考研数学(数学一)模拟试卷500(题后含答案及解析)

2023年12月2日发(作者：中考数学试卷河南答题卡)

考研数学（数学一）模拟试卷500

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设当 |x|＜1时f(x)＝展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为

A．an＋2＝an＋1＋an．

B．an＋3＝an．

C．an＋4＝an＋2＋an．

D．an＋6＝an．

正确答案：D

2． 当x→0时，下列3个无穷小a＝按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是

A．α，β，γ．

B．γ，β，α．

C．γ，α，β

D．α，γ，β

正确答案：D

3． 设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f＇(x)，则设f＇(x)存在)，则以下结论中不正确的是

A．f＇(x)必以T为周期．

B．必以T为周期．

C．必以T为周期．

D．必以T为周期．

正确答案：B

4． 设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(常数R＞0)的上半部分，方向为上侧．则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

5． 设a1，a2，…，as，是线性方程组的s个互不相同的解向量，则向量组{ai一aj| i≠j，i＝1，2，…，s；j＝1，2，…，s}的秩r取值范围为

A．1或2．

B．2或3．

C．

D．1.

正确答案：A

6． 已知P－1AP＝，α1是A的属于λ1＝1的特征向量，α2，α3是A的属于λ2＝－1的线性无关的特征向量，则矩阵P是

A．(α2，α1，α3)．

B．(α1，α2一α3，α3－α1)．

C．(3α1，α2＋α3，α2一α3)．

D．(2α2，3α3，α1)．

正确答案：C

7． 将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则

A．n＝2时，A与B相互独立．

B．n＝2时，．

C．n＝2时，A与B互不相容．

D．n＝3 时，A与B相互独立．

正确答案：D

8． 设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是

正确答案：C

填空题

9． 设空间曲线L : 其中常数a＞0．则空间第一型曲线积分＝_____________.

正确答案：

解析： 平面x—y＝0经过球面．x2＋y2＋z2＝a2的中心，所以L是一个半径为a的圆周．今建立它的参数方程．将L投影到xOz平面上去，为此，消去y，得所以L在xOz平面上的投影是一个椭圆．引入此椭圆的参数方程：x＝，0≤t≤2π由于L在平面x—y＝0上，所以L的参数方程为x＝于是ds＝所以

10． 设an＝x(1－x)n－1dx,则＝_____________.

正确答案：1—21n 2

解析：an＝

11． 微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex＋1)的通解为y＝___________．

正确答案：，其中C1，C2为任意常数

解析：该常系数线性微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2＋2r一3＝(r一1)(r＋3)＝0，特征根r1＝1，r2＝一3，对应的齐次方程的通解为Y＝C1ex＋C2e-3x，其中C1，C2为任意常数．原给非齐次微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex＋1)＝xex＋x，可分解成两个非齐次方程 y2＋2y＇一3y＝xex与y＂＋2y＇一3y＝x，用常用的待定系数法，可求得各自的特解分别为所以原给方程的通解为y＝其中C1，C2为任意常数．或写成如上所填．

12． 设y＝y(x)由方程x＝ 确定，则＝_____________.

正确答案：一2π

解析：将x＝0代入x＝有y＝1．再将所给方程两边对x求导，得1＝于是y＇＝将x＝0，y＝1代入，得＝一2π．

13． 设xi≠0，i＝1，2，3，4．则行列式D＝＝_______________.

正确答案：

解析： 将D的第1行的一l倍加到2，3，4行，再将第i列(i＝2，3，4)的倍加到第1列，得D

14． 已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X＝x条件下Y服从参数为x的指数分布，则E(XY2)＝_____________．

正确答案：21n 2

解析：由题设知所以(X，Y)的联合概率密度为F(x，y)＝所以E(XY2)＝

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 已知△ABC的面积为S，三边长分别为a，b，c．在该三角形内求一点P，使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大．并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值．

正确答案：设点P到a，b，c三边的距离分别为x，y，z．于是＝S，即ax＋by＋cz－2S＝0．令F(x，y，z，λ)＝xyz＋λ(ax＋by＋cz一2S)，由拉格朗日乘数法，令解得当点P在三角形的边上时，xyz＝0．而点P在三角形内部时，xyz＞0．所以当点P在三角形内部时，乘积xyz有最大值．所以当(x，y，z)＝时，xyz最大，最大值为

16． 设有向曲面S：z＝x2＋y2，x≥0，y≥0，z≤1，法向量与z轴正向夹角为钝角．求第二型曲面积分I＝(x＋y)dydz＋zdxdy．

正确答案： 法一 投影法：S在yOz平面上的有向投影为D1＝{(y，z)|y2≤z≤1，y≥0}，法向量向前；S在xOy平面上的有向投影为D2＝{(x，y)|0≤x2＋y2≤1，x≥0，y≥O)，法向量向下．所以I＝法二 先化成第一型曲面积分再计算．有向曲面S：z＝x2＋y2，z≥0，y≥0，z≤1，它与z轴正向夹角为钝角的法向量n＝(2x，2y，一1)，n°＝又因dS＝，S在xOy平面上的投影区域D＝{(x，y)|0≤x2＋y2≤1,x≥0,y≥0)，于是

17． 讨论常数a的值，确定曲线y＝aex与y＝1＋x的公共点的个数．

正确答案：若a＝0，则y＝aex成为y＝0，它与y＝1＋x有且仅有1个交点x0＝一1，y0＝0．以下设a≠0．令f(x)＝aex一1一x，f＇(x)＝aex一1．若a＜0，则f＇(x)＜0．f(－∞)＞0，f(＋∞)＜0，存在唯一公共点．若0＜a＜1，则由f＇(x)＝0得唯一驻点x0＝又f＂(x)＝aex＞0．所以有且仅有2个公共点．若a＞1，则由f＇(x)＝0得唯一驻点x0＝＜0，f(x0)＝Ina＞0，f＂(x)＝aex＞0，最小值f(x0)＝lna＞0，所以无公共点．若a＝1，有f(0)＝0，f＇(0)＝0，f＂(x)＝ex＞0，所以最小值f(0)＝0，存在唯一公共点．

18． 设Ω＝{(x，y，z) | x2＋y2＋z2≤R2，R＞0}，求三重积分I＝[(x一1)2＋(2y一2)2＋(3z＋4)2]dv．

正确答案：将被积函数展开，并注意到Ω关于yOz平面、zOx平面、xOy平面都对称，于是有所以

19． 设函数f(u)有连续的一阶导数，f(0)＝2，且函数z＝满足(x≠0)，求z的表达式．

正确答案：于是原方程化为 (1一u2)f＇(u)＋2f(u)＝u，其中u＝，初始条件为f(0)＝2．解上述方程，得f(u)＝再由初始条件f(0)＝2，求出C＝1．所以f(u)＝于是z＝

设α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T为非零正交向量．A＝试求

20． |A|；

正确答案：α，β正交，αTβ＝＝0|A|

21． An；

正确答案：A＝E＋αβT，An＝x20b因n≥2时，有(αβT)n＝(αβT)(αβT)…(αβT)＝α(βTα)(βTα)…(βTα)βT＝0．故An＝E＋nαβT．

22． A－1.

正确答案：A2＝(E＋αβT)＝E＋2αβT＝2E＋2αβT—E＝2A—E，则

A2一2A＝A(A一2E)＝一E，A(2E—A)＝E，故A可逆，且 A-1＝2E—A＝2E-E一αβT—E一αβT．

(21)设向量组(i)α1＝(2，4，一2)T，α2＝(一l，a一3，1)T，a3＝(2，8，b—1)T；(ii)β1一(2，b＋5，一2)T，β2＝(3，7，a一4)T，β3＝(1，2b十4，一1)i．记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)．问

23． a，b为何值时，A等价于B，a，b为何值时，A和B不等价；

正确答案：A≌B r(A)＝r(B)．将A，B合并，一起作初等行变换，当a≠l且b≠一1时，r(A)＝r(B)＝3，A≌B；当a＝1或b＝一l时，r(A)＝r(B)＝2，A≌

B．所以无论a，b为何值均有A和B等价．

24． a，b为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b为何值时，向量组(i)，(ii)不等价．

正确答案：(i)≌(ii)向量组可以相互表出(α1，α2，α3)x＝β1，(β1，β2，β3)y＝αi(i＝1，2，3)均有解＝r(i)＝r(i|βi)，r(ii)＝r(iii|αi)(i＝1，2，3)＝r(i)＝r(ii)＝r(i|ii)．由(Ⅰ)知，a≠l，b≠一1时，r(i)＝r(ii)＝ r(i|ii)＝3，(i)≌(ii)；a＝1，b＝一1时，r(i)＝r(ii)＝r(i i ii)＝2，(i)≌(ii)；a＝1，b≠一1时，r(i)＝r(ii)＝2≠r(i i ii)＝3，(β1，β2，β3)y＝α3无解，(i)，(ii)不等价；a≠1，b＝一1时，r(i)＝r(ii)＝2≠r(i|ii)＝3，(α1，α2，α3)x＝β2无解，(i)，(ii)不等价．

二维随机变量(X，Y)在(1，1)，(1，一1)，(0，0)三点组成的三角形区域D上服从二维均匀分布，令U＝

25． 讨论U，V是否独立；

正确答案：由题意，知(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)＝求(U，V)的联合分布列，由联合分布列可得，U，V独立．

26． 求U与Y的相关系数．

正确答案：先计算Cov(U，Y)＝E(UY)一EU／EY，其中故Cov(U，Y)＝0，所以．

设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．

27． 求一只器件在时间T0未失效的概率；

正确答案：记T的分布函数为F(t)，则一只器件在t＝0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0)＝F(T0)＝，故在时间T0未失效的概率为P{T>T0)＝1一F(T0)＝．

28． 求λ的最大似然估计.

正确答案：考虑事件A＝{试验直至时间T0为止，有k只器件失效，n-k只未失效}的概率．由于各器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为这就是所求的似然函数．取对数得得＝n－k解得λ的最大似然估计为