北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷(含答案)

2023年12月2日发(作者：中考数学试卷判卷交流心得)

北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷（含答案）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A{x|5≤x<1}，B{x|x2≤99}，则AB（A）[5,3]（C）[3,1)（2）已知命题p:x1，x2（A）x≥1,x21（C）x1,x21≤1，则p（B）(3,1]（D）[3,3]为（B）x1,x21（D）x≥1,x21（3）如图，在平行四边形ABCD中，ACAB（A）CB（B）AD（C）BD（D）CD（4）若ab，则下列不等式一定成立的是（A）11ab（B）a2b2（C）eaeb（D）lnalnb（5）不等式2x1≤1的解集为x2（A）[3,2]（C）[3,2)（B）(,3]（D）(,3](2,)uuuruuur（6）正方形ABCD的边长为1，则|AB2AD|（A）1（B）3（C）3（D）5（7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：km）之间满足的关系为C的值为（A）20（B）202（C）40（D）4008002s2000，则当C最小时，s（8）设log23a，则212a（A）8（C）12（B）11（D）18（9）已知为单位向量，则“|ab||b|1”是“存在0，使得b=a”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素.在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：0.2，kaxb1.4,1，x0.1,0.1≤x≤10,（a,b是常数）.如图记录了两x10,次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是（参考数据：lg30.48）（A）0.24（C）0.24（B）0.48（D）0.48第二部分（非选择题共110二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数f(x)log2(1x)x的定义域是_____.分）（12）某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[12.5,25]，样本数据分组为[12.5,15)，[15,17.5)，[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是_____.（13）写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)_____.①对x1,x2(0,)，有f(x1x2)f(x1)f(x2)；②当x(4,)时，f(x)1恒成立.2xa,（14）已知函数f(x)ax,x≥0,若a4，则f(x)0的解集为_____；x0,若xR，f(x)0，则的取值范围为_____.（15）函数f(x)的定义域为R，且xR，都有f(x)①f(0)1或1；②f(x)一定不是偶函数；③若f(x)0，且f(x)在(,0)上单调递增，则f(x)在(0,)上单调递增；1，给出下列四个结论：f(x)④若f(x)有最大值，则f(x)一定有最小值.其中，所有正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）某射手打靶命中环､10环的概率分别为0.25,0.2.如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不影响.（Ⅰ）求该射手两次共命中20环的概率；（Ⅱ）求该射手两次共命中不少于19环的概率.（17）（本小题15分）已知函数f(x)x.x12（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明函数f(x)在[1,)上是减函数；（Ⅲ）写出函数f(x)在(,1]上的单调性（结论不要求证明）.（18）（本小题14分）甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示.2017年甲乙4.944.862018年4.904.902019年4.954.862020年4.824.842021年4.804.742022年4.794.72（Ⅰ）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（Ⅱ）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（Ⅲ）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）（19）（本小题15分）函数f(x)1lgxc，其中cR.（Ⅰ）若c0，求f(x)的零点；（Ⅱ）若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1x2)，求4x1x2的取值范围.（20）（本小题13分）某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润（单位：元）1与时间（1≤t≤20，tN，单位：天）之间的函数关系式为rt10，且日销售量p(单位：箱)与时间4之间的函数关系式为p1202t.（Ⅰ）求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？（Ⅱ）在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(mN*)元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大，求m的取值范围.（21）（本小题15分）设函数f(x)的定义域为D，对于区间I[a,b](ab,ID)，若满足以下两条性质之一，则称为f(x)的一个“区间”.性质1：对任意xI，有f(x)I；性质2：对任意xI，有f(x)I.（Ⅰ）分别判断区间[1,2]是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①y3x；②y3；x（Ⅱ）若[0,m](m0)是函数f(x)x22x的“区间”，求m的取值范围；（Ⅲ）已知定义在R上，且图象连续不断的函数f(x)满足：对任意x1,x2R，且x1x2，有f(x2)f(x1)1.x2x1求证：f(x)存在“区间”，且存在x0R，使得x0不属于f(x)的所有“区间”.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.A6.D2.C7.A3.B8.D4.C9.B5.C10.A二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11.[0,1)2x（答案不唯一，对数函数的底数a(1,4]即可）14.(,0)(2,)，1a015.①③注：第14题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题13分）解：记事件Ai：某射手第次打靶，命中9环，Bi：某射手第次打靶，命中10环，其中i1,2，则P(A1)P(A2)0.25，P(B1)P(B2)0.2.（Ⅰ）因为B1,B2相互独立，所以P(B1B2)P(B1)P(B2)0.20.20.04.即连续打靶两次，命中20环的概率为0.04.（Ⅱ）连续打靶两次，命中不少于19环，可能第一次命中9环，第二次命中10环，可能第一次命中10环，第二次命中9环，还可能两次都命中10环，即A1B2B1A2B1B2.因为A1与B2，B1与A2，B1与B2相互独立，且A1B2，B1A2，B1B2互斥，因此P(A1B2B1A2B1B2)P(A1B2)P(B1A2)P(B1B2)P(A1)P(B2)P(B1)P(A2)P(B1)P(B2)0.250.20.20.250.20.20.14.即连续打靶两次，命中不少于19环的概率为0.14.17．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为函数的定义域为R，所以xR时，xR.又因为f(x)xf(x)，所以函数f(x)是奇函数.x21（Ⅱ）任取x1,x2[1,)，且x1x2，则2x1x2x1(x21)x2(x121)f(x1)f(x2)222x11x21(x121)(x21)2x1x2x1x2x12x2(x1x21)(x2x1).22(x121)(x21)(x121)(x21)因为1≤x1x2，所以x2x10，x1x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).根据函数单调性定义，f(x)（Ⅲ）f(x)在(,1]上是减函数.18．（本小题14分）解：（Ⅰ）乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为x在[1,)上是减函数.x124.864.904.864.844.744.724.82.6（Ⅱ）甲的视力值比乙高0.05以上的年份有：2017年、2019年、2021年、2022年.从2017年到2022年这6年中随机选取2年，所有可能的结果有15种，它们是：(2017,2018),(2017,2019),(2017,2020),(2017,2021),(2017,2022),(2018,2019),(2018,2020),(2018,2021),(2018,2022),(2019,2020),(2019,2021),(2019,2022),(2020,2021),(2020,2022),(2021,2022).用A表示“这两年甲的视力值都比乙高0.05以上”这一事件，则A中的结果有6个，它们是：所求得(2017,2019),(2017,2021),(2017,2022),(2019,2021),(2019,2022),(2021,2022),所以，概率P(A)62.155（Ⅲ）甲和乙的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小．19．（本小题15分）解：（Ⅰ）当c0时，f(x)1lgx，令1lgx0，解得x10，所以函数零点为x10.1lgxc,0x≤10,（Ⅱ）由已知，f(x)x10,lgx1c,当c0时，f(x)有两个零点x1,x2(x1x2)，1lgx1c，lgx21c，所以x1101c，x2101c，所以4x1x24101c101c≥2401010cc10401010c40.c10当且仅当401010c，即clg2时，等号成立，c10所以4x1x2[40,).20．（本小题13分）解：（Ⅰ）设第日的销售利润为f(t)，则111f(t)rp(t10)(1202t)t210t1200(t10)21250.422当t10时，f(t)max1250.所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.（Ⅱ）设捐赠之后第日的销售利润为g(t)，则11g(t)(t10m)(1202t)t2(102m)t1200120m.42依题意，m应满足以下条件：①mN；②102m192019.5，即m4.75；21③m≤t10对于1≤t≤20,tN均成立，即m≤10.25.4综上5≤m≤10，且mN*.21．（本小题15分）解：（Ⅰ）①是，②不是.（Ⅱ）记I[0,m]，S{f(x)|xI}，注意到f(0)0[0,m]，因此，若I为函数f(x)的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即SI.f(x)x22x(x1)21.当0m1时，f(x)在I上单调递增，且f(m)mm(m1)0，所以S[0,f(m)]不包含于I[0,m]，不合题意；当1≤m≤2时，S[f(0),f(1)][0,1][0,m][I，合题意；当m2时，f(m)f(2)f(0)0，所以f(m)I，不合题意.综上，m[1,2].（Ⅲ）对于任意区间I[a,b](ab)，记S{f(x)|xI}，依题意，f(x)在I上单调递减，则S[f(b),f(a)].因为f(b)f(a)1，所以f(a)f(b)ba，ba即S的长度大于I的长度，故不满足性质①.因此，如果I为f(x)的“区间”，只能满足性质②，即SI，即只需存在aR使得f(a)a，或存在bR使得f(b)b.因为f(x)x不恒成立，所以上述条件满足，所以f(x)一定存在“区间”.记g(x)f(x)x，先证明函数g(x)有唯一零点：因为f(x)在R上单调递减，所以g(x)在R上单调递减.若f(0)0，则x00为g(x)的唯一零点；若f(0)t0，则f(t)f(0)t，即g(0)0，g(t)0，由零点存在定理，结合g(x)单调性，可知存在唯一x0(0,t)，使得g(x0)0；若f(0)t0，则f(t)f(0)t，即g(0)0，g(t)0，由零点存在定理，结合g(x)单调性，可知存在唯一x0(t,0)，使得g(x0)0；综上，函数g(x)有唯一零点x0，即f(x0)x0，已证f(x)的所有“区间”I都满足条件②，所以x0I.