第四章 儿童的数学学习过程

2023年12月10日发(作者：2022金乡中考数学试卷)

第四章 儿童的数学学习过程

一、教学目的

通过本章的学习，使学生:

（1）掌握学习的基本分类，知道迁移在小学数学教学中的重要作用；

（2）了解儿童是如何学习和理解数学的，掌握儿童数学认知的基本过程；

（3）懂得小学数学教育的主要任务，知道儿童在数学认知学习中的个别差异。

二、教学重点、难点

教学重点是儿童数学学习的一般过程；教学难点是儿童数学认知发展的基本规律。

三、教学方法

讲授、讨论交流与阅读文献

四、教学内容

本章主要内容：

 小学数学学习过程概述

 儿童数学认知发展的基本规律

 儿童数学能力的发展

五、教学过程

§4.1 小学数学学习概述

4.1.1 学习与小学数学学习

一、什么是学习

对于学习，国内外许多心理学家和学者给出过各种各样的解释，出发点不同、立场不同、材料不同、方法不同，对学习的理解就不同，从而所形成的理论也不同。

1．我国古代的学习观

学

学

思

学习

闻见（感知）

获得知识和技能

慎思（理解）

时习（巩固）

形成能力和德行

习

习

2．行为主义的学习观

行为主义认为，学习是一种行为的形成或改变，它是通过刺激—反应来实现的，即学习过程是有机体在一定条件下形成刺激与反应的联结从而获得新的经验的过程。

3．认知学派的学习观

 认知学派认为，学习不是简单地在强化条件下形成刺激与反应之间的联结，而是学习者积极主动地形成新的认知结构的过程。

 现代认知学派认为，学习就是理解，即通过认知获得意义，实现认知结构的重新组合。

4．人本主义的学习观

 人本主义认为学习是学习者实现自身价值的过程。学习过程中，人的因素是最重要的，学习者是学习活动的主体。

 因此，教育者必须关注学习者的情感、需要和价值观。

5．建构主义的学习观

 建构主义理论认为，学习是主体和客体之间的交互作用。

 学习者主动地去接触有关的信息，并利用学习者已有的知识和观念来解释这些信息。

 学习者以自己的经验和观点来构建知识，获得对客观世界理解并赋予意义。

我们一般所说的学习是从心理学的角度来阐述的，也就是说，学习是指动物和人类所共有的一种心理活动。对人类来说，学习是“知识经验的获得及行为变化的过程”。这里需要说明的是：

（1）并非所有的行为变化都是学习，积累知识经验基础上的行为变化，才是学习。 （2）学习的结果产生行为变化，但有的行为变化是外显的，有的行为变化是内隐的。例如，技能学习，所导致的行为变化就是外显的，就称为“外显学习”，思想意识的学习大多是内隐的，叫做“内隐学习”。

（3）学习是一个渐进的过程。

（4）行为的变化有时表现为行为的矫正或调整。

（5）学习后的行为变化不仅包括体现在实际操作上的行为变化，而且还包括体现在态度、情绪、智力上的行为变化。

二、小学数学学习及其特点

小学数学学习是学生在小学阶段对数学学科的学习，是学生在教师指导下，由于获得数学知识经验而引起的比较持久的行为变化过程。它是一个有目的、有计划、有组织、有步骤的获得数学知识、掌握数学技能、形成数学问题解决能力、发展个性品质的过程。

儿童数学学习的基本特点









儿童数学学习的起点是他们的生活常识和经验；

儿童的数学思维具有明显的直观化特征；

儿童的数学学习过程是一个数学活动的过程；

儿童的数学学习是一个“再发现”与“再创造”的过程。

4.1.2 小学数学学习的分类

一、按学习的深度划分，可以分为机械学习与有意义的学习

 机械学习是指学生对所学的知识并未真正理解，而只是仅仅记住相关数学符号、了解相应词句及简单性地模仿。

 有意义的学习则要求学生能理解新知识及其实际内容，要对符号所代表的意义与头脑中已有的旧知识建立非人为（非任意）的实质性（非字面）的联系，并能融会贯通。

二、按学习的方式划分，可以分为接受学习与发现学习。

 接受学习是指学习的全部内容以定论的形式呈现给学习者的一种学习方式

 发现学习是指不将学习主要内容直接呈现给学生，而是向学生提供一定的背景材料，由学习者独立操作而习得知识的一种学习方式。

三、按学习的内容划分，可以分为数学知识学习、数学技能学习和数学问题解决学习

 数学知识学习是指以理解、掌握数学基础知识为主的一种学习活动。

 数学技能学习是指将一连串动作经练习而形成熟练的自动化的反应过程。

 数学问题解决学习是指以关心问题解决过程为主、反思问题解决思考过程的一种学习。

1．数学知识的学习过程：









感知阶段--操作、观察、实验、猜测等。

领会阶段--分析比较、抽象概括、归纳、类比、推理等。

习得阶段--梳理提炼、辨析、尝试运用等。

巩固阶段--交流分享、自主作业、反思评价等。

教学实例1：纯循环小数概念的学习

师：（出示下面各题：1÷3， 6÷11，2÷9，5÷7）请小朋友们用竖式计算，（学生试做，几分钟后，教师请学生回答计算的结果）。

生1：1÷3=0.333…, 6÷11=0.545454…, 2÷9=0.22222…，5÷7=0.7…。

师：你们还有不同的计算结果吗？（学生纷纷摇头）

师：通过观察这些结果，你们还能发现什么？

生2：这些除法都除不尽，商是无限小数，因为余数总是会重复出现。

生3：发现商很有规律。

师：什么规律？

生4：有的商，只有一个数字，而这个数字始终重复出现；有的商，有几个不同的数字，这几个不同的数字也始终重复出现。

师：是呀？这些商，都有一个共同的规律，那就是小数部分的第一位起，有一个数字或几个数字依次不断地重复出现。这种类型的小数，我们称之为什么小数呢？对！纯循环小数。你还能举出其它纯循环小数的例子吗？

生5：0.4444…, 0.154154154…, 0.212121…， 0.270270270…。

教学实例2：乘法分配律的学习

师板书：（10＋5）×4 10×4＋5×4

请同学们观察这两道算式，谁能用语言把这两个算式说一说？ 生：第一个是10与5的和乘4，第二个是10与5分别乘4后再相加。

师：是的。如果我们把10与5看成两个数，4看成第三个数，又该怎样叙述这两个算式呢？

生：第一个是“两数的和乘第三个数”，第二个是“这两个数分别乘第三个数后再相加。”

师：回答得很好，谁又能根据这个规律再写几组算式呢？

生：（18＋7）×8 18×8＋7×8 （生答师板书）

生：（6＋9）×7 6×7＋9×7 （生答师板书）

师：好！请大家计算这六道题，看谁算得又快又准。

（2分钟后，教师一边要学生回答结果，一边将结果板书。）现在，你们发现了什么？

生：我们发现每一组题中两个题的计算结果相等。

师：是的，也就是说，每一组题的两个算式都可用一个什么符号连接？

生：都可用“等号”连接。（学生边说，教师边用等号连接两个算式，并用红虚线把计算的结果省去。）

师：你能看出这三个等式都有一个什么样的共同点吗？

生：都是两个数的和乘第三个数，等于这两个数分别乘第三个数后再相加。

师：概括得很好！哎？是不是“任何两个数的和乘第三个数，都会等于这两个数分别乘第三个数后再相加”呢？老师随便写一个——（8＋3）×4与8×4＋3×4，相等吗？为什么？

生：相等。因为算出来都是44。

师：对。实际上，这是一条客观规律，叫做乘法分配律。（板书课题，并将事先写好的分配律贴在黑板上。）其实，它们之间相等的关系不通过计算也能得到，也就是说可以从一个化到另一个，请大家想想看，如何把（8＋3）×4化成8×4＋3×4？（师边说边在“8＋3”下面划一横线，以示视“8＋3”为一个数。）

生：（8＋3）×4＝（8＋3）＋（8＋3）＋（8＋3）＋（8＋3）＝（8＋8＋8＋8）＋（3＋3＋3＋3）＝8×4＋3×4。

师：不错，这里用乘法意义说明它们相等的方法具有一般性，以上各组算式相等的关系都可用这种方法说明。

数学技能的学习过程：  认知阶段

 联结阶段

 自动化阶段

例如，小数乘法的学习。

首先是认知阶段，即小学生了解小数乘法运算法则的阶段。这一阶段学生的学习过程是：先教师提出问题，3.24×2.6=？,再引导学生回忆324×26是怎样进行的？

最后通过观察比较，并根据积的变化规律，概括出小数乘法法则：小数乘小数，先按整数乘整数的法则求出积，再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

这一阶段，就是让学生知道、理解并记住小数乘法运算法则，为下一阶段的学习作准备。

其次是联结阶段，即学生在教师的示范和指导下进行模仿练习并内化的阶段。这一阶段教师选择几个范例，边讲边做，同时在言语的解说下呈现数学运算技能的活动过程，学生模仿，尝试练习。学生在大量的小数乘法的练习中，从一边念念有词地说着法则、一边按法则进行一步步的计算，过渡到运算熟练的程度。

最后是自动化阶段。这一阶段，学生遇到小数乘法，则不自觉地运用法则进行计算，运算过程的进行和运算法则的应用完全达到自动化了。此时，学生已掌握了小数乘法运算的心智技能，对于技能所涉及的数学活动已达到了熟练的程度，这时，刺激和反应几乎是同时进行，中间不用有意识的思考。

4.1.3 小学数学学习的一般过程

按认知学派的观点，小学数学学习过程是一个数学认知过程。即新的学习内容与学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。这个过程包括三个阶段：输入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作阶段。

所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。

学生的数学认知结构主要是通过同化和顺应两种方式去构建的，同化和顺应是学生数学认知的基本方式。

 同化是指学生利用原有数学认知结构对新的数学知识进行适当改造，然后将改造后的数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学认知结构发生量变的过程。

 同化学习的必要条件是所学习的新知识与原有认知结构中的适当观念有实质的、非人为联系，即原有认知结构中有能够同化新知识的适当观念。

 同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。

例如，异分母分数加减法的学习过程，就是一个利用分数基本性质通过通分把异分母分数加减法转化成同分母分数加减法并将其纳入到原来已经形成的同分母分数加减法认知结构中去，从而扩大和完善分数加减法认知结构的过程。

再如，学生原有认知结构中已有了乘数是一位数、两位数的乘法运算知识，再学习乘数是三位数的乘法时，学生就可以根据“用乘数哪一位上的数去乘被乘数，所得积的末位就与哪一位对齐”这一联系点，将新知识同化于原有的数学认知结构中，从而扩大了乘法的认知结构。

又如，“直角三角形（有一个角是直角的三角形叫做直角三角形）”概念的学习，学生必须把新概念（直角三角形）与自己原有认知结构中的一些概念（三角形、角、直角）相联系，并把新概念（直角三角形）与原有概念（三角形是由三条线段首尾相接所围成的图形）进行比较分化，突出新概念“有一个角是直角”这一本质属性，然后把“直角三角形”同化于“三角形”的概念体系之中，从而扩大并完善三角形的认知结构。

 顺应是指某些新的数学知识不能直接同化到学生原有认知结构中去，必须适当调整或改造原有认知结构使其适应新知识的学习，在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去，从而建立新的数学认知结构的过程。

 顺应主要适用于那些与旧知识没有直接联系的新知识的学习。

心理学研究表明，学生在学习过程中，运用顺应方式改组原有认知结构接纳新知识主要是通过以下两种途径实现的：一是调整，二是并列。

 所谓调整，就是改变原有认知结构的组织形式，或赋予原有认知结构中某些观念以新的意义，使之与新知识相适应，并以此为固定点接纳新知识。

例如，小学生开始学习分数时，由于分数与原有的整数认知结构不一致，所以，就不能简单地依靠同化方式在原有的整数认知结构基础上学习分数，而要对整数认知结构进行改造，通过分数初步认识的学习，逐步顺应分数的学习。

 所谓并列，就是赋予新知识和原有认知结构中某些观念以一定意义的外在联系，并把新知识与旧知识联接成一定的结构。

例如，小学生在学习分数乘整数后，再学习分数乘分数时，就可将新知识与旧知识（分数乘整数的意义）相联系，再通过具体实例（如一袋面粉30千克，4袋面粉多少千克？1/2袋面粉多少千克？3/5袋面粉多少千克？）赋予一个数乘分数的意义——就是求这个数的几分之几。由此通过一个数乘分数的意义与整数乘法的意义相并列，实现学生原有认知结构的改组和分数乘法意义的新认知结构的建立。

§4.2儿童数学认知发展的基本规律

皮亚杰的发生认识论

 感知运动阶段（0—2岁）

主要是动作、活动并有协调感觉、知觉和动作的活动，属于智慧萌芽时期。

 前运算阶段（2—7岁）

出现了语言、符号，具有表象思维的能力，但缺乏可逆性。

 具体运算阶段（7—12岁）

出现了逻辑思维和零散的可逆性，但一般还只能对具体事物或形象进行运算。

 形式运算阶段（12—14、15岁） 能进行抽象的逻辑思维和命题运算。

4.2.1 儿童数学概念的发展

一、小学数学概念学习的基本分析

概念是思维的基本形式之一，是事物的本质属性在人脑中的反映。

数学概念就是揭示现实世界的数量关系（形式）和空间形式（关系）的本质属性的思维形式。

数学概念的呈现方式有不定义方式和定义方式。不定义方式有直接运用、语言描述、图形描述、枚举；定义方式有集合定义、发生定义、外延定义、约定式定义、关系定义、公理化定义。

 反映事物与对象的本质属性的总和称之为概念的内涵，它是概念的质的反映，表示的是概念反映的是什么样的事物。

 反映事物与对象本质属性的类的总和称之为概念的外延，它是概念的量的反映，表示的是概念反映的是哪些事物。

 概念的内涵与外延具有反向对应的关系。也就是说，如果我们扩大内涵，则会缩小其外延；反之，如果我们扩大外延，就会缩小其内涵。

 概念通过抽象而获得，抽象是揭示概念内涵的思维方法。

二、儿童形成数学概念的主要途径

儿童数学概念的形成主要是通过概念形成和概念同化这两个基本的途径来实现的。

 概念形成是指在教学条件下，从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。

概念形成的主要过程为：感知具体对象阶段、尝试建立表象阶段、抽象本质属性阶段、符号表征阶段、概念的运用阶段。

 概念同化就是借助学生已有的概念知识，改变其内涵（或外延），从而建立新概念，再通过对比、分析、推理等方法，辨析新概念与原有概念的异同，从而掌握新概念。

概念同化一般要经历以下几个阶段：

第一，唤起认知结构中的相关概念阶段；

第二，进一步抽象形成新概念阶段； 第三，新旧概念联系阶段；

第四，具体运用并强化概念理解阶段。

三、儿童数学概念的发展

 从获得并建立初级概念为主发展到逐步理解并建立二级概念；

初级概念：从实际经验和实物出发直接构建的。（如低年级学习立体图形）

二级概念：把握概念的属性和本质特征。（如高年级学习立体图形）

 概念的获得以“概念形成”为主逐渐发展到“概念同化”；

 从认识概念的自身属性逐步发展到理解概念间的联系;

 数学概念的建立受经验的干扰逐渐减弱。

4.2.2 儿童数学技能的发展

一、小学数学技能学习的基本分析

技能是顺利完成某种任务的一种动作或心智活动方式。它是一种接近自动化的、复杂而较为完善的动作系统，是通过有目的、有计划的练习而形成的。

数学技能是在数学学习过程中通过练习而形成的心智或动作的活动方式，它往往表现为完成数学任务所需要的动作的协调和自动化。

这种协调的动作和自动化的活动方式是在已有数学知识经验基础上经过反复练习而形成的。如学习两位数的乘法计算技能，就是在掌握其运算法则的基础上通过多次的实际计算而形成的。

数学技能按形式来分，可分为外部动作技能和内部心智技能两大类。数学技能的学习，主要是指数学心智技能的学习和数学动作技能的学习。

数学动作技能是指实现数学任务活动方式的动作主要是通过外部机体运动或操作去完成的技能。它是一种由各个局部动作按照一定的程序连贯而成的外部操作活动方式。如学生在利用测量工具测量角的度数、测量物体的长度，用作图工具画几何图形等活动中所形成的技能就是这种外部动作技能。

动作技能具有有别于心智技能的一些比较明显的特点：

一是外显性，即动作技能是一种外显的活动方式；

二是客观性，是指动作技能活动的对象是物质性的客体或肌肉；

三是非简约性，就动作的结构而言，动作技能的每个动作都必须实施，不能省略和合并，是一种展开性的活动程序。

如，用圆规画圆，确定半径、确定圆心、圆规一脚绕圆心旋转一周等步骤，既不能省略也不能合并，必须详尽地展开才能完成圆圆的任务。

数学心智技能。数学心智技能是指顺利完成数学任务的心智活动方式。它是一种借助于内部言语进行的认知活动，包括感知、记忆、思维和想象等心理成分，并且以思维为其主要活动成分。如小学生在口算、笔算、解方程和解答应用题等活动中形成的技能更多地是一些数学心智技能。

数学心智技能作为一种以思维为主要活动成分的认知活动方式，它也有着区别于数学操作技能的个性特征，这些特征主要反映在以下三个方面。

第一，动作对象的观念性。如20以内退位减法的口算，其心智活动的直接对象是“想加法算减法”或其他计算方法的观念，而非某种物质化的客体。

第二，动作实施过程的内隐性。数学心智技能的动作是借助内部言语完成的，其动作的执行是在头脑内部进行的，主体的变化具有很强的内隐性，很难从外部直接观测到。

如口算，我们能够直接了解到的是通过学生的外部语言所反映出来的计算结果，学生计算时的内部心智活动动作是无法看到的。

第三，动作结构的简缩性。数学心智技能的动作不像操作活动那样必须把每一个动作都完整地做出来，也不像外部言语那样对每一个动作都完整地说出来，它的活动过程是一种高度压缩和简化的自动化过程。因此，数学心智技能中的动作成分是可以合并、省略和简化的。如20以内进位加法的口算，学生熟练以后计算时根本没有去意识“看大数”、“想凑数”、“分小数”、“凑十”等动作，整个计算过程被压缩成一种脱口而出的简略性过程。

二、儿童数学技能的发展

依赖结构完美的示范导向发展到依赖对内部意义的理解；

从外部的展开的思维发展到内部的压缩的思维；（如口算，低年级需要掰手指和发出声音算，高年级则不用。外部展开思维指外部操作和语言活动。）

数感和符号感的逐步提高，支持着运算向灵活性、简洁性与多样性发展。

4.2.3 儿童空间知觉能力的发展

1.方位感是逐步建立的；

2.空间概念的建立逐渐从外显特征的把握发展到从本质特征的把握；

3.空间透视能力是逐步增强的。（一维到三维）

儿童认识空间方位的顺序是先“上、下”，再“前、后”，最后是“左、右”。儿童对空间方位的表征至少有三种形式：

（1）自我中心的表征。即用主体自身与目标物之间的位置关系来标明目标物的具体位置。如儿童背靠着物体，说物体在他的后面。

（2）自然标志的表征。即用环境中的其他物体与目标物之间的关系来标明目标物的具体位置，如茶几在沙发的前面，电视在茶几的前面。

（3）去自我中心的表征，利用一些抽象的形式来描述目标物的位置，如用地图来描述目标物的位置。

4.2.4 儿童数学问题解决能力的发展

1.语言表达阶段：不能区分条件和问题，不能意识到自己的思维过程，需要直观的情境支撑。

2.理解结构阶段：理解数学问题的基本结构，掌握初步的数量关系。

3.多级推理能力的形成。

4.符号运算阶段（方程）。

§4.3 儿童数学能力的发展

4.3.1 数学能力概述

（一）能力概述

所谓能力，个体能胜任某种活动所具有的心里特征。

对于能力的结构心理学界有着许多不同的描述：如“二因素说”“多元智能理论”“智力的三元理论”等（见书80页）。

（二）数学能力

数学能力是在数学上所表现出来的一种能力特征，或者说，就是人们在从事数学活动中所表现出来的保证这种活动顺利进行的一种稳定的心理特征。

数学能力分为：

（1）运算能力。包括：数据运算、逻辑运算和操作运算等能力。

（2）空间想象能力。空间想象能力是以良好的空间观念为基础的。

空间观念是指物体的大小、形状、方向、距离及其位置关系等在人脑中留下的表象。

空间想象能力是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。

（3）数学观察能力。指对符号、字母、数字或文字等所表示的数学关系、命题、图象或图形结构等迅速知觉的能力。

（4）数学记忆能力。通常是指对概括化、形式化的符号、命题、性质以及空间逻辑、逻辑模式等识记与再现的能力。

（5）数学思维能力。是对已有数学信息运用数学推理的思考方式进行思维的能力。4.3.2 儿童数学能力发展的差异性

（一）儿童数学能力的层次性差异

1.完善型

2.一般型

3.缺陷型

（二）儿童数学能力的非层次性差异

1.具有个性特征的数学能力类型。

2.在结构类型中所表现出的差异性；

3.在数学学习风格中所表现出的差异。

六、思考题

1、小学生数学学习有哪些特点？

2、儿童数学认知的基本方式是什么？

3、举例说明数学概念学习的两种基本方式：概念形成和概念同化。

4、举例说明数学命题学习的三种基本方式：上位学习、下位学习和并列学习？

5、试述数学技能的形成过程。

6、简述数学问题解决的思维活动过程。