柯西不等式高中公式

2024年1月8日发(作者：绵阳市高三一诊数学试卷)

柯西不等式高中公式

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步。

基本信息

中文名:柯西不等式

外文名:Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Inequality

应用学科:数学

适用领域范围:数学-积分学

推广者:维克托·布尼亚科夫斯基

提出时间:18世纪

提出者:奥古斯丁·路易·柯西

柯西不等式[1]是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以

(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...（平方的和的乘积不小于乘积的和的平方）

|a|*|b|≥|a*b|,a=（x1，y1），b=（x2，y2）

(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]

(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

等号成立条件：ad=bc

注：“√”表示根

|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2

等号成立条件：a1：b1=a2:b2=…=an：bn，或ai、bi均为零。

上述不等式等同于图片中的不等式。

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和)

√E(X)√E(Y)≥∣E(XY)∣

(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)

=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²

=a²·c²+2abcd+b²·d²+a²·d²－2abcd+b²·c²

=(ac+bd)²+(ad－bc)²

≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]

证明：[√(a²+b²)+√(c²+d²)]²=a²+b²+c²+d²+2·√(a²+b²)·√(c²+d²)

≥a²+b²+c²+d²+2|ac+bd|

≥a²+b²+c²+d²+2(ac+bd)

=a²+2ac+c²+b²+2bd+d²

=(a+c)²+(b+d)²

两边开根号即得√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]

注：||表示绝对值。

令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤1

∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)

注：“√”表示平方根。

(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2

证明：

等式左边=(ai·bj+aj·bi)+....................共n2/2项

等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2/2项

用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证

其中，当且仅当ai:bi=aj:bj(i,j∈[1,n])

推广形式为(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

证明如下

记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….

由平均值不等式得

(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

上述m个不等式叠加得

1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…

即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…

即A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

因此，不等式(*)成立.

（注：推广形式即为卡尔松不等式）

设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数

则(a1b1+a2b2+...+anbn)①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立。

注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

∵a、b、c均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=3(1+1+1)∴只需证：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥3(1+1+1)=9

又∵a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

求某些函数最值

例：求函数y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。（注：“√”表示平方根）

函数的定义域为[5,9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2;+4^2;)×√{[√(x－5)]^2;+[√(9－x)]^2;}=5×2=10

函数仅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44时取到。

柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为力学奠定了严格的理论基础。