2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析

2023年12月11日发(作者：数学试卷规范书写范本)

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。请考生注意以下事项：

1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。

2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合$A=x-2

A。${2}$。B。${2,3}$。C。$varnothing$。D。${3,4}$

2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）

A。$6-2i$。B。$4-2i$。C。$6+2i$。D。$4+2i$

3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A。2.B。2$sqrt{2}$。C。4.D。4$sqrt{2}$

4.下列区间中，函数$f(x)=7sinleft(x-dfrac{pi}{6}right)$单调递增的区间是（）

A。$left(0,dfrac{pi}{2}right)$。B。$left(dfrac{pi}{2},piright)$。C。$left(dfrac{3pi}{2},2piright)$。D。$left(dfrac{pi}{2},dfrac{3pi}{2}right)$

5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1cdot MF_2$的最大值为（）

A。13

6.若$tantheta=-2$，则$dfrac{sintheta(1+sin^2theta)}{sintheta+costheta}$的值为（）

D。$dfrac{6}{5}$

7.若过点$(a,b)$可以作曲线$y=e^x$的两条切线，则（）

___

MF 2

3，又因为T在直线x17上，所以T的坐标为(17,3)。

设直线AB的斜率为k1，直线PQ的斜率为k2，则直线AB的方程为y3y3k2x17TBk1。

TPy3y3TQ，所以有

2

2

x17，直线PQ的方程为由于TAxx

xx

即

k1k22y3y32

2

1。

k20. 所以k1故选C.

___非选择题：

21.（1）解析：

设F2的坐标为(x,y)，则有

x12y2289。 x

y2

代入第一个方程得

y2

解得y或(4,2)。

17,0)，所以C的方程为

4)2(02)2

2或y2，代回第二个方程得F2的坐标为(4,2)y217

因为F1的坐标为(x

即

x17)2y2405.

17)2y2(17故C的方程为(x2）解析：

17)2y2405.

设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则有

x12

y12

y2

x2 即

y22x17y1.

设点P的坐标为(x3,y3)，点Q的坐标为(x4,y4)，则有

x3x4

2

y3y4

2

即

y42x17y3.

因为TATBTPTQ，所以有x1x2)2(y1y2)2

x3x4)2(y3y4)2

x1x3)2(y1y3)2

x2x4)2(y2y4)2

即

x1x2)2(y1y2)2

x3x4)2(y3y4)2

x1x3)2(y1y3)2

x2x4)2(y2y4)2

代入各点坐标得

x1x2)2(y1y2)2

x3x4)2(2x17y3y4)2

x1x3)2(y1y3)2

x2x4)2(2x17y2y4)2

即

x1x2)2(y1y2)2

x3x4)2(y3y4)24(x

17)24(y3y4)2x34

x1x3)2(y1y3)2

x2x4)2(y2y4)24(x17)24(y2y4)2x34 即

x1x317)2

x1x2

代入各点坐标得

x1x3

x1x2

即

x1x3

x2)2x4)2(y116x2y2)2

136x2898xy38xy44y3y4

x3)2x4)2(y1y3)2

8x(y2y4)4y2y4

x2)2x4)2(y1y2)2

8x(y3y4)4y3y4

x3)2x4)2(y1(y2y3)2

y4)24(x17)28x(y2y4)4y2y4

x2)2x4)2(y1(y3y2)2

y4)2y4)4(x

8x(y34y3y4

4(2x17)24(2x17)2x1x3)2x2x4)2

即

x1x2)2x3x4)2

x1x3)2x2x4)2

即

x1x2)2x3x4)2

x1x3)2x2x4)2

即

x1x2)2x3x4)2(y1y3)2

16x2136x2898xy28xy44y2y4

(y1y2)2

8x268x1444xy34xy42y3y4

(y1y3)2

8x268x1444xy24xy42y2y4

(y1y2)2

2(x2x4)(x1x3)2(y2y4)(y1y3)

(y1y3)2

2(x2x4)(x1x3)2(y2y4)(y1y3)

(y1y2)2

2(x2x4)(x1x3)2(y2y4)(y1y3) x1x2x3)2x4)2(y1y3)2

x3)2(y2y4)(y1y3) 2(x2x4)(x1

整理得

x1x2)22(x1x3)(x2y4)

x3x4)22(x1x3)(x2y4)

0。

即

x1x2x3x4)2(y1x3x4)22(x1x3)(x2x3)2(y2y4)(y1y3)

0。

即

x1x2x3x4)2(y1x3x4)2(x1x3x2y4)2

0.

x4)(y1y2)2x4)(y3y4)2y2y3y4)2

x4)(y3y4)2y2y3y4)2

x4)2(y3y4)22(y1y3)(y22(y1y3)(y22(x2x4)(x1(y1y3y2因为点A，B，P，Q在C上，所以它们的坐标都满足C的方程。

代入C的方程得

x1x2x3x417)217)217)217)2y12y22y32y42405。

405。

405。

405。

代入上面的等式得

x1

x3x4)2(x1

x2x3x4)2(y1y2y3y4)2

A。一般地，设事件A发生的概率为P(A)，则事件A不发生的概率为1-P(A)，故A正确；

B。事件A和事件B的和事件发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，故B错误；

C。事件A和事件B的积事件发生的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，故C正确；

D。事件A和事件B互不相容，即它们不可能同时发生，故P(A∩B)=0，故D正确； 综上所述，选AC。

22A项，根据题意可知OP1=(cosα,sinα)，OP2=(cosβ,-sinβ)，所以|OP1|=cosα+sinα=1.C项，由题意得：|OP2|=cos2β+(-sinβ)2=1，故|OP1|=|OP2|，正确。OA·OP3=1·cos(α+β)+0·sin(α+β)=cos(α+β)，OP1·OP2=cosα·cosβ+sinα·(-sinβ)=cos(α+β)，正确。故选AC。

解析：圆(x-5)+(y-5)=16的圆心为M(5,5)，半径为4，直线AB的方程为x/2+y/4=1，即x+2y-4=0，圆心M到直线AB的距离为|5+2*5-4|/√(1^2+2^2)=11/√5>4，所以，点P到直线AB的距离的最小值为11/√5.如下图所示：

此时，A选项-4<11/√5<2，最大值为9.当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=BP=√(5^2+2^2)=√29，MP=4，由勾股定理可得BM-MP=3，CD选项正确。故选ACD。

解析：易知，点P在矩形BCC1B1内部（含边界）。对于B，当μ=1时，BP=λBC+BB1=BB1+λBC，故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1//BC，B1C1//平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确。对于D，当μ=1/2时，BP=BM+λMN，BP=λBC+BB1，取BB1=3，MN中点为M,N，设P(x,y)，因为A(3,1)，所以AP=√(x-3)^2+(y-1)^2，B(0,0)，所以BP=√x^2+y^2，C1(3,0)，所以PC1=|x-3|，由勾股定理可得BM=√(3^2+1^2)=√10，MN=√(3^2+2^2)=√13，BC=√(3^2+1^2+2^2)=√14，故BM-MN=√10-√13，BP-PC1=√x^2+y^2-|x-3|，当√10-√13=√x^2+y^2-|x-3|时，P在直线MN上，此时P与N重合，故D正确。故选BD。

三、填空题：

13.1

解析：因为f(x)=x^3(a·2x-2-x)，故f(-x)=-x^3(a·2+2x-x)，因为f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，所以a·2=2，解得a=1.

题目：求解数学问题

首先，我们可以将题目中的数学式子进行简化和推导，得到：

S = 1/2 + 2/3 + 3/4 +。+ n/(n+1)

S = [(1/2) + (2/3)] + [(3/4) + (4/5)] +。+ [((n-1)/n) +

(n/(n+1))]

S = 3/2 + 7/4 +。+ [(2n-1)/n] + [n/(n+1)]

S = 1/2 + 1/4 +。+ 1/(2n) + 1/(n+1)

接下来，我们可以按照题目要求，将每段话进行小幅度改写：

首先，我们对题目中的数学式子进行了简化和推导，得到了一个新的式子，即S = 1/2 + 2/3 + 3/4 +。+ n/(n+1)。

然后，我们将这个式子进一步转化，得到S = [(1/2) +

(2/3)] + [(3/4) + (4/5)] +。+ [((n-1)/n) + (n/(n+1))]。 接着，我们对___进行了再次转化，得到S = 3/2 + 7/4 +。+ [(2n-1)/n] + [n/(n+1)]。

最后，我们将___进行了最终的简化，得到S = 1/2 + 1/4 +。+ 1/(2n) + 1/(n+1)。

在解答题方面，我们需要分别解答两个问题。对于第一个问题，我们可以根据题目中的条件，得到b1=2，b2=5，然后利用递推公式b(n+1) = b(n) + 3，得到b(n) = 3n-1.因此，答案为5.

对于第二个问题，我们可以先求出S20的值，然后根据题目中的条件，得到a1=a2-1，a3=a4-1，进而得到S20=2(a2+a4+。+a20)-10.接着，我们可以根据递推公式a(2k+2)

= a(2k+1) + 1，a(2k+1) = a(2k) + 2，得到a(2k+2) = a(2k) + 3，进而得到b(n+1) = b(n) + 3.因此，答案为300.