中考数学模拟考试卷(附含答案解析)

2023年12月3日发(作者：2014国高考数学试卷1)

中考数学模拟考试卷（附含答案解析）

（满分：120分 ；考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共 10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。

1．﹣|﹣2021|等于（ ）

A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．

2．下列计算正确的是（ ）

A．2a+3b＝5ab

C．a3•a2＝a5

B．（﹣a2）3＝a6

D．（a+b）2＝a2+b2

3．如图，直线a∥b，点A在直线b上，∠BAC＝108°，∠BAC的两边与直线a分别交于B、C两点．若∠1＝42°，则∠2的大小为（ ）

A．30° B．38° C．52° D．72°

4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°．若边AC的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，连接CD，则∠DCB＝（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

5．一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）

A．摸到红球是必然事件

B．摸到黄球是不可能事件

C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等

D．摸到红球比摸到黄球的可能性小

6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；第 1 页

共 33 页

④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）

A．﹣4和﹣3之间

B．3和4之间 C．﹣5和﹣4之间 D．4和5之间

8．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）

A．C．

B．D．

9．如图，在边长为4的正方形ABCD中剪去一个边长为2的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿多边形的边以A→D→E→F→G→B的路线匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的图象大致为（ ）

A． B．

第 2 页

共 33 页 C． D．

10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝•AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝中，正确的个数是（ ）

；③S平行四边形ABCD＝AB

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题，每小题3分，15-18题，每小题4分，共28分，只要求填写最后结果。

11．今年“五一”假日全国共接待国内游客1.47亿人次．将数1.47亿用科学记数法表示的结果是 ．

12．将3x2y﹣27y因式分解为 ．

13．如图，已知两点A（4，4），B（1，2），若将线段AB绕B点逆时针旋转90°后得到线段BA′，则点A′的坐标为 ．

14．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是 （填序号）

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函第 3 页

共 33 页 数的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为 ．

16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

17．在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．

18．如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y＝x和y＝x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A8B8C8的面积为 ．

第 4 页

共 33 页

三．解答题：本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

19．（本小题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）

（1）计算：

（2）先化简，再求值：求值．

20．（本题满分8分）

，在下列数﹣2，﹣1，0，1中，选你喜欢的一个数代入如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD、AB的延长线相交于点G．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若CF＝1，∠ACB＝60°，求图中阴影部分的面积．

21．（本题满分8分）

某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

第 5 页

共 33 页

22．（本题满分8分）

今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整．

（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，B等级所占扇形的圆心角度数为 ．

（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

23．（本题满分8分）

某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）

24．（本题满分10分）

第 6 页

共 33 页 如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．

（1）求抛物线L的函数表达式；

（2）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（本题满分12分）

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．

（1）如图1，求证：AM＝CE；

（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；

（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点N，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．

参考答案与解析

第 7 页

共 33 页 一．选择题（共10小题）

1．﹣|﹣2021|等于（ ）

A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．

【考点】相反数；绝对值．

【分析】根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”去绝对值即可．

【解答】解：由绝对值的性质可知，|﹣2021|＝2021；

∴﹣|﹣2021|＝﹣2021；

故选：A．

【点评】本题主要考查绝对值的性质，准确掌握概念法则是本题解题关键．

2．下列计算正确的是（ ）

A．2a+3b＝5ab

C．a3•a2＝a5

B．（﹣a2）3＝a6

D．（a+b）2＝a2+b2

【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、2a+3b＝a5，无法计算，故此选项错误；

B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；

C、a3•a2＝a5，故此选项正确；

D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误．

故选：C．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．如图，直线a∥b，点A在直线b上，∠BAC＝108°，∠BAC的两边与直线a分别交于B、C两点．若∠1＝42°，则∠2的大小为（ ）

A．30° B．38° C．52° D．72°

【考点】相交线；平行线的性质．

【分析】由直线a∥b得∠1＝∠3，根据平角的定义得∠2+∠3+∠BAC＝180°，解得∠2的度数为30°．

【解答】解；如图所示：

第 8 页

共 33 页

∵a∥b；

∴∠1＝∠3；

又∵∠2+∠3+∠BAC＝180°；

∠BAC＝108°，∠1＝42°；

∴∠2＝30°；

故选：A．

【点评】本题综合考查了平行线的性质，平角的定义，角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是一题多解，也可以用邻补角，对顶角，平行线的性质求解．

4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°．若边AC的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，连接CD，则∠DCB＝（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠ACB的度数，再根据垂直平分线的性质，即可得出∠ACD的度数，进而得到∠DCB的度数．

【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝45°；

∴∠ACB＝75°；

∵DE垂直平分AC；

∴AD＝CD；

∴∠ACD＝∠A＝60°；

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝75°﹣60°＝15°；

故选：A．

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

5．一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一第 9 页

共 33 页 个球，则下列叙述正确的是（ ）

A．摸到红球是必然事件

B．摸到黄球是不可能事件

C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等

D．摸到红球比摸到黄球的可能性小

【考点】随机事件；可能性的大小．

【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可．

【解答】解：∵摸到红球是随机事件；

∴选项A不符合题意；

∵摸到黄球是随机事件；

∴选项B不符合题意；

∵白球和黄球的数量相同；

∴摸到白球与摸到黄球的可能性相等；

∴选项C符合题意；

∵红球比黄球多；

∴摸到红球比摸到黄球的可能性大；

∴选项D不符合题意．

故选：C．

【点评】此题主要考查了可能性的大小，以及随机事件的判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4

第 10 页

共 33 页

D．5 【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x＝1的右侧得到﹣＞1，于是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以△＝b2﹣4ac＞0；由x＝1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x＝﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0．

【解答】解：①∵抛物线开口向下；

∴a＜0；

∵对称轴x＝﹣＞1；

∴2a+b＞0，故①正确；

②∵a＜0，﹣∴b＞0；

∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方；

∴c＜0；

∴abc＞0，故②错误；

③∵抛物线与x轴有两个交点；

∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；

④∵x＝1时，y＞0；

∴a+b+c＞0，故④错误；

⑤∵x＝﹣2时，y＜0；

∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线x＝﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，＞0；

对称轴在y轴的右侧；当c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当△＝b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．

7．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）

第 11 页

共 33 页 A．﹣4和﹣3之间

B．3和4之间 C．﹣5和﹣4之间 D．4和5之间

【考点】估算无理数的大小；坐标与图形性质；勾股定理．

【分析】先根据勾股定理求出OP的长，由于OP＝OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．

【解答】解：∵点P坐标为（﹣2，3）；

∴OP＝＝；

∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上；

∴OA＝OP＝∵9＜13＜16；

∴3＜＜4．

；

∵点A在x轴的负半轴上；

∴点A的横坐标介于﹣4和﹣3之间．

故选：A．

【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．

8．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）

A．C．

B．D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．

【解答】解：设男生有x人，女生有y人；

根据题意可得：；

第 12 页

共 33 页 故选：D．

【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

9．如图，在边长为4的正方形ABCD中剪去一个边长为2的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿多边形的边以A→D→E→F→G→B的路线匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】分别判断点P在各条线段上面积的变化情形即可判断．

【解答】解：当点P在线段AD上时，面积是逐渐增大的；

当点P在线段DE上时，面积是定值不变；

当点P在线段EF上时，面积是逐渐减小的；

当点P在线段FG上时，面积是定值不变；

当点P在线段GB上时，面积是逐渐减小的；

综上所述，选项B符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接第 13 页

共 33 页 OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝•AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝中，正确的个数是（ ）

；③S平行四边形ABCD＝AB

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】三角形的面积；平行四边形的性质．

【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；

③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；

④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE＝S△EOC＝OE•OC＝××△AOP＝，S＝S△AOE＝＝；

【解答】解：①∵AE平分∠BAD；

∴∠BAE＝∠DAE；

∵四边形ABCD是平行四边形；

∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°；

∴∠DAE＝∠BEA；

∴∠BAE＝∠BEA；

∴AB＝BE＝1；

∴△ABE是等边三角形；

∴AE＝BE＝1；

∵BC＝2；

∴EC＝1；

∴AE＝EC；

第 14 页

共 33 页 ∴∠EAC＝∠ACE；

∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°；

∴∠ACE＝30°；

∵AD∥BC；

∴∠CAD＝∠ACE＝30°；

故①正确；

②∵BE＝EC，OA＝OC；

∴OE＝AB＝，OE∥AB；

∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°；

Rt△EOC中，OC＝＝；

∵四边形ABCD是平行四边形；

∴∠BCD＝∠BAD＝120°；

∴∠ACB＝30°；

∴∠ACD＝90°；

Rt△OCD中，OD＝∴BD＝2OD＝故②正确；

③由②知：∠BAC＝90°；

∴S▱ABCD＝AB•AC；

故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线；

∴OE＝AB；

∵AB＝BC；

∴OE＝BC＝AD；

故④正确；

⑤∵四边形ABCD是平行四边形；

∴OA＝OC＝；

第 15 页

共 33 页

＝；

； ∴S△AOE＝S△EOC＝OE•OC＝××∵OE∥AB；

∴＝；

＝；

∴＝；

∴S△AOP＝S△AOE＝故⑤错误；

＝；

本题正确的有：①②③④，4个；

故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．

二．填空题（共8小题）

11．今年“五一”假日全国共接待国内游客1.47亿人次．将数1.47亿用科学记数法表示的结果是 1.47×108 ．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：1.47亿＝1.47×108；

故答案为：1.47×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．将3x2y﹣27y因式分解为 3y（x+3）（x﹣3） ．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．

【解答】解：原式＝3y（x2﹣9）＝3y（x+3）（x﹣3）；

故答案为：3y（x+3）（x﹣3）．

【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．

第 16 页

共 33 页 13．如图，已知两点A（4，4），B（1，2），若将线段AB绕B点逆时针旋转90°后得到线段BA′，则点A′的坐标为 （﹣1，5） ．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转．

【分析】如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BC⊥AM于C，过点A′作A′D⊥CB交CB的延长线于D．利用全等三角形的性质解决问题即可．

【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BC⊥AM于C，过点A′作A′D⊥CB交CB的延长线于D．

∵A（4，4），B（1，2）；

∴BC＝3，AC＝2，AM＝4；

∵∠A′DB＝∠A′BA＝∠ACB＝90°；

∴∠A′BD+∠ABC＝90°，∠ABC+∠A＝90°；

∴∠A′BD＝∠A；

∵BA′＝BA；

∴△A′BD≌△BAC（AAS）；

∴BD＝AC＝2，A′D＝BC＝3；

∴A′（﹣1，5）；

故答案为（﹣1，5）

【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

14．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：S2＝第 17 页

共 33 页 ，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是 ④ （填序号）

【考点】总体、个体、样本、样本容量；算术平均数；中位数；众数；方差．

【分析】先根据小华所列方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再分别根据样本容量的概念、中位数、众数及平均数的定义逐一判断即可．

【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，样本容量为4，故①说法正确；

样本的中位数是＝3，故②说法正确；

样本的众数为3，故③说法正确；

样本的平均数为故答案为：④．

【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握样本容量的概念、方差、中位数、众数及平均数的定义．

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为 7 ．

＝3，故④说法错误；

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】如图，连接OC设AC交y轴于E．根据反比例函数k的几何意义求出△AOC的面积，再利用反比例函数关于原点对称的性质，推出OA＝OB即可解决问题．

【解答】解：如图，连接OC设AC交y轴于E．

∵AC⊥y轴于E；

∴S△AOE＝，S△OEC＝2；

第 18 页

共 33 页 ∴S△AOC＝；

∵A，C关于原点对称；

∴OA＝OB；

∴S△ABC＝2S△AOC＝7；

故答案为7．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，属于中考常考题型．

16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

【考点】平行四边形的性质；扇形面积的计算．

【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．

，【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F；

∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°；

∴∠D＝30°；

第 19 页

共 33 页 则∠COE＝2∠D＝60°；

∵CD＝4；

∴CO＝DO＝2；

∴OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2×∴DE＝2DF＝2；

+×2×1＝+；

＝；

∴图中阴影部分的面积为故答案为：+．

【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝键．

是解题的关17．在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．

【考点】二次函数的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，由△AHB∽△CEA，得＝，推出＝，推出AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x，推出B（0，4﹣x），C（2+2x，），可得PM＝＝，由此即可解0），由BM＝CM，推出M（1+x，决问题．

【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4；

第 20 页

共 33 页 ∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°；

∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°；

∴∠ABH＝∠EAC；

∴△AHB∽△CEA；

∴＝；

； ∴＝∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x；

∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x；

∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）

∵BM＝CM；

∴M（1+x，∴PM＝），∵P（1，0）；

＝；

． ∴x＝时，PM有最小值，最小值为故答案为．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．

18．如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y＝x和y＝x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A8B8C8的面积为 ．

第 21 页

共 33 页

【考点】正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．

【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而得到A1B1的长以及△A1B1C1面积，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，求得B2的坐标，进而得到A2B2的长以及△A2B2C2面积，最后根据根据变换规律，求得AnBn的长，得出△AnBn∁n的面积，进而得出△A8B8C8的面积．

【解答】解：当x＝2时，y＝x＝1，即B1（2，1）；

∴A1B1＝2﹣1＝1，即△A1B1C1面积＝×12＝；

∵A1C1＝A1B1＝1；

∴A2（3，3）；

又∵A2B2∥y轴，交直线y＝x于点B2；

∴B2（2，）；

∴A2B2＝3﹣＝，即△A2B2C2面积＝××＝；

以此类推；

A3B3＝，即△A3B3C3面积＝××＝A4B4＝…

∴AnBn＝（）n1，故△AnBnCn的面积＝×（）n1×（）n1＝﹣﹣﹣；

＝； ，即△A4B4C4面积＝××；

∴△A8B8C8的面积＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是第 22 页

共 33 页 通过计算找出变换规律，根据AnBn的长，求得△AnBn∁n的面积．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．

三．解答题（共7小题）

19．（1）计算：

（2）先化简，再求值：入求值．

，在下列数﹣2，﹣1，0，1中，选你喜欢的一个数代【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）首先代入特殊角的三角函数值，计算乘方、负整数指数幂、零次幂，二次根式化简，再算绝对值，然后算乘法，后算加减即可；

（2）首先通分计算括号里面的减法，再计算分式的除法运算，化简后再代入x的值即可．

【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣|1﹣＝﹣1﹣|1﹣3|+8+1；

＝﹣1﹣2+8+1；

＝6；

（2）原式＝÷（﹣）；

×|+2×4+1；

＝÷（﹣）；

＝÷；

＝；

＝；

＝；

∵x（x+1）≠0，4﹣x2≠0；

∴x≠0，x≠﹣1，x≠±2；

第 23 页

共 33 页 当x＝1时，原式＝＝．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值、乘方、负整数指数幂、零次幂、绝对值，关键熟练掌握各运算法则．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD、AB的延长线相交于点G．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若CF＝1，∠ACB＝60°，求图中阴影部分的面积．

【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算．

【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；

（2）根据已知条件得到△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．

∵AB为直径；

∴∠ADB＝90°；

∴AD⊥BC；

∵AC＝AB；

∴点D为线段BC的中点．

∵点O为AB的中点；

∴OD为△BAC的中位线；

∴OD∥AC；

∵DF⊥AC；

∴OD⊥DF；

∴DF是⊙O的切线．

第 24 页

共 33 页 （2）解：在Rt△CFD中，CF＝1，∠C＝60°；

∵AC＝AB；

∴△ABC为等边三角形；

∴AB＝4．

∵OD∥AC；

∴∠DOG＝∠BAC＝60°；

∴DG＝OD•tan∠DOG＝2；

πOB2＝2﹣π． ∴S阴影＝S△ODG﹣S扇形OBD＝DG•OD﹣

【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点．

21．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．

【解答】解：如图；

第 25 页

共 33 页

过点E作EF⊥AC，EG⊥CD；

在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°；

∴EG＝DEsin∠D＝1620×＝810；

∵BC＝857.5，CF＝EG；

∴BF＝BC﹣CF＝47.5；

在Rt△BEF中，tan∠BEF＝∴EF＝BF；

；

在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，设AB＝x；

∵tan∠AEF＝；

∴AF＝EF×tan∠AEF；

∴x+47.5＝3×47.5；

∴x＝95；

答：雕像AB的高度为95尺．

【点评】此题是解直角三角形﹣仰角俯角问题，主要考查了锐角三角函数的意义，解本题的关键是构造直角三角形．

22．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

第 26 页

共 33 页 （1）请把条形统计图补充完整．

（2）扇形统计图中m＝ 15 ，n＝ 5 ，B等级所占扇形的圆心角度数为 252° ．

（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．

【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；

（2）根据（1）中补全的图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；

（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．

【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人）；

∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人）；

补全图形如下：

（2）m%＝n%＝×100%＝15%，即m＝15；

×100%＝5%，即n＝5；

B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°；

故答案为：15，5，252°；

（3）画树状图如下：

第 27 页

共 33 页

共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果；

∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式P＝求出事件A或B的概率．

23．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据题意列出方程，解方程即可；

（2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件．根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果；

（3）设生产成本为W元，根据题意得出W是a的一次函数，即可得出结果．

【解答】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元；

依题意得：解得：；

；

答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．

（2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件．

第 28 页

共 33 页 依题意得：解得：38≤a≤40；

∵a的值为非负整数；

∴a＝38、39、40；

答：共有如下三种方案：

方案1、A产品22个，B产品38个；

方案2、A产品21个，B产品39个；

方案1、A产品20个，B产品40个；

（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．理由如下：

设生产成本为W元，则W与a的关系式为：

W＝（25×4+35×1+40）（60﹣a）+（35×3+25×3+50）a＝55a+10 500；

即W是a的一次函数；

∵k＝55＞0；

∴W随a增大而增大；

∴当a＝38时，总成本最低；

即生产A产品22件，B产品38件成本最低．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用；根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组、一次函数关系式是解决问题的关键．

24．如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．

（1）求抛物线L的函数表达式；

（2）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

第 29 页

共 33 页 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．

【分析】（1）根据抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA，可以求得点B和点C的坐标，从而可以得到抛物线L的函数表达式；

（2）先判断在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN，然后根据题目中的数据，可以求得S△从而可以得到ABC的值，S△OCN的值，然后即可得到点N的横坐标的绝对值，从而可以求得点N的坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA；

∴OA＝1；

∴OB＝OC＝3；

∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3）；

∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点；

∴，得；

即抛物线L的函数表达式是y＝x2﹣2x﹣3；

（2）抛物线L上存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN；

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；

∴AB＝4，OC＝3；

∴S△ABC＝＝6；

∵S△ABC＝2S△OCN；

∴S△OCN＝3；

设点N的横坐标的为n；

则＝3，得|n|＝2；

∴n＝±2；

当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3；

当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5；

∴点N的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，5）．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

第 30 页

共 33 页 25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．

（1）如图1，求证：AM＝CE；

（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；

（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点N，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）通过证△ABM与△CAE全等可以证得AM＝CE；

（2）过点E作EF⊥CE交BC于F，通过证明△ABG与△ACE全等，证得AG＝AE，通过△GBN≌△EFN证得GN＝EN，最后由直角三角形的性质证得结论；

（3）延长GM交BC于点F，连接AF，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AN的长，在Rt△AEG中，求出EG的长即可得到答案．

【解答】（1）证明：∵AP⊥BM；

∴∠APB＝90°；

∴∠ABP+∠BAP＝90°；

∵∠BAP+∠CAE＝90°；

∴∠CAE＝∠ABP；

∵CE⊥AC；

∴∠BAM＝∠ACE＝90°；

∵AB＝AC；

∴△ABM≌△CAE（ASA）；

∴CE＝AM；

第 31 页

共 33 页 （2）过点E作CE的垂线交BC于点F；

∴∠FEC＝90°；

∵AB＝AC，∠BAC＝90°；

∴∠ACB＝∠ABC＝45°；

∵∠ACE＝90°；

∴∠FCE＝45°；

∴∠CFE＝∠FCE＝45°；

∴CE＝EF，∠EFN＝135°；

∵四边形AMBG是平行四边形；

∴AM＝BG，∠ABG＝∠BAC＝90°；

∴∠GBN＝∠ABG+∠ABC＝135°；

∴∠GBN＝∠EFN；

由（1）得△ABM≌△CAE；

∴AM＝CE；

∴BG＝CE＝EF；

∵∠BNG＝∠FNE；

∴△GBN≌△EFN（AAS）；

∴GN＝EN；

∵AG∥BM；

∴∠GAE＝∠BPE＝90°；

∴∴；

；

（3）如图，延长GM交BC于F，连接AF；

在平行四边形ABMG中，AB∥GM，△ABM≌△MGA；

∴∠AMG＝∠BAC＝90°；

∴∠GMC＝∠ACE＝90°；

∴GF∥CE；

∵AM＝MC；

∴BF＝CF；

第 32 页

共 33 页 ∵AB＝AC；

∴∵；

；

设CN＝x，则BC＝8x，AF＝FC＝4x，FN＝3x；

∴在Rt△ABM中；

，∴∴；

；

；

；

由（1）知△ABM≌△CAE；

∴△CAE≌△MGA；

∴AE＝AG；

在Rt△AEG中，EG＝∴．

；

第 33 页

共 33 页