2023年12月3日发(作者：湖北武汉小升初数学试卷)
2018年全国高考新课标2卷理科数学考试(解析版)
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2 高考真题 高三数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．1+2i=( )
1-2i
43B．- + i
55
34C．- - i
55
34D．- + i
5543A．- - i
55解析：选D
222．已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为 ( )
A．9 B．8 C．5 D．4
解析：选A 问题为确定圆面内整点个数
e-e3．函数f(x)=
2的图像大致为 ( )
xx-x
e-e解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B
44．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )
A．4 B．3 C．2
2解析：选B a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3
222-2 D．0
xy5．双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
abA．y=±2x
2B．y=±3x
2 C．y=±2x
2 D．y=±3x
2解析：选A e=3 c=3a b=2a
C56．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )
25A．42 B．30 C．29 D．25
32C222解析：选A cosC=2cos -1= - AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32 AB=42
25第 3 页 共 9 页
高考真题 高三数学
111117．为计算S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )
23499100开始N0,T0i1是1ii100否NNTTSNT输出S结束1i1
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
解析：选B
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A．1
12 B．1
14 C．1
15 D．1
18解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的31为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=2=
C10159．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
1A．
5 B．5
6 C．5
5 D．2
2解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
10．若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是( )
A．π
4 B．π
2 C．3π
4 D．π
解析：选A f(x)= 2cos(x+πππ),依据f(x)=cosx与f(x)= 2cos(x+)的图象关系知a的最大值为。
44411．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A．-50 B．0 C．2 D．50
解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
xy312．已知F1，F2是椭圆C:
2＋2＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直ab6线上，ΔP F1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120，则C的离心率为( )
2A．
3
1B．
2
1C．
3
1D．
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解析：选D AP的方程为y=3(x+a),∵ΔP F1F2为等腰三角形 ∴|F2P|=| F1F2|=2c,
60过P作PH⊥x轴，则∠PF2H=60, ∴|F2H|=c,|PH|=3c, ∴P(2c, 3c),代入AP方程得4c=a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．
解析：y=2x
x+2y-5≥0
14．若x,y满足约束条件x-2y+3≥0
,则z=x+y的最大值为__________．
x-5≤0
解析：9
15．已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=__________．
1解析：- 两式平方相加可得
2716．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若ΔSAB的面积8为515，则该圆锥的侧面积为__________．
解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=2r, 又SA，SB所成角的正弦值为2151152,则×2r×=515
828 ∴r=40, S=π×r×2r=402
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.
22（2）由（1）得Sn=n-8n=(n-4)-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为−16.
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年^至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016^年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
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（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^y=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^y=99+17.5×9=256.5 (亿元).
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
^（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用^2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19．（12分）
2设抛物线C:y=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).
y=k(x-1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由2y=4x
得kx-(2k+4)x+k=0.
22222k+4Δ=16k+16>0，故x1+x2=2.
k222k+4所以|AB|= x1+x2+2=2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.
k因此l的方程为y=x-1.
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.
y0=-x0+52设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则2(y0-x0+1)(x0+1)=+16222222
x0=3解得y0=2
x0=11或y0=-6
因此所求圆的方程为(x-3)+(y-2)=16或(x-11)+(y+6)=144.
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20．（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
0（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
PABOMC
2AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，
2解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23.
连结OB.因为AB=BC=1且OB⊥AC，OB=AC=2.
2由OP+OB=PB知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.
（2）如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.
→ =(0,0,23) 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,23),AP取平面PAC的法向量→OB=(2,0,0).
设M(a,2-a,0)(0 2222y+23z=0设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).则ax+(4-a)y=0→,n>=所以cos ，可取n=(3(a-4), 3a,-a)， →,n>|=3. .由已知得|cos 23∴23|(a-4)|23(a-4)+3a+a22==2所以n=(- 83434→,n>=3. ,,- ).又→PC=(0,2,-23)，所以cos 4所以PC与平面PAN所成角的正弦值为21．（12分） x2已知函数f(x)=e-ax． （1）若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a． 2-x【解析】（1）当a=1时，f(x)≥1等价于(x+1)e-1≤0． 第 7 页 共 9 页 高考真题 高三数学 设函数g(x) (x+1)e-1，则g′(x)=-(x-1)e． 当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减． 而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1． 2-x（2）设函数h(x)=1-ax e． f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点． （i）当a≤时，h(x)>0，h(x)没有零点； -x（ii）当a>0时，h′(x)=ax(x-2) e． 当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h′(x)>0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增． 故h(2)=1- 4a2是h(x)在[0,+∞)的最小值． e22-x2-xe①若h(2)>0，即a<，h(x)在(0,+∞)没有零点； 4e②若h(2)=0，即a=，h(x)在(0,+∞)只有一个零点； 4e③若h(2)<0，即a>，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点， 416a16a1由（1）知，当x>0时，e=x，所以h(4a)=1-2a2>1-4=1- >0 (e)(2a)ax23322故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点． e综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=． 4（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） x=2cosθ在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y=4sinθ2 x=1+tcosα（θ为参数），直线l的参数方程为y=2+tsinα （t为参数）． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． xy【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1． 416当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα， 当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1． 22（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cosα)t+4(2cosα+sinα)t-8=0．① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0． 又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|． （1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围． 222x+4 x≤-1 【解析】（1）当a=1时，2 -1 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}． -2x+6 x>2 （2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4． 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2， 第 8 页 共 9 页 高考真题 高三数学 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)． 第 9 页 共 9 页
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