2023年12月3日发(作者：数学试卷的教学反思)
2019年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共16分,每小题2分)
1．（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×10
6B．4.39×10
6C．4.39×10
5D．439×10
32．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
4．（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
5．（2分）已知锐角∠AOB，如图，
，交射线OB于点D，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作
连接CD；
于点M，N； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD
C．MN∥CD
B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
D．MN＝3CD
1 / 545 6．（2分）如果m+n＝1，那么代数式（A．﹣3 B．﹣1
）（m﹣n）的值为（ ） •D．3
22C．1
7．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
时间t
人数
学生类型
性别 男
女
学段 初中
高中
7
8
31
29
25
25
26
36
30
32
44
4
8
11
0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（ ）
2 / 545
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分式
的值为0，则x的值是 ．
210．（2分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm．（结果保留一位小数）
11．（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）
12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y
A关于x轴的对称点B在双曲线y
，则k1+k2的值为 ．
上，点
14．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．
15．（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s0，在计算平均数的 3 / 545
2 过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s1，则s1 s0（填“＞”，“＝”或”＜”）
16．（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，
17．（5分）计算：|
|﹣（4﹣π）+2sin60°+（）．
0222
﹣1
＜
18．（5分）解不等式组：
＞
19．（5分）关于x的方程x﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG ，求AO的长．
2
21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
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a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 ．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决 5 / 545
胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
第1组
第2组
第3组
第4组
第1天
x1
第2天
x1
x2
第3天
x2
第4天
x1
x4
第5天
x2
x4
第6天
第7天
x4
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．
与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是
上一动点，连接24．（6分）如图，P是
PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
6 / 545
上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几（1）对于点C在
组值，如下表：
PC/cm
PD/cm
AD/cm
位置1
3.44
3.44
0.00
位置2
3.30
2.69
0.78
位置3
3.07
2.00
1.54
位置4
2.70
1.36
2.30
位置5
2.25
0.96
3.01
位置6
2.25
1.13
4.00
位置7
2.64
2.00
5.11
位置8
2.83
2.83
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax+bx
与y轴交于点A，将点A向右 7 / 545
2 平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，
），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数
图象，求a的取值范围．
27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH
1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
上的所有点都在△ABC28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果
为△ABC的中内弧．例如，图1中
是△ABC的一条中内弧． 的内部或边上，则称
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC
，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC
，并直接写出此时
的长； 的最长的中内弧
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
①若t
，求△ABC的中内弧
，使得
所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，②若在△ABC中存在一条中内弧
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直接写出t的取值范围．
2019年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分,每小题2分)
1．（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×10
6B．4.39×10
6C．4.39×10
55D．439×10
3【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×10．
故选：C．
2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（2分）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
4．（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3
B．﹣2 C．﹣1
9 / 545
D．1 【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
5．（2分）已知锐角∠AOB，如图，
，交射线OB于点D，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作
连接CD；
于点M，N； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD
C．MN∥CD
【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
D．MN＝3CD
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
10 / 545
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON
∠MON＝20°，故B选项正确；
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM
，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN
∠OCN＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
6．（2分）如果m+n＝1，那么代数式（A．﹣3
【解答】解：原式
B．﹣1
）（m﹣n）的值为（ ） •D．3
22C．1
（•m+n）（m﹣n） （•m+n）（m﹣n）＝3（m+n），
当m+n＝1时，原式＝3．
故选：D．
7．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等
式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
8．（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
11 / 545
时间t
人数
学生类型
性别 男
女
学段 初中
高中
0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40
7
8
31
29
25
25
26
36
30
32
44
4
8
11
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20﹣30 之间，故②正确．
③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10 的人数在 0﹣15 之间，当人数为 0 时中位数在 20﹣30 之间；当人数为 15 时，中位数在 20﹣30 之间，故③正确．
④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0﹣15，35，15，18，1，当0≤ 12 / 545
t＜10时间段人数为 0 时，中位数在 10﹣20 之间；当 0≤t＜10时间段人数为 15 时，中位数在 10﹣20 之间，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分式
的值为0，则x的值是 1 ．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
10．（2分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm．（结果保留一位小数）
2
【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC
AB•CD
故答案为：1.9．
2 2.2×1.7≈1.9（cm）．
11．（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ①② ．（写出所有正确答案的序号）
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【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为：①②．
12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P是网格线交点）．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD＝BD＝1+2＝5，PB＝1+3＝10，
∴PD+DB＝PB，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
222222222
13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y
A关于x轴的对称点B在双曲线y
，则k1+k2的值为 0 ．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y
上，
上，点
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
14．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分 14 / 545
上，
别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 12 ．
【解答】解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
设OA＝x，OB＝y，
由题意得： ，
解得： ，
∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，
∴菱形ABCD的面积
AC×BD
6×4＝12；
故答案为：12．
15．（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s0，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s1，则s1 ＝ s0（填“＞”，“＝”或”＜”）
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴则s1＝S0．
故答案为＝．
16．（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
15 / 545
222222 ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM＝QD，AQ＝PD，
∵PD＝BM，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；
故答案为：①②③．
二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，
16 / 545
17．（5分）计算：|
|﹣（4﹣π）+2sin60°+（）．
0
﹣1【解答】解：原式
1+2
4
1
4＝3
．
＜
18．（5分）解不等式组：
＞
＜
①， 【解答】解：
＞ ②
解①得：x＜2，
解②得x＜，
则不等式组的解集为x＜2．
19．（5分）关于x的方程x﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【解答】解：∵关于x的方程x﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴x﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）＝0，
解得：x1＝x2＝1．
20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG
，求AO的长．
22222
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【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴AB：BE＝AD：DF，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF；
（2）解：如图2所示：
∵由（1）得：EF∥BD，
∴∠G＝∠ADO，
∴tanG＝tan∠ADO
，
∴OA
OD，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∴OA＝1．
21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
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b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 17 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8 万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 ①② ．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
19 / 545
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为：17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
故答案为：2.8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为：①②．
22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，
20 / 545
∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，
∵AD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
， ∴
∴AD＝CD；
（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，
∴CD＝CM，
∵DM⊥BC，
∴BC垂直平分DM，
∴BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
， ∵
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1．
23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
21 / 545
第1组
第2组
第3组
第4组
第1天
x1
第2天
x1
x2
第3天
x2
第4天
x1
x4
第5天
x2
x4
第6天
第7天
x4
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 4，5，6 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 23 首．
【解答】解：（1）
第1组
第2组
第3组
第4组
第1天
x1
第2天
x1
x2
第3天
x2
x3
第4天
x1
x3
x4
第5天
x2
x4
第6天
x3
第7天
x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，
①+②+④﹣③得，3x2≤28，
22 / 545
∴x2
，
∴x1+x2+x3+x4
14
，
∴x1+x2+x3+x4≤23，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是
上一动点，连接24．（6分）如图，P是
PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几（1）对于点C在
组值，如下表：
PC/cm
PD/cm
AD/cm
位置1
3.44
3.44
0.00
位置2
3.30
2.69
0.78
位置3
3.07
2.00
1.54
位置4
2.70
1.36
2.30
位置5
2.25
0.96
3.01
位置6
2.25
1.13
4.00
位置7
2.64
2.00
5.11
位置8
2.83
2.83
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 AD 的长度是自变量， PD 的长度和 PC
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 2.3和4 cm．
23 / 545
【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量
故答案为：AD、PC、PD；
（2）描点画出如图图象；
（3）PC＝2PD，
从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，
即AD的长度为2.3和4.0．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k+1），B（2
，﹣k），C（k，﹣k），
①当k＝2时，A（2，5），B（
，﹣2），C（2，﹣2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；
24 / 545
②直线AB的解析式为y＝kx+1，
当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k+2k＝0，
∴k＝﹣2，
当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，
∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax+bx
与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（， ），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数
22
图象，求a的取值范围．
【解答】解：（1）A（0，
）
点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，
）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称，
∴抛物线对称轴x＝1；
（3）∵对称轴x＝1，
∴b﹣2a，
∴y＝ax﹣2ax ，
①a＞0时，
当x＝2时，y
＜2，
当y
时，x＝0或x＝2，
∴函数与AB无交点；
②a＜0时，
当y＝2时，ax﹣2ax
2，
x
当
或x
22
2时，a
；
25 / 545
∴当a
时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH
1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
【解答】解：（1）如图1所示为所求．
（2）设∠OPM＝α，
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN＝150°，PM＝PN
∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α
∵∠AOB＝30°
∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α
∴∠OMP＝∠OPN
（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：
26 / 545
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2
∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°
∵∠AOB＝30°，OP＝2
∴PD OP＝1
∴OD
∵OH
1
∴DH＝OH﹣OD＝1
∵∠OMP＝∠OPN
∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN
即∠PMD＝∠NPC
在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD＝NC，DM＝CP
设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ＝MH＝x+1
∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x
∴OC＝DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON＝QP
∠
∠
27 / 545
上的所有点都在△ABC28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果
为△ABC的中内弧．例如，图1中
是△ABC的一条中内弧． 的内部或边上，则称
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC
，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC
，并直接写出此时
的长； 的最长的中内弧
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
①若t
，求△ABC的中内弧
，使得
所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，②若在△ABC中存在一条中内弧
直接写出t的取值范围．
，就是△ABC的最长的中内弧
，【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧
连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC
，D，E分别是AB，AC的中点，
∴BC
4，DE
BC
4＝2，
2π＝π；
∴弧
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
①当t
时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），
设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°，
∵DE∥OC
∴∠AED＝∠ACO＝45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；
28 / 545
∴m
综上所述，m 或m≥1．
②如图4，设圆心P在AC上，
∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM ，
∴P（t，），
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠AOB＝90°
∴AE
，
∵PD＝PE，
∴∠AED＝∠PDE
∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，
∴∠DAE＝∠ADP
∴AP＝PD＝PE
AE
由三角形中内弧定义知，PD≤PM
∴AE ，AE≤3，即
3，解得：t
，
∵t＞0
∴0＜t
．
2018年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
29 / 545
1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（ ）
A．B．C．
D．
2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＞4
B．c﹣b＞0
C．ac＞0
D．a+c＞0
3．（2分）方程组
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（ ）
A．7.14×103m2
B．7.14×104m2
C．2.5×105m2
D．2.5×106m2
5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
6．（2分）如果a﹣b=2
，那么代数式（A．
B．2
﹣b）•的值为（ ）
C．3
D．4
7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
30 / 545
A．10m
B．15m
C．20m
D．22.5m
8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①②③④
31 / 545
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）
10．（2分）若
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（2分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a= ，b= ，c= ．
=
，∠CAD=30°，∠ACD=50°，12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，
则∠ADB= ．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为 ．
14．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频 32 / 545
30≤t≤35
35＜t≤40
40＜t≤45
45＜t≤50
合计 数
线路
A
B
C
59
50
45
151
50
265
166
122
167
124
278
23
500
500
500
早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两四人船（限乘四六人船（限乘六八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元．
16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第 ．
90
人）
100
人）
130
人）
150
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
33 / 545
17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= ，CB= ，
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣
+|﹣1|
＞
19．（5分）解不等式组：
＞
20．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
34 / 545
（2）若AB=
，BD=2，求OE的长．
22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，
1），直线l：y= +b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．
①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上24．（6分）如图，Q是
于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点一动点，连接PQ并延长交
间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
35 / 545
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；
x/cm
y1/cm
y2/cm
0
5.62
5.62
1
4.67
5.59
2
3.76
5.53
3
4
5
3.18
4.73
6
4.37
4.11
2.65
5.42
5.19
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为
cm．
25．（6分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 36 / 545
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78
78.5 78.5 79 79 79 79.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
A
B
平均数
75.8
72.2
中位数
m
70
众数
84.5
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A“或“B“），理由是 ，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF=GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形 37 / 545
M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．
已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）求d（点O，△ABC）；
（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；
（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．
2018年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、此几何体是圆柱体；
B、此几何体是圆锥体；
C、此几何体是正方体；
D、此几何体是四棱锥；
故选：A．
2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＞4
B．c﹣b＞0
C．ac＞0
D．a+c＞0
【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；
又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；
又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；
38 / 545
又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；
故选：B．
3．（2分）方程组
的解为（ ）
A．
【解答】解：
B．
C．
D．
①，
②①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，
将y=﹣1代入①得：x=2，
则方程组的解为
；
故选：D．
4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（ ）
A．7.14×103m2
B．7.14×104m2
C．2.5×105m2
D．2.5×106m2
【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）
故选：C．
5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．
故选：C．
6．（2分）如果a﹣b=2
，那么代数式（A．
【解答】解：原式=（=
=，
B．2
﹣b）•的值为（ ）
C．3
D．4
﹣
）•
•
当a﹣b=2
时，
39 / 545
原式==
，
故选：A．
7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m
B．15m
C．20m
D．22.5m
【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则
解得
，
所以x=﹣==15（m）．
故选：B．
8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6） 40 / 545
时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①②③④
【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ＞ ∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）
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【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH=2×2﹣ ﹣×1×1=AH•NP，
=PN，
PN=，
Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC=
=＞0.6，
=
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
10．（2分）若
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥0 ．
【解答】解：由题意可知：x≥0．
故答案为：x≥0．
11．（2分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a= 1 ，b= 2 ，c= ﹣1 ．
【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），
∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，
故答案为：1；2；﹣1．
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=
，∠CAD=30°，∠ACD=50°，12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，
则∠ADB= 70° ．
=
，∠CAD=30°，
【解答】解：∵
∴∠CAD=∠CAB=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．
故答案为：70°．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为
．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠FAE=∠FCD，
又∵∠AFE=∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴==2．
∵AC=
=5，
∴CF=
•AC=×5=．
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故答案为：．
14．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数
线路
A
B
C
59
50
45
151
50
265
166
122
167
124
278
23
500
500
500
30≤t≤35
35＜t≤40
40＜t≤45
45＜t≤50
合计
早高峰期间，乘坐 C （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，
B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，
C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，
∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，
故答案为：C．
15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两四人船（限乘四六人船（限乘六八人船（限乘八人）
每船租金（元/90
人）
100
44 / 545
人）
130
人）
150 小时）
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 380 元．
【解答】解：∵共有18人，
当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，
当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，
∴租船费用为100×4+90=490元，
当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，
当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，
∴租船费用150×2+90=390元
当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+130+150=380元
∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390＞380，
∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，
故答案为：380．
16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第 3 ．
【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创 45 / 545
新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3
故答案为：3
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
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（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= AP ，CB= CQ ，
∴PQ∥l（ 三角形中位线定理 ）（填推理的依据）．
【解答】（1）解：直线PQ如图所示；
（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴PQ∥l（三角形中位线定理）．
故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；
18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣
+|﹣1|
【解答】解：原式=4×+1﹣3
+1
=﹣
+2．
＞
19．（5分）解不等式组：
＞
＞ ①
【解答】解：
＞ ②
∵解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
20．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【解答】解：（1）a≠0，
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△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，
∵a2＞0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．
21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=
，BD=2，求OE的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
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∵BD=2，
∴OB=BD=1，
在Rt△AOB中，AB=
，OB=1，
∴OA=
=2，
∴OE=OA=2．
22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．
【解答】解：（1）连接OC，OD，
∴OC=OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP=∠OCP=90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，
，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴∠DOP=∠COP，
∵OD=OC，
∴OP⊥CD；
（2）如图，连接OD，OC，
∴OA=OD=OC=OB=2，
∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，
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