2024年1月10日发(作者：为什么数学试卷总是那么难)

2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题

1. 复数满足z2023z10，求证：z1当且仅当(z)

2.设i(1i5)为31．

2中的五个非零向量．求证：存在非零向量3，使得存在1j1j2j3j45，满足与jk的夹角均不超过2(k1,2,3,4)．

3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为pn．求pn及limpn．

n

x3sinxx． 4.(1)x0，证明x6(2)0a13，an1an

5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作a1,a2,3a1sinan．证明：对任意正整数n，都有nan．

23a1n1.．比如a12,a23,a35,

.求证：对任意正整数n，都有annn1．

2

2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题答案

1.复数满足z2023z10，求证：z1当且仅当(z)证明：

由题意知：z2023z1，两边取模得：z20231

2z1．于是

2z即2(z)1z(z于是

24046z1(z1)(z1)z2(z)1

2022220221)(z1)．

(z)122(z)10z(zz122022

20221)(z1)02.设i(1i5)为3中的五个非零向量．求证：存在非零向量3，使得存在1j1j2j3j45，满足与jk的夹角均不超过证明：

设i的起点均为O，终点分别为Ai(1i5)．

2(k1,2,3,4)．

考虑平面OA1A2，由抽屉原理，A3、A4、A5中必存在两点，在平面OA1A2的同侧（含平面上），不妨设为A3、A4．

取平面OA1A2的法向量，且使指向A3、A4一侧，易知满足题意．

3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为pn．求pn及limpn．

n解答：

若交换前笼子里均为一雄一雌，则一共有种交换情况，其中两种交换后仍均为一雄一雌（雄换雄或雌换雌），另两种交换后笼子里为两雄和两雌．而两雄和两雌的情况交换后必然回到均为一雄一雌．于是有递推关系：

pn111pn(1pn)1pn,p01

22

212(pn)，可得

323211pn()n

3322于是limpn．

n3于是pn1x3sinxx． 4.(1)x0，证明x6(2)0a13，an1an证明：

(1)求导易证，实际上为sinx一阶和三阶的泰勒展开，是第二问的提示．

(2)由题意知：

3a1sinan．证明：对任意正整数n，都有nan．

3a12n1(n1)an1(n1)ansinan13(n1)ananan613nanan6于是

ann1，归纳易知递减，因此

an1n2anan11an1nan(n1)an16n(n1)an1累加得：

a1n2(n1)an16na112(n1)an16nn1a1112a1nank16k

a1n1116k2k(k1)a1126n1a13解得：nan

3a1，证毕．

3a12

5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作a1,a2,.．比如a12,a23,a35,证明：

.求证：对任意正整数n，都有annn1．

222满足kan(k1)的an共有2k个，此时有

242(k1)n24122k

即(k1)knk(k1)，即(k)2n等号无法取得．

1111(k)2，故knk，易知4222在an之前共有k个完全平方数被去除，于是annk．

因此

11annn，证毕．

22


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