2024年3月16日发(作者：数学试卷答题90分技巧)
第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
高一年级初赛（B）卷试题
一、填空题(每小题6分，共36分)
1．生物课老师说：“在我实验室饲养的动物中，
有的动物都是兔子，除了两只以外所
有的都是猫，除了两只以外所有的都
是鹦鹉，你猜我总共养了多少只动
物？”你的答案是
2．按照民行总局规定，乘坐
行李的重量
x(kg)
除了两只以外所
．
A航空公司中经济仓的乘客所托运
与其运费
y
（元）的关系如右图函数所示，请问
购买A航空公司经济仓的乘客可免费携带行李的最大重量为
．
3．某学校食堂备有两种饭盒，大饭盒底面圆直径16cm，小饭盒
底面圆直径12cm，并且这两种饭盒的大小不同，形状相同，已
知小饭盒可盛米饭
两．
4．圆周率
是一个极其驰名的数．古今中外一代又一代的数学
3两，那么大饭盒大约可盛米饭
家为此献出了自己的智慧和劳动．我国南北朝时期的著名数学
家、天文学家祖冲之（公元429年~500年），经过漫长而又繁琐
3．1415926~3．1415927的计算得到一个结论：圆周率的值介于
之间，成为世界上最早把圆周率推算到小数点后7位的科学家，
直到1000年后西方的数学家才取得达到或超过祖冲之的成
就．现在已知
k
是
=3．1415926535…，设函数
n
位数字，则
2006
个
f(n)k
（其中
nN
*
），
．
的小数点后的第
ffLf[f(10)]
14243
5．我们知道，人们对声音有不同的察觉，这与它的强度有关系．声
音的强度用
I
（单位为：
音的强度水平
分贝，
L
1
≥0
W/m
2
）表示，但在实际测量时，常用声
L
1
10lg
I
I
0
（单位为
L
1
表示，它们满足以下关系式：
I
0
110
12
，其中，这是人们平均能听到的最小强度，
是听觉的开端）．随着城市经济的不断发展，噪音污染也日趋严
重，影响环境的同时，也影响了我们日常的学习与生活，
定义在75分贝以上不想听到的声音，它的声音强度
W/m
2
噪音是
I
（单位为：
）的范围为．
6．对于容斥原理，同学们不太陌生吧？其基本思想是先不考虑
重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，
然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无
S
的遗漏，又无重复．下面这道题就用到了容斥原理．已知集合
子集的个数记作
n(A)n(B)n(C)
n(S)
，B
和
C
是三个集合，满足条件，如果
A
n(AUBUC)
和
card(A)card(B)100
，那么
card(AIBIC)
可取的最小值是．
二、选择题(每小题6分，共24分)
7．你爱吃薯片吗？是买大包装的，还是小包装的呢？已知每生
产100克某品牌薯片的原料费和加工费共
用两种包装，其包装费及售价如下表所示：
型号
重量[来
源:学科
网
ZXXK]
包装费
售价
0.5
元
3.00
元
0.7
元
8.40
元
100
克
300
克
1．8元，某食品厂采
小包装大包装
则下列说法中：[来源:]
①买小包装实惠；
②卖小包装盈利多；
③买大包装实惠；
④卖1包大包装比卖3包小包装还要多盈利．
所有正确的说法是（
Ａ．①②Ｂ．②③
）
Ｃ．③Ｄ．③④
[来源:学科网]
8．著名数学家王树禾先生在《数学演义》一书中谈到：直觉是
数学之旅的导游，它往往引导我们发现结论，但我们也要多一点
心眼，提防个别导游会骗人．我们一起来看个问题，一定要小心
哦！一个钟5秒钟敲了6下，那么它敲12下需要（
Ａ．10秒钟
秒钟
Ｂ．11秒钟Ｃ．12秒钟
）
Ｄ．13
9．春蕾数学活动中心的同学们正在讨论一个问题，已知集合
T01，，2，3，4
，
M
a
1
5
a
2
5
2
a
3
5
3
a
4
5
4
a
i
T
，
i
，，，
1234
现将
M
中的元素按
）从大到小的顺序来个“沙场秋点兵”，那么第500个“兵”是（
10
5
2
0
5
3
0
5
4
21
5
2
4
5
3
2
5
4
Ａ．
Ｃ．
5
1
5
Ｂ．
Ｄ．
5
1
5
2
5
2
0
5
3
4
5
4
0
5
2
0
5
3
3
5
4
10．唐僧取经途中发现某地村民有人说实话，
命猪八戒找来
人？”
这4个村民回答如下：
有人说谎话，唐僧
4个村民，“你们是说实话的人，还是说谎话的
第一个人说：“我们4个人都是说谎话的人．”
第二个人说：“我们4个人中只有一个人是说谎话的人．”
第三个人说：“我们4个人之中有两人是说谎的人．”
第四个人说：“我是说实话的人．”
唐僧听后说：“真难辨．”孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人，
你认为孙悟空断定的是哪个人呢？（
Ａ．第一个人
Ｄ．第四个人
三、解答题(每小题15分，共60分)
11．请用你所熟悉的成语分别写出下列各题的对应法则
出相应的函数例子．
（1）
f
f
）
Ｃ．第三个人Ｂ．第二个人
，并举
（整）零；
（2）
f
（木）＝舟；
本
末
黑
白
f
末
本
白
黑
（3）
f
；
；
声色；
（4）
（5）
（6）
f
f
（声色）
（败）胜．
因为听大人说，
11个女孩与
9n
n
12．大雨过后，喜欢采蘑菇的孩子们也大大高兴，
雨水不只滋润树木，还可以滋生蘑菇，一场雨后，
个男孩结伴去采蘑菇，所有这些孩子共采到
且每个孩子采到的个数都相同．
多还是男孩多．
n
2
2
个蘑菇，并
试确定，采蘑菇的孩子中是女孩
13．“空中生灵”——大雁拥有令人敬佩的团队精神．入秋时，
雁群以25公里
/
小时的速度向南迁徙，在距目的地
有两只大雁因为体力不支而掉队，
33公里时，
雁群决定留下领头雁来照看并
带着这两只病雁继续前进．已知领头雁带着一只病雁飞行的速度
为20公里/小时（最多能带一只），而病雁单独飞行的速度为
公里/小时．请问：这三只大雁可在
给出你的理由．
14．同学们参加过英语沙龙活动吗？此项活动不仅可以提高我们
的口语水平，同时还可以提高我们学英语的兴趣．在一次英语沙
3小时内同时到达目的地吗？
5
龙聚会中，有7个同学组成一组，在这一组中，其中每一位同学
在其余6位中都至少有3位校友，问：这7位学生的关系怎样？
试给出结论并证明．
四、开放题（本题30分）
此类玩具的结构中深藏着
同学们不妨用铁丝做一
15．九连环在中国已有两千年的历史，
逻辑上的巧妙联系．现有以下三种环（
下），供大家用数学的眼光，从数学的角度加以把玩、鉴赏．图
1是“岐中易”，目标是把环Ｈ从套中取出；图
易”，目标仍是把H环完全解脱出来；图
将柄Ａ从重重环扣中取出，与寿身完全分开．
2是“二阶岐中
3是“寿环”，目标是
1．请写出以上三种环的解开步骤．
2．请同学们反思，你的解题思路是如何形成的？由简到繁，由
易到难的转换策略是如何具体运用的？
3．此类解环的问题还有很多，请同学们自己列举出几个，并写
出他们的解法．
第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
高一年级初赛（B）卷试题答案
一、1．3
5．［
10
4.5
2．20kg
,+∞) 6．97
3．7．1 4．1
提示：1．实验室养了三只动物：一只兔子，一只猫和一只鹦鹉，
除了两只以外所有的都是兔子，
了两只以外所有的都是鹦鹉．
令
x，y，z
分别为兔子、猫、鹦鹉的只数，
可以写出下列四个联立方程：
n
n
n
为动物的总数，我们
除了两只以外所有的都是猫，除
x2
y2
n
n
z2
xyz
解此联立方程有许多标准方法．
出
xyz
．由
3nxyz
显然，根据前三个方程式，可得
得到
n3
，因
x23
，
6
减去第四个方程，
x
值求得．
33
所以
x1
．全部答案可由
3．设大饭盒盛米饭
4．经计算
f(10)
x
两，则
3:43:x
，可得
x
9
，
f
7.1
f(9)3
5
，
f[f(10)]f(5)
f[f(10)]
f
，
1
．
fff(f(10))f(3)1
1
，以后不管有多少个
．
，结果总是
f(1)
所以
ffLf[f(10)]
14243
2006
个
6．由于包含
n(A)n(B)n(C)
k
个元素的集合有
2
个子集，由
k
n(AUBUC)
，得
2
100
2
100
2
card(C)
2
cord(AUBUC)
，即
12
card(C)101
2
card(AUBUC)101
．[来源:学*科*
网Z*X*X*K]
易知
12
card(C)101
是大于1且为2的方幂的数，推知
102
．[来源:]
card(AIBIC)card(A)card(B)
card(C)101
．从
而
card(AUBUC)
由容斥原理，有
card(AUB)
card(C)card(AUBUC)
card(BUC)card(CUA)
．
A)≤102
又
card(AUB)
，
card(BUC)
，
card(CU
则
card(AI
，
97
．
BIC)≥102102102
下面的例子说明97是可以取到的：
A={1，2，…，97，98，99，100}，
B={1，2，…，97，98，101，102}，
C={1，2，…，97，99，100，101，102}．
故
card(AIBIC)
的最小可能值是97．
9．Ａ
5
4
二、7．Ｄ8．Ｂ10．Ｄ
提示：9．先将
M
中每个数乘以
则
N5a
1
5a
2
32
，组成集合
N
．
(a
1
a
2
a
3
a
4
)
5
a
i
T，i1，2，3，45a
3
a
4
a
i
T，i1，2，3，4
．
其中
(a
1
a
2
a
3
a
4
)
5
表示四位数，
(a
1
a
2
a
3
a
4
)
是
32
5进制数．
．
500个数是
，便得
M
中的数
则
N
中最大数为
在十进制中，从
(4444)
5
=45+45+45+4=624
624起从大到小顺序排列的第
1255
3
624-499=125，而
1
5
0
5
0
5
0
5
．
(1000)
5
将此数除以
5
4
10．第四个人是说实话的人．由第一个人的回答可以判断：4人
之中一定有说实话的人（若4人都是说谎的人，那么谁也不会说
“我们4人全是说谎的人”），所以第一个人是说谎的人．由第二、
三人的回答可以判断：第二人是说谎的（因为他的话如果是实话，
则第二、三和第四人应该是说实话的，
一致，但实际上他们的回答是矛盾的，
话）．
下面来看第三人，如果第三人是说谎的，则由第一个判断可知第
四人是诚实的．如果第三人说的是真话，那么由他的回答可以断
定第三、四两人是说实话的．既无论第三人是说实话还是说谎话，
都能推出第四人说实话．
三、11．解：（1）化整为零（2）木已成舟
（3）本末倒置（4）颠倒黑白
（5）不动声色（6）反败为胜
函数例子略．
12．解：由于各个孩子采到的蘑菇数目一样多．
能整除蘑菇总数
n
2
即第二和第三人的回答应
故第二人的话不可能是实
故孩子的总数
n11
9n2(n11)(n2)20
，
从而
n11
整除20．由于
n1111
，故
n
只能是9．因此，女孩比
男孩多．
13．解：设两只病雁分别为病雁甲、病雁乙，病雁乙先单独飞行，
x
领头雁带着病雁甲飞行了
x
x
公里，用了
20
小时，并且超过了病雁
乙
20
(205)
3
4
x
（公里）．这时，领头雁让病雁甲单独飞行，自
3
己回去接病雁乙．到遇到病雁乙时用了
xx
40
4
x(255)
1
40
x
（小时），
病雁乙遇到领头雁时单独飞行了
目的地还有
33
3
8
x
20
5
3
8
x
（公里），这时离
（公里）．如果领头雁带病雁乙飞行的路程与
x33
3
8
x
带病雁甲飞行的路程相等，则，解得
x24
（公里）．这
x24
20
9
5
3
x33
5
样，在路上共计用的时间为
1
20
x
1
40
x
1
20
x
1
8
243
20
（小时）或
3小时内同时（小时），即三只大雁可在
到达目的地．
14．解：7人都是同学．假设有
有3个是A的同学，还至少有
和3个B的同学中至少有
A，B
不是同学，其余5人中至少
3个是B的同学，3个A的同学
1个是同一个人，A，B和同一个人是
同学，这与A，B不是同学的假设矛盾，所以任何两人都是同学．
四、15．解：（1）“歧中易”解法：I，将
H
引入
B
；II，
H
从
C
中
穿过；III，
H
退回，镲即取出，套上过程：
（2）仿照I；
（3）寿环3解法：将钗顶顺次穿过2，1，4，3环，套过5，6，
III－II－I；
退出3，套过6，5，3，退出1，2，穿过1，套过5，6，3，穿
过3，套进6，5，退出3，穿进4，3，套过5，6，退出3，4，1，
穿进4，3，套过6，5，退出3，4，套过6，5，退出3，再套过
6，5，钗便取下，套上过程相反．
第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
高一年级初赛（B）卷试题
一、填空题(每小题6分，共36分)
第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
高一年级初赛（B）卷试题
一、填空题(每小题6分，共36分)
1．生物课老师说：“在我实验室饲养的动物中，除了两只以外所有的动物都是兔子，除了两
只以外所有的都是猫，
答案是
除了两只以外所有的都是鹦鹉，
．
A航空公司中经济仓的
你猜我总共养了多少只动物？”你的
2．按照民行总局规定，乘坐
乘客所托运行李的重量
x(kg)
与其运费
y
（元）的关
A航空公司经济仓的乘
．
系如右图函数所示，请问购买
客可免费携带行李的最大重量为
3．某学校食堂备有两种饭盒，大饭盒底面圆直径
两种饭盒的大小不同，形状相同，已知小饭盒可盛米饭
两．
4．圆周率
16cm，小饭盒底面圆直径12cm，并且这
3两，那么大饭盒大约可盛米饭
是一个极其驰名的数．古今中外一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和
429年~500年），经过漫长而
3．1415926~3．1415927之间，成为世界上
1000年后西方的数学家才取得达到或超
劳动．我国南北朝时期的著名数学家、天文学家祖冲之（公元
又繁琐的计算得到一个结论：圆周率的值介于
最早把圆周率推算到小数点后
过祖冲之的成就．现在已知
的小数点后的第
7位的科学家，直到
=3．1415926535…，设函数
f(n)k
（其中
n
．
N
），
k
是
*
n
位数字，则
ffLf[f(10)]
14243
2006
个
5．我们知道，人们对声音有不同的察觉，这与它的强度有关系．声音的强度用
I
（单位为：
W/m
）表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平
L
1
10lg
I
I
0
（单位为分贝，
L
1
≥0
，其中
I
0
2
L
1
表示，它们满足以下关系式：
12
110
，这是人们平均能听到的最小强度，
是听觉的开端）．随着城市经济的不断发展，噪音污染也日趋严重，影响环境的同时，也影
响了我们日常的学习与生活，噪音是定义在
（单位为：
W/m
）的范围为
2
75分贝以上不想听到的声音，它的声音强度
．
I
6．对于容斥原理，同学们不太陌生吧？其基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内
容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的
结果既无遗漏，又无重复．下面这道题就用到了容斥原理．已知集合
S
的子集的个数记作
n(C)n(AUBUC)
和
．
n(S)
，如果
A，B
和
C
是三个集合，满足
card(A)card(B)
条件
n(A)n(B)
100
，那么
card(AIBIC)
可取的最小值是
二、选择题(每小题6分，共24分)
7．你爱吃薯片吗？是买大包装的，还是小包装的呢？已知每生产
费和加工费共
型号
重量
包装费
售价
则下列说法中：
①买小包装实惠；
②卖小包装盈利多；
③买大包装实惠；
④卖1包大包装比卖3包小包装还要多盈利．
所有正确的说法是（
Ａ．①②
）
Ｂ．②③Ｃ．③Ｄ．③④
小包装大包装
100克某品牌薯片的原料
1．8元，某食品厂采用两种包装，其包装费及售价如下表所示：
100
克
0.5
元
3.00
元
300
克
0.7
元
8.40
元
8．著名数学家王树禾先生在《数学演义》一书中谈到：直觉是数学之旅的导游，它往往引
导我们发现结论，但我们也要多一点心眼，提防个别导游会骗人．我们一起来看个问题，一
定要小心哦！一个钟
Ａ．10秒钟
5秒钟敲了6下，那么它敲
Ｂ．11秒钟
12下需要（）
Ｄ．13秒钟Ｃ．12秒钟
9．春蕾数学活动中心的同学们正在讨论一个问题，已知集合
T01，，2，3，4
，
M
a
1
5
a
2
5
2
a
3
5
3
a
4
5
4
a
i
T
，
i
，，，
1234
现将
M
中的元素按从大到小的顺序来个“沙
）
Ｂ．
Ｄ．
场秋点兵”，那么第500个“兵”是（
Ａ．
Ｃ．
1
5
1
5
0
5
2
5
2
0
5
0
5
3
0
5
4
5
4
2
5
1
5
1
5
0
5
2
4
5
0
5
3
2
5
3
5
4
234234
10．唐僧取经途中发现某地村民有人说实话，
们是说实话的人，还是说谎话的人？”
这4个村民回答如下：
有人说谎话，唐僧命猪八戒找来4个村民，“你
第一个人说：“我们4个人都是说谎话的人．”
第二个人说：“我们4个人中只有一个人是说谎话的人．
第三个人说：“我们4个人之中有两人是说谎的人．
第四个人说：“我是说实话的人．”
唐僧听后说：“真难辨．”孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人，
个人呢？（）
你认为孙悟空断定的是哪
”
”
Ａ．第一个人Ｂ．第二个人Ｃ．第三个人Ｄ．第四个人
三、解答题(每小题15分，共60分)
11．请用你所熟悉的成语分别写出下列各题的对应法则
（1）
f
（整）零；
f
，并举出相应的函数例子．
（2）
f
（木）＝舟；
（3）
f
本
末
黑
白
末
；
本
白
黑
色）
胜．
；（4）
f
（5）
f
（声
（6）
f
（败）
声色；
12．大雨过后，喜欢采蘑菇的孩子们也大大高兴，因为听大人说，雨水不只滋润树木，还可
以滋生蘑菇，一场雨后，11个女孩与
n
个男孩结伴去采蘑菇，所有这些孩子共采到
n
2
9n2
个蘑菇，并且每个孩子采到的个数都相同．试确定，采蘑菇的孩子中是女孩多
还是男孩多．
13．“空中生灵”——大雁拥有令人敬佩的团队精神．入秋时，雁群以25公里
/
小时的速度
向南迁徙，在距目的地33公里时，有两只大雁因为体力不支而掉队，雁群决定留下领头雁
来照看并带着这两只病雁继续前进．已知领头雁带着一只病雁飞行的速度为20公里/小时
3小时内（最多能带一只），而病雁单独飞行的速度为
同时到达目的地吗？给出你的理由．
14．同学们参加过英语沙龙活动吗？此项活动不仅可以提高我们的口语水平，
高我们学英语的兴趣．在一次英语沙龙聚会中，有
一位同学在其余
四、开放题（本题
6位中都至少有
30分）
此类玩具的结构中深藏着逻辑上的巧妙联系．现有以
H
同时还可以提
7个同学组成一组，在这一组中，其中每
5公里/小时．请问：这三只大雁可在
3位校友，问：这7位学生的关系怎样？试给出结论并证明．
15．九连环在中国已有两千年的历史，
下三种环（同学们不妨用铁丝做一下），供大家用数学的眼光，从数学的角度加以把玩、鉴
赏．图1是“岐中易”，目标是把环Ｈ从套中取出；图
环完全解脱出来；图
2是“二阶岐中易”，目标仍是把
3是“寿环”，目标是将柄Ａ从重重环扣中取出，与寿身完全分开．
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