数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编

2024年3月18日发(作者：高考数学试卷甲卷难吗)

数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编

部分习题参考解答

P.4 习题

1．设a为有理数，x为无理数，证明：

（1）a + x是无理数； （2）当

a0

时，ax 是无理数。

证明 （1）（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x –

a 是有理数。这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是

x

ax是无理数。

3．设

a,bR

，证明：若对任何正数ε有

|ab|



，则 a = b 。

证明 由题设，对任何正数ε有

|ab|



0

，再由教材P.3 例2，可得

|ab|0

，

于是

|ab|0

，从而 a = b 。

另证 （反证）假设

|ab|0

，由实数的稠密性，存在 r 使得

|ab|r0

。这

与题设“对任何正数ε有

|ab|



”矛盾，于是

|ab|0

，从而 a = b 。

5．证明：对任何

xR

有

（1）

|x1||x2|1

； （2）

|x1||x2||x3|2

证明 （1）

1|(x1)(x2)||x1||x2|

（2）因为

2|x3||2(x3)||x1||x1||x2|

，

所以

|x1||x2||x3|2

6．设

a,b,cR

证明

|



ax

是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故

a

a

2

b

2

a

2

c

2

||bc|

证明 建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA

的长度是

ab

，OC的长度是

ac

，

0

2222

y

b

A(a,b)

c

C(a,c)

x

AC的长度为

|bc|

。因为三角形两边的差

大于第三边，所以有

|a

2

b

2

a

2

c

2

||bc|

7．设

x0,b0,ab

，证明

axa

介于1与之间。

bxb

证明 因为

axab|ab|a

11

，

bxbxbb

所以

axa(ba)x|ab|a

1

bxbb(bx)bb

axa

介于1与之间。

bxb

8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则

证明 （反证）假设

22

p

是无理数。

n

，其中m、n

m

p

为有理数，则存在正整数 m、n使得

p

互素。于是

mpn

，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，

使得

nkp

。于是

mpkp

，

mkp

，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数

p 。这与“m、n互素”矛盾。所以

22222

p

是无理数。

P.9 习题

2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义：

（1）S无上界；

若

M

，

x

0

S

，使得

x

0

M

，则称S无上界。

（请与S有上界的定义相比较：若

M

，使得

xS

，有

xM

，则称S有上界）

（2）S无界。

若

M0

，

x

0

S

，使得

|x

0

|M

，则称S无界。

（请与S有界的定义相比较：若

M0

，使得

xS

，有

|x|M

，则称S有界）

1