2024年3月11日发(作者：小升初32天打卡数学试卷)

2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若

a,b,c

均为整数且满足

(ab)(ac)1

，则

|ab||bc||ca|

（ B ）

A．1. B．2. C．3. D．4.

2．若实数

a,b,c

满足等式

2a3|b|6

，

4a9|b|6c

，则

c

可能取的最大值为

（ C ）

A．0. B．1. C．2. D．3.

3．若

1010

a,b

是两个正数，且

a1b1

10,

ba

则

（ C ）

A．

0ab

2

1144

. B．

ab1

. C．

1ab

. D．

ab2

.

3333

42

4．若方程

x3x10

的两根也是方程

xaxbxc0

的根，则

ab2c

的

值为 （ A ）

A．－13. B．－9. C．6. D． 0.

5．在△

ABC

中，已知

CAB60

，D，E分别是边AB，AC上的点，且

AED60

，

，,则

EDDBCECDB2CDEDCB

( B )

A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.

6．对于自然数

n

，将其各位数字之和记为

a

n

，如

a

2009

200911

，

a

2010

20103

（ D ）

，则

a

1

a

2

a

3

a

2009

a

2010

A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

x

3

y

3

19,

22

1．已知实数

x,y

满足方程组

则

xy

13 .

xy1,

2．二次函数

yxbxc

的图象与

x

轴正方向交于A，B两点，与

y

轴正方向交于

点C．已知

AB

2

3AC

，

CAO30

，则

c

1

．

9

3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝

5

，PC＝5，

则PB＝___

10

___．

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间

夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放

____15___个球.

第二试 （A）

一．（本题满分20分）设整数

a,b,c

（

abc

）为三角形的三边长，满足

a

2

b

2

c

2

abacbc13

，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解 由已知等式可得

(ab)

2

(bc)

2

(ac)

2

26

①

令

abm,bcn

，则

acmn

，其中

m,n

均为自然数.

于是，等式①变为

mn(mn)26

，即

222

m

2

n

2

mn13

②

由于

m,n

均为自然数，判断易知，使得等式②成立的

m,n

只有两组：

m3,

m1,

和

n3.

n1

（1）当

m3,n1

时，

bc1

，

ab3c4

.又

a,b,c

为三角形的三边长，所

以

bca

，即

(c1)cc4

，解得

c3

.又因为三角形的周长不超过30，即

abc(c4)(c1)c30

，解得

c

2525

.因此

3c

，所以

c

可以取值4，5，

33

6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.

（2）当

m1,n3

时，

bc3

，

ab1c4

.又

a,b,c

为三角形的三边长，所

以

bca

，即

(c3)cc4

，解得

c1

.又因为三角形的周长不超过30，即

abc(c4)(c3)c30

，解得

c

2323

.因此

1c

，所以

c

可以取值2，3，

33

4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交

于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD明：

PD是⊙I的切线.

A

证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交

BC于点N.

P

因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.

I

又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.

Q

又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.

由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ

B

M

N

＝∠ACB，所以MQ又因为MD又点Q、D均在⊙I上，所以

点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.

三．（本题满分25分）已知二次函数

yxbxc

的图象经过两点P

(1,a)

，Q

(2,10a)

.

（1）如果

a,b,c

都是整数，且

cb8a

，求

a,b,c

的值.

（2）设二次函数

yxbxc

的图象与

x

轴的交点为A、B，与

y

轴的交点为C.如

果关于

x

的方程

xbxc0

的两个根都是整数，求△ABC的面积.

解 点P

(1,a)

、Q

(2,10a)

在二次函数

yxbxc

的图象上，故

1bca

，

2

2

2

C

2

42ac10a

，

解得

b9a3

，

c8a2

.

（1）由

cb8a

知

8a29a3,

解得

1a3

.

9a38a,

又

a

为整数，所以

a2

，

b9a315

，

c8a214

.

(2) 设

m,n

是方程的两个整数根，且

mn

.

由根与系数的关系可得

mnb39a

，

mnc28a

，消去

a

，得

9mn8(mn)6

，

两边同时乘以9，得

81mn72(mn)54

，分解因式，得

(9m8)(9n8)10

.

所以

9m81,

9m82,

9m810,

9m85,

或

或

或

9n810,

9n85,

9n81,

9n82,

1021



m,m,m,



m1,



9993

解得

或

或

或

1372

n2,

n,

n,

n,



993



又

m,n

是整数，所以后面三组解舍去，故

m1,n2

.

因此，

b(mn)3

，

cmn2

，二次函数的解析式为

yx3x2

.

2


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等式,三角形,已知