八年级数学竞赛试题卷(含答案)整理

2024年1月11日发(作者：历年中考湖州数学试卷)

第二学期八年级数学竞赛试题卷

分值：120分 测试时间：120分钟

、选择题（6X4=24\'）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在 卜面的表格内。

1、已知m = 1 + J2 , n = 1

-侦2，则代数式m2 + n2 - 3mn的值为（

A.9 C.3

D. 5

2、已知关于x的方程（a— 1）x2— 2x+1=0有实数根，则a的取值范围是（

A. a<2 B,a>2

C.a <2 且 a乒 1

D.a< — 2

）

3、足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成,

如图所示黑色皮块是正五边形,

白色皮块是正六边形.若

一个球上共有黑白皮块 32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（

A . 16 块、16 块 B . 8 块、24 块 C . 20 块、12 块 D . 12 块、20 块

4、如图，等腰直角三角形 ABC中，/ ACB = 90。，在斜边 AB上取两点 M、N,使Z MCN = 45。.设MN =

x, BN= n, AM = m,则以x、m、n为边的三角形的形状为（

A.锐角三角形

C.等腰直角三角形

B.直角三角形

D.随x、m、n的值而定

5个类别的情况如下图所示,5、某人才市场2012年下半年应聘和招聘人数排名前

（第8题）

若用同一类别中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该类别的就业情况，则根据图中信息，下列对

就业形势的判断一定正确的是（

A.医学类好于营销类； B.建筑类好于法律类； C.外语类最紧张；D.金融类好于计算机类

6、在面积为15的平行四边形 ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线 CD于点

F,若 AB = 5, BC= 6,贝U CE+ CF 的值为(

A .11+

峥 B. 11-峥 ° 11+ ¥■或 11-捋，D . 11+¥或

1+善

)

、填空题(10X5=50)

7、 为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从鱼塘捕捞 100条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间，待有

200条鱼，其中有24条有标记，第二次捕 标记的鱼完全混合于鱼群后，又捕捞了两次，第一次捕捞了

捞了 220条，其中有18条有标记估计鱼塘中鱼的数量为 条.

8、 有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

② 已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；

③ 已知x1、x2中关于x的方程2x2

+ px+ P + 1 = 0的两根，贝U

x1

+ x2

+ x1

x

2的值是负数；

④ 某细菌每半小时分裂一次(每个分裂两个)，则经过 2小时它由1个分裂为16个；

⑤ 若方程x2+mx-1=0中m》0,则方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大

其中正确的命题是

9、在纸上画一个正六边形，在六边形外画一条直线 a,从六个顶点分别向直线 a引垂线可以得到k

个不同的垂足，那么k的值在3, 4, 5, 6这四个数中不可能取得的是

10、如图所示，△ ABC中，AD ±BC于D，点E、F、G 分别是 AB、BD、

3

的中点，EG=—EF,EF+AD=12,则^ ABC的面积为 .

2

11、 商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价

措施.经调查发现，每件商品每降价

时，商场日盈利可达到 2100元。

1元，商场平均每天可多售出 2件.每件商品降价 元

1

(n 1), n nn 1

1 .....

1 1

12、 已知对于正整数 n , 有 ----------------- = ---- ； --- =-j= -,右某个正整数 k 7两足

. n . n 1

1 1 1

=2 则 _

k2J1+1

曲

3/2+2J3 4后+3质

13、已知a、b为有理数，

（k+1）JK+kV^i 3,、-

m、n分别表示

5 - J7的整数部分和小数部分，且

2a b = __________

14、 如图，在四边形 ABCD中，E、F分别是两组对边延长线的交点，

已知Z ABC=88° , / ADC=72° ,则Z EGF的度数为 度.

15、 如图，P为平行四边形 ABCD内一点，过点 P分别作AB、AD

的平行线交平行四边形 E、F、G、H四点，若SAHPE=3,

SPFCG=5,

贝U

SA PBD= _______________

EG、FG 分别平分/ AEB, Z AFD ,

16、 以^ABC的三个顶点和它内部的 m个点，共(m+3)个顶点可把

的小三角形。以 n边形的n个顶点和它内部的 m个点，共(m+n)个点为顶点，可把原 n边形分割成

个互不重叠的小三角形？

---------- £

三、解答题

(10 + 12+12\'+12\',共 46\')

17、如果一个数等于四个连续自然数的积与

(1) 直接判断25是不是智慧数

(2) 请找出1000以内的智慧数

(3) 判断 智慧数”是不是个平方数，请说明理由。

(4) 连续两个 智慧数”的积是不是 智慧数”，为什么

1的和，那么就把这个数称为 智慧数

18、(1)计算凸九边形所有对角线的条数以及由凸九边形的顶点所构成的三角形的个数。

(2) 在凸九边形每个顶点处任意写一个自然数，以这凸九边形的顶点为顶点的三角形中，若三个顶点 所标三个数之和为奇数，则称三角形为奇三角形；三个数之和为偶数，则称为偶三角形。试证明：奇三角 形个数必为偶数。

19、将一副三角尺如图拼接：含 30。角的三角尺(△ ABC)的长直角边与含 45。角的三角尺(△ ACD)

的斜边恰好重合.已知 AB = 2 J3 , P是AC上的一个动点.

(1) 当点P运动到/ ABC的平分线上时，连接 DP、BP,求CP、DP的长；

(2) 当点P在运动过程中出现 PD = BC时，求此时/ PDA的度数；

(3) 当点P运动到什么位置时，以 D, P, B, Q为顶点的平行四边形的顶点 Q恰好在边BC上？求出 此时CDPBQ的面积.

(第19题)

(备用)

20、设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2+2(m- 2)x+ m2 - 3m+ 3= 0有两个不相等的实数

2 2

根x,x2。(1)若x2+ x22 = 6 ,求m的值；(2)求

mX1 +

的最大值。

1- X1

1- x

2

参考答案

、选择题（每小题5分，共30分）

题号

答案

1

C

2

A

3

C

4

B

5

B

6

D

、填空题（每小题5分，共50分）

7.

11 .

15.

1000

20

1

8.

12.

16.

④⑤

8

9.

13.

5

2.5

10.

14.

48

100°

2m+1; 2m+n-2

三、解答题 （10 + 12+12\'+12\',共 46 分）

17、

(10)

解:

(1)

(2)

2? 3 1 = 1 ,

-1是智慧数

0创1

1创2 3? 4 1 = :25,

... 25是智慧数

,121是智慧数

2创3 4? 5 1 = =121

,361是智慧数

3创4 5? 6 1 = =361

,841是智慧数

4创5

6? 7 1 = =841

5创6

7? 8

1 = =1681 > 1000

••• 1000以内有5个 智慧数”，分别是1,25,121,361,841。

(3)

设这个智慧数是n(n+1)(n+ 2)(n+3)+1,

n(n + 1)( n + 2)(n +3)+1

=n(n+ 3)(n+ 1)(n+ 2) + 1

=(n + 3n)(n + 3n+ 2)+ 1

=(n2+ 3n+ 1)2

智慧数是平方数。

(4) 是

设连续两个智慧数分别为

(n2 + 3n+ 1)2, [(n+ 1)2 + 3(n+ 1) + 1]2

22

22

••- [(n+ 1)2+ 3(n+ 1) + 1]2 = (n2+ 5n+ 5)2

••- (n9

2+ 3n+ 1)2qn2

2 5n+ 5)2

2

2

=[(n2 + 3n+ 1)?(n2 5n+ 5)]2

=(n4 + 8n3 + 21n2 + 20n+ 5)2

=[(n2 + 4n+ 1)2

2 + 3(n2

2 + 4n+ 1) + 1]2

2

2

.••连续两个 智慧数”的积是 智慧数”。

18、(12)

解：(1) 27条对角线，84个三角形。

(2)设A为一个顶点，即含点 A的三角形共有28个，即每个顶点均在 28个三角形中。

当把所有84个三角形顶点所标自然数都相加后(记和为 S),每个顶点上的数均加了 28次，故 若奇三角形的个数为奇数， 则它们顶点所标自然数总和

Si为奇数，而偶三角形顶点所标自然数总和 偶数，又 手§ + &=奇数，矛盾，故奇三角形的个数必为偶数。

19、(12)

解：在 RtAABC 中，AB= 2^3, Z BAC = 30°, . . BC = V3 , AC = 3.

3

(1)如图(1),作 DF ± AC, RtA ACD 中，AD = CD, . . DF = AF = CF =-.

2

. • BP 平分Z ABC, . PBC = 30°, . . CP = 1, PF =

1 , . . DP =

JPF

2 + DF

2

= ^10

2 2

(3) 当P点位置如图(2)所示时，根据(1)中结论，DF = - , ZADF = 45°,

2

一一一 - DF 3 , —一

又 PD = BC = V3 , ••-——=一 ,•••/ PDF = 30 .

•.•Z PDA = Z ADF-Z PDF = 15°.S为偶数。

当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得Z

PDF = 30° .

Z PDA = Z ADF + Z PDF = 75°.

(3)

(3) CP =-.

3

2

在 CDPB Q 中，BC// DP, .ZACB = 90°, .. DP ± AC.

根据(1)中结论可知，DP = CP = — , •■- SCDPBQ =

DP CP =—

2 4

20、（12）

解：因为方程有两个不相等的实数根，所以

△二

4（% - 2沪 一

4（幽\'一

3m + 3）二 一4幽

+ 4 > 0 ,

m < 1。根据题设，有—1《m < 1。

(1)因为| | ,上)一

二

2m2 - 10m +10,二

2m - 10m +10 = 6 ,

2即 + 2

D…\'

1 A 1

2

由于—林<1,故淅

袒y（i-羽）+y（i-叫）】_时y ■*■对-叫易履1

+此）—

（l-xl）（l-x2）

_ m[(2m - 10m +10) +

{m - 3m + 3)(2m — 4)] _

m(Zm — 8m + 8m - 2) _

二 ____________________________ __________________________ 二 _____________________________ ~

2232(m -3m +3) + (2m -4) + 1

2m.(m - Dim - 3m +1) …)- 八

2二 ---- ----- - --------------- 二

2(m -3m +1) °

22m -m

2设

y

递

减的，所以当m(m - 1)

3 $

二

2(秫\'一

3法

+1)二

2(秫一一沪 一 一(T M 秫 <

2 2

2 2

欢二一1时，y取最大值10。故——+ ——的最大值为10。

1 -

] 一 久2

■/ y在-1 m < 1 上是1)

<