新人教版高二上期末数学试卷(理科)含答案解析

2023年12月3日发(作者：初一国庆数学试卷答案)

高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）

A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n

B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n

C．D．2．（5分）若复数点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

且f（n0）＞n0

或f（n0）＞n0

=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（ ）

A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣

5．（5分）在等差数列{an}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（ ）

A． B．

C． D．

7．（5分）函数，则（ ）

B．x=e为函数f（x）的极小值点

D．为函数f（x）的极小值点

A．x=e为函数f（x）的极大值点

C．为函数f（x）的极大值点 8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

9．（5分）已知数列{an}，a1=1，A．5 B． C． D．

，则a10的值为（ ）

10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）

A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）

11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足A． B． C． D．﹣

，那么x+4y的最小值为（ ）

12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

A．2+

B．2+ C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）若，则= ．

14．（5分）= ．

15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为 ．

16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）设数列{an}满足a1=1，an+1=3an，n∈N+．

（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；

（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{bn}的通项公式．

18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．

19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．

（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；

（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．

20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．

21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．

（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

22．（12分）设函数f（x）=x2ex．

（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；

（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；

（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．

2017-2018学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）

A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n

B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n

C．D．且f（n0）＞n0

或f（n0）＞n0

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：故选：D．

2．（5分）若复数点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的或f（n0）＞n0．

【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，

∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，

∴，解得b=﹣3，a=﹣7．

则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．

故选：C．

3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，

反之成立，

故选：A．

4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（ ）

A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣

【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；

所以：2p=，即p=，

所以：=，

．

所以准线方程y=﹣故选：D．

5．（5分）在等差数列{an}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，

∴a8=1+7d=9，

故选C．

6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹是椭圆，

可知c=5，2a=12，解得a=6，c=． 则顶点C的轨迹方程是：故选：B．

7．（5分）函数，则（ ）

．

A．x=e为函数f（x）的极大值点

C．为函数f（x）的极大值点

B．x=e为函数f（x）的极小值点

D．为函数f（x）的极小值点

，

【解答】解：令f′（x）=∴函数的定义域（0，+∞），求导f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，

在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，

∴当x=e时，函数有极大值，

故选A．

8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），

∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），

|=，

∴B1M与D1N所成角的余弦值为|故选：A．

9．（5分）已知数列{an}，a1=1，，则a10的值为（A．5 B． C． D．

【解答】解：∵数列{an}，a1=1，，

∴=，

=，

=，

由此猜想an=．

下面利用数学归纳法进行证明：

①，成立；

②假设ak=，

则==，成立，

∴，

∴a10=．

故选：D．

）

10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）

A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）

【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．

故选C．

11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足A． B． C． D．

，那么x+4y的最小值为（ ）

【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足那么x+4y=当且仅当x=2故选：C．

12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=（x+4y）=时取等号．

≥，

==+，

=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

A．2+ B．2+ C． D．

【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等， y=x代入﹣=1，可得x=±，

∴•=c，

∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，

∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，

∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，

∴e4﹣4e2+2=0，

∵e＞1，∴e2=2+∴e=故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）若7 ．

【解答】解：2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；

故答案为：﹣7．

14．（5分）= 1 ．

，则=（﹣，则= ﹣．

，

【解答】解：∫1edx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，

故答案为1

15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为 ．

+=1（a＞b＞0）．

【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：则取P=1，解得y=±．

，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），

∴kAB=﹣，==﹣．

∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．

c，

∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=∴e==．

．

故答案为：

16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为 ．

【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，

可得，画出不等式组的可行域如图：

则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，

由可得B（，），

f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）设数列{an}满足a1=1，an+1=3an，n∈N+．

（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；

（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{bn}的通项公式．

【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）

所以，…（4分）

…（6分）

（Ⅱ）设数列{bn}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，

∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）

∴bn=5n﹣2…（10分）

18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．

【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；

（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2， 又，相减整理得，

所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．

方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由易知又y1+y2=﹣2所以，

，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，

，

所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．

19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．

（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；

（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）

（Ⅱ）由轴正方向，Cxyz，

则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为y轴正方向，方向为x方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系 设可取是平面A1CD的法向量，则．…（6分）

，

即

同理，设是平面A1CE的法向量，则可取从而．…（8分）

…（10分）

所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）

20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．

【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）

因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4

故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）

，动点M形成的轨迹为曲线C． （Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）

由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，

易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）

方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）

（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）

由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，

易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．

所以

21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．

（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；

为定值…（12分） （Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD

∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD

∴PD⊥BC…（2分）

又∴

又∴，

∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC

∴BC⊥BD…（4分）

又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD

∴BC⊥平面PBD

而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD

∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）

分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则A（1，0，0），∴，，=（﹣1，0，0），，

，取y=1，得…（10分）

，P（0，0，1）

，

设平面PBC的法向量为则 ，即∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：

．…（12分）

22．（12分）设函数f（x）=x2ex．

（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；

（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；

（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．

【解答】解：（1）f\'（x）=（x2+2x）ex，

∴f\'（1）=3e，

∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；

（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴设g（x）=xex，g\'（x）=（x+1）ex，

令g\'（x）＞0，得x＞﹣1，令g\'（x）＜0得x＜﹣1，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，

∴∴；

，

，

，

，

（3）令F（x）=0，得当x＜0时，∴F（x）的零点在（0，+∞）上，

令f\'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，

∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减， ∴方程∵仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，

，

，则n=0．

∴由零点存在的条件可得