD+∠D=360°；

（3）如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，

∴∠ABE=2∠ABC=30°，∠CDE=2∠ADC=35°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．

119．（1）2α；（2）EF⊥PQ，见解析；（3）∠NEF＝∠AMP，见解析 【分析】

1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝

解析：（1）2α；（2）EF⊥PQ，见解析；（3）∠NEF＝2∠AMP，见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；

（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE＝2（180°﹣∠NQE）＝2（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论．

【详解】

解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，

111

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PR，

∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，

∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；

（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：

∵PQ平分∠MPN．

∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，

∵QE∥PN，

∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，

∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，

∵EF平分∠PEQ，

∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，

∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，

∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°， ∴∠EPQ+∠PEF＝90°，

∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，

∴EF⊥PQ；

（3）如图③，∠NEF＝2∠AMP，理由如下：

1

由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，

∴∠QEF＝90°﹣2α，

∵∠PQN＝α，

∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，

∵NE平分∠PNQ，

∴∠PNE＝∠QNE，

∵QE∥PN，

∴∠QEN＝∠PNE，

∴∠QNE＝∠QEN，

∵∠NQE＝3α，

∴∠QNE＝2（180°﹣∠NQE）＝2（180°﹣3α），

∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE

＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣2（180°﹣3α）

＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+＝2α

＝2∠AMP．

∴∠NEF＝2∠AMP．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．

1111113α

210．（1），；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．

（3）由参数表示，即可判断．

【详解】 解析：（1）a4，b1；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，3BAC4BCD

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．

（3）由参数t表示BAC，BCD即可判断．

【详解】

解：（1）∵a4bab50,

2a4b0∴,

ab50a4，b1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0t45时，

4t(45t)1，

解得t15；

②当45t90时，

4t180180t45，

解得t63；

③当90t135时，

4t360t45，

解得t135，（不合题意）

综上所述，当t=15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为t秒，

CAN1804t，

BAC60(1804t)4t120，

又PQ//MN，

BCACBDCANt1804t1803t，

而ACD90，

BCD90BCA90(1803t)3t90，

BAC:BCD4:3，

即3BAC4BCD．

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题

11．（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．

【分析】

（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°， 解析：（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）（∠B＝36°或∠B＝540）．

7【分析】

（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；

（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；

（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．

【详解】

解：当108°的角是另一个内角的3倍时，

最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，

当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，

最小角为72°÷（1＋3）＝18°，

因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．

故答案为：18°或36°．

（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”

证明：∵AB⊥OM，

∴∠OAB＝90°，

∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，

∴∠OAB＝3∠ABO，

∴△AOB为“梦想三角形”，

∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，

∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，

∴∠AOB＝3∠OAC，

∴△AOC是“梦想三角形”．

（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，

∴∠EFC＝∠ADC，

∴AD∥EF，

∴∠DEF＝∠ADE，

∵∠DEF＝∠B，

∴∠B＝∠ADE，

∴DE∥BC，

∴∠CDE＝∠BCD，

∵AE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD，

∵△BCD是“梦想三角形”，

∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，

∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，

（∴∠B＝36°或∠B＝540）．

7【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

12．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.

【分析】

（1）在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；

（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根据两直线平行，同旁内角

解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.

【分析】

（1）在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；

（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠CEN的度数.

（3）画出图形，求出在MN⊥CD时的旋转角，再除以30°即得结果.

【详解】

解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°－∠ECN－∠CNE=180°－45°－30°=105°；

（2）∵∠BON＝30°，∠N=30°，

∴∠BON＝∠N，

∴MN∥CB.

∴∠OCD+∠CEN=180°，

∵∠OCD=45°

∴∠CEN=180°－45°=135°；

（3）如图，MN⊥CD时，旋转角为360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．

【点睛】

本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难点是第（3）小题，解题的关键是画出适合题意的几何图形，弄清求旋转角的思路和方法，本题的第一种情况是将旋转角∠DOM放在四边形DOMF中，用四边形内角和求解，第二种情况是用周角减去∠DOM的度数.

13．（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．

【详解】

试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2

解析：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．

【详解】

试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；

（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；

（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；

（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．

试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，

∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，

∵∠C＝90°，∠α＝50°，

∴∠1＋∠2＝140°，

故答案为140；

（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，

∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.

故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.

（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，

设DP与BE的交点为M，

∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，

∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.

（4）如图④，

设PE与AC的交点为F，

∵∠PFD＝∠EFC，

∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，

∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，

∴∠2＝90°＋∠1－∠α.

故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α

点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.

14．（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．

【分析】

（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°

90a解析：（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．

2【分析】

（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝2（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°，从而根据∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；

（2）过点G作GP∥AB，根据AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，从而得到∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根据∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，

得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分线的定义求出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；

（3）过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，从而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根据BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝2∠FBP＝2（180°﹣∠3），∠6＝2∠FDQ＝2（180°﹣∠5），即可求解.

【详解】

解：（1）证明：∵BE平分∠ABD，

∴∠EBD＝2∠ABD，

∵DE平分∠BDC，

∴∠EDB＝2∠BDC，

∴∠EBD+∠EDB＝2（∠ABD+∠BDC），

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠BDC＝180°，

∴∠EBD+∠EDB＝90°，

∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．

（2）解：如图2，

由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，

11111111又∵∠ABD+∠BDC＝180°，

∴∠ABE+∠EDC＝90°，

即∠ABE+α+∠FDC＝90°，

∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，

∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，

∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，

过点G作GP∥AB，

∵AB∥CD，

∴GP∥AB∥CD

∴∠ABG＝∠BGP，∠PGD＝∠CDG，

∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG＝90；

2

（3）如图，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥GM∥FN∥CD，

∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，

∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，

∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，

∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，

∴∠4＝2∠FBP＝2（180°﹣∠3），

∠6＝2∠FDQ＝2（180°﹣∠5），

∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，

＝∠3+∠5+2（180°﹣∠3）+2（180°﹣∠5），

＝180°+2（∠3+∠5），

＝180°+2∠BFD，

整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．

11111111 【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

15．（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s

【分析】

（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性

解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s

【分析】

（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；

（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；

（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；

（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．

【详解】

（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，

∵ED平分∠PEF，

∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°， ∵PQ∥MN，

∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，

∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，

∴∠MFD＝∠DFE，

∴FD平分∠EFM；

（2）如图2，过点E作EK∥MN，

∵∠BAC＝45°，

∴∠KEA＝∠BAC＝45°，

∵PQ∥MN，EK∥MN，

∴PQ∥EK，

∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，

又∵∠DEF＝60°．

∴∠PDE＝60°−45°＝15°，

故答案为：15°；

（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，

∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，

∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，

∴FL∥PQ∥HR，

∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，

∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，

∴∠QGH＝2∠FGQ，∠HFA＝2∠GFA，

∵∠DFE＝30°，

11∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，

∴∠HFA＝2∠GFA＝75°，

∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，

∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，

∴∠RHG＝∠QGH＝2∠FGQ＝2（180°−105°）＝37.5°，

∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；

（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，

111

∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，

∵DE＋EF＋DF＝35cm，

∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），

即四边形DEAD′的周长为45cm；

（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，

分三种情况：

BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，

∴∠CAE＝∠DFE＝30°，

∴3t＝30，

解得：t＝10；

BC∥EF时，如图6， ∵BC∥EF，

∴∠BAE＝∠B＝45°，

∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，

∴3t＝90，

解得：t＝30；

BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，

∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，

∴∠BKA＝∠DRM＝75°，

∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，

∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，

∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，

∴3t＝120，

解得：t＝40，

综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．