2023年12月2日发(作者：中学数学试卷哪种好)
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={(x,y)|x,yN*,yx}，B={(x,y)|x+y=8}，则AIB中元素的个数为
A．2
2．复数1的虚部是
1−3i3
10B．3 C．4 D．6
A．−B．−1
10C．1
104D．3
103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi=1，则下面四种情形中，对应i=1样本的标准差最大的一组是
A．p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
C．p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
B．p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
D．p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
4．Logistic
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln193)
A．60 B．63 C．66 D．69
5．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为
1A．(,0)
41B．(,0)
2C．(1,0) D．(2,0)
1 6．已知向量a，b满足|a|=5，|b|=6，ab=−6，则cosa,a+b=
A．−31
35B．−19
35C．17
35D．19
357．在△ABC中，cosC=A．1
92，AC=4，BC=3，则cosB=
311B． C．
23D．2
38．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
C．6+23 D．4+23 A．6+42
9．已知2tanθ–tan(θ+A．–2
B．4+42
π)=7，则tanθ=
4B．–1 C．1 D．2
10．若直线l与曲线y=x和x2+y2=A．y=2x+1
1都相切，则l的方程为
511B．y=2x+ C．y=x+1
22D．y=11x+
22x2y211．设双曲线C：2−2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且abF1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A．1 B．2 C．4 D．8
12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 x+y0，13．若x，y满足约束条件2x−y0，则z=3x+2y的最大值为__________． x1，214．(x2+)6的展开式中常数项是__________（用数字作答）． x15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________． 2 16．关于函数f（x）=sinx+1有如下四个命题： sinx①f（x）的图像关于y轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线x=④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 设数列{an}满足a1=3，an+1=3an−4n． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 18．（12分） 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） 2 5 6 7 16 10 7 2 25 12 8 0 [0，200] （200，400] （400，600] 对称． 2（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95% 3 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 空气质量好 空气质量不好 人次≤400 P（K2≥k） k 人次>400 0.050 0.010 0.001 n(ad−bc)2附：K=， (a+ b)c + d)(a+c)(b+d) 19．（12分） 23.841 6.635 10.828 ． 如图，在长方体ABCD−A1BC11D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1． （1）证明：点C1在平面AEF内； （2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A−EF−A1的正弦值． 20．（12分） 15x2y2已知椭圆C:，A，B分别为C的左、右顶点． +2=1(0m5)的离心率为25m4（1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积． 21．（12分） 设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点(（1）求b． （2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 4 11，f())处的切线与y轴垂直． 22 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 2x=2−t−t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B2y=2−3t+t两点． （1）求|AB|； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca0； （2）用max{a,b,c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a,b,c}≥34． 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 选择题答案 一、选择题 1．C 5．B 9．D 非选择题答案 二、填空题 13．7 三、解答题 17．解：（1）a2=5,a3=7, 猜想an=2n+1, 由已知可得 an+1−(2n+3)=3(an−(2n+1)]， an−(2n+1)=3(an−1−(2n−1)]， 2．D 6．D 10．D 3．B 7．A 11．A 4．C 8．C 12．A 14．240 15．2 316．②③ …… 5 a2−5=3(a1−3). 因为a1=3，所以an=2n+1. （2）由（1）得2nan=(2n+1)2n，所以 Sn=32+522+723+L+(2n+1)2n. ① 从而 2Sn=322+523+724+L+(2n+1)2n+1.② ①−② 得 −Sn=32+222+223+L+22n−(2n+1)2n+1， 所以Sn=(2n−1)2n+1+2. 18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表： 空气质量等级 概率的估计值 1 0.43 2 0.27 3 0.21 4 0.09 （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1(10020+30035+50045)=350． 100（3）根据所给数据，可得22列联表： 空气质量好 空气质量不好 根据列联表得 人次≤400 33 22 人次>400 37 8 100(338−2237)2K=5.820． 554570302由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． uuuuur19．解：设AB=a，AD=b，AA1=c，如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1−xyz． 6 uuuruuuur2111A(a,b,c)（1）连结C1F，则C1(0,0,0)，，E(a,0,c)，F(0,b,c)，EA=(0,b,c)，C1F=(0,b,c)，3333uuuruuuur得EA=C1F． C1F，即A,E,F,C1四点共面，所以点C1在平面AEF内． 因此EA∥uuuruuuruuuurE(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，AE=(0,−1,−1)，AF=(−2,0,−2)，A1E=(0,−1,2)，（2）由已知得A(2,1,3)，uuuurA1F=(−2,0,1)． 设n1=(x,y,z)为平面AEF的法向量，则 uuurn1AE=0,−y−z=0,r即可取n1=(−1,−1,1)． uuu−2x−2z=0,n1AF=0,设n2为平面A1EF的法向量，则 uuuurnAE121=0,uuuur同理可取n2=(,2,1)． 2n2A1F=0,因为cosn1,n2=n1n2742=−，所以二面角A−EF−A1的正弦值为． |n1||n2|77225−m15，得m2=25， 20．解：（1）由题设可得=1654x2y2+=1. 所以C的方程为252516（2）设P(xP,yP),Q(6,yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0， 由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y=−122(x−5)，所以|BP|=yP1+yQ ，|BQ|=1+yQ，yQ 7 因为|BP|=|BQ|，所以yP=1，将yP=1代入C的方程，解得xP=3或−3. 由直线BP的方程得yQ=2或8. 所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(−3,1),Q2(6,8). 110PQPQA(−5,0)y=x，直线的方程为，点到直线的距离为，故△APQ|PQ|=1011的面11111132积为110510=. 222710130x+，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的9326PQy=|PQ22|=130，直线22的方程为面积为11305130=. 22625. 2综上，△APQ的面积为21．解：（1）f(x)=3x2+b． 31依题意得f()=0，即+b=0. 423故b=−． 43（2）由（1）知f(x)=x−33x+c，f(x)=3x2−. 4411令f(x)=0，解得x=−或x=. 22f(x)与f(x)的情况为： x f(x) f(x) 1(−，−) 2−1 211(−，) 221 21(，+) 2+ 0 c+1 4– 0 c−1 4+ 111因为f(1)=f(−)=c+，所以当c−时，f(x)只有大于1的零点. 244111因为f(−1)=f()=c−，所以当c时，f（x）只有小于–1的零点． 24411由题设可知−c， 44 8 当c=−11时，f(x)只有两个零点−和1. 2411当c=时，f(x)只有两个零点–1和. 42111111−)，x2(−，)，x3(，1)． 当−c时，f(x)有三个等点x1，x2，x3，且x1(−1，442222综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] 解：（1）因为t≠1，由2−t−t2=0得t=−2，所以C与y轴的交点为（0，12）； 由2−3t+t2=0得t=2，所以C与x轴的交点为(−4,0)． 故|AB|=410． （2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为xy+=1，将x=cos，y=sin代入， −412得直线AB的极坐标方程3cos−sin+12=0． 23．[选修4—5：不等式选讲] 解：（1）由题设可知，a，b均不为零，所以 1ab+bc+ca=[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)] 21=−(a2+b2+c2) 20. (b+c)2a3（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为abc=1,a=−(b+c)，所以a>0，b<0，c<0.由bc，可得abc，44故a34，所以max{a,b,c}34. 9
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