2024年1月10日发(作者：自己在家出题语文试卷和数学试卷)
（尖子生培优）集合问题（容斥原理）
三年级数学思维拓展
有的放矢
集合问题，也是思维拓展中比较常见的题型之一，又称为容斥原理问题。
生活中计算事物数目时常常会遇到重复的数目，那么直接相加的结果比实际数目大了，要把重复计算过的数目减去才是实际数目，这样的数学问题被称为重叠问题（或容斥问题），解决重叠问题需要用到容斥原理。
解答容斥问题首先要确定采用怎样的分类标准，找到重复的事物及重复的次数，再运用容斥原理进行解题，解题时可根据题意画出示意图帮助思考。
容斥原理一：当两个计数事物数目有重复时，为了不重复地计数，应从他们的和中减去重复部分。如果用A和B分别表示两个计数事物的数目，用AB表示他们重复的数目，则有：总数＝A＋B－AB。
容斥原理二：如果采用三种不同的分类标准，用A、B、C分别表示三种分类事物的数目，用AB、BC、AC和ABC分别表示他们重复的数目，则有总数＝A＋B＋C－（AB＋BC＋AC）＋ABC
解题时可以从已知条件进行分析，画出集合图，计算总数时，为了不重复计算，应从它们的和中减去重叠部分。
能力巩固提升
1．某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？
2．一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？
3．某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？
4．三（1）班在喜欢吃的水果中，每人至少选了一种．喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有25人，两种都喜欢的有9人，三（1）班一共有几人？
5．学校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？
6．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？
7．三（4）班同学在本学期的期中考试中，有36人数学获得优秀，有29人语文获得优秀，有28人语文和数学都获得了优秀，同时有9人语文数学都没有获得优秀，三（4）班总共有多少学生？
8．对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人。两项都会的有10人，两项都不会的有9人。这个班一共有多少人？
9．五（2）班有48人，在学校举行的社团活动中，参加舞蹈社的有29人，参加美术社的有25人，两个社团都没参加的有3人，既参加舞蹈社又参加美术社的有多少人？
10．四（1）班有26位同学参加了“小记者”兴趣小组，有25位同学参加了“小主持人”兴趣小组，有6位同学既参加了“小记者”兴趣小组，又参加了“小主持人”兴趣小组，其余的5位同学参加了其他兴趣小组．四（1）班共有多少人？
11．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？
12．某一个班共有学生50人，参加文艺活动的有28人，参加体育活动的有30人，并且全班每人至少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？
13．在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分．如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？
14．把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？
15．一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，两种小组都参加的有多少人？
16．六（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球．全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有多少人？
综合拔高拓展
17．佳园小学三年级共有180名学生，在一天里看中央台电视节目的有100人，看地方台电视节目的有110人，两个都看的有40人．
（1）只看地方台，没看中央台的学生有多少人？
（2）地方台与中央台的节目都没看的学生有多少人？
18．张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了100次，有43次没投进，已知张宏和王刚一共投进了32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次？
19．某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
20．在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕。问：
（1）三种都带了的有几人？
（2）只带了一种的有几个？
21．某班共有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓球，那么四项活动都会的至少有多少人？
22．50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？
23．科技活动小组有55人。在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现:制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人。每个同学都至少完成了一项制作。问两项制作都完成的同学有多少人？
24．某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀．这部分达到优秀的项目、人数如下表：
短跑
游泳
篮球
17 18 15
短跑
游泳
篮球
短跑、游
游泳
篮球
短跑
泳、篮球
6 6 5 2
请问：这个班有多少名学生？
25．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券。按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3只铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？
26．某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
27．在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？
28．三年级二班订《米老鼠》的有24人，订《智力大王》的有22人，全班每人至少订了这两种期刊中的一种，两种都订的有4人．三年级二班一共有多少人？
29．某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
30．学校文艺队的成员每人至少会演奏一种乐器．会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，这两种乐器都会演奏的有8人，至少会演奏其中一种乐器的一共有多少人？
31．甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃。那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
32．某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？
33．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
参考答案
1．6人
【分析】如图，长方形表示总人数，左圆表示做对第一部分的人数，右圆表示做对第二部分的人数，重叠部分表示两部分都做对的人数，其余部分表示两部分都做错的人数，其中，重叠部分是12人。
【详解】如图所示：
25−12=13（人）
只做对第一部分的有13人；
19−13=6（人）
两部分都有错的有6人；
答：两部分都有错的有6人。
【点睛】本题考查的是包含与排除的问题，求解此类问题最有效的方法是画韦恩图。
2．29人
【分析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数．解答这类问题最好先画图，它可以帮助我们分析数量关
系．
【详解】解：设两项比赛都参加的有X人，那么
（37+40）-X=48
X=29
【点睛】一般地，假设具有性质A的事物（人）有XA个，具有性质B的事物（人）有XB个，既具有性质A，又具有性质B的事物（人）有XAB个，至少具有A、B中一种性质的事物（人）有X个，那么：X=（XA＋XB）-XAB．这个关系式可用下图来表示：
这个示意图直观形象地揭示了包含排除原理，同时也为计算一些组合图形的面积提供了另一种思路．
3．22人
【分析】题目中未知数为只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以建议使用方程法解出．注意题目中要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，而不是订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以应该先求出订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，然后再减去三项都订的人数即可．
【详解】
设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有x人
120-85-90-70+62+46+x-21=5
解得x=43
43-21=22
答：只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数为22人．
【点睛】1，此题中未知的是参加两项的人数，选用列方程的方法会让数据关系更清晰．
2，注意题目要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，这不是容斥原理公式中涉及的部分，所以不能直接求出，而应该根据韦恩图中的关系间接求出．
4．36人
【分析】根据“喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有25人”可得两者的总人数：20+25=45人，这其中把两种都喜欢的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得三（1）班一共有：45﹣9=36（人），据此解答即可．
【详解】20+25﹣9
=45﹣9
=36（人）
答：三（1）班一共有36人．
5．8幅
【分析】其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18幅；20幅不是五年级的，就是说一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16幅．从而可以求出一至四年级共展出16÷2=8幅．
【详解】解：18+20=38（幅）
38-22=16（幅）
16÷2=8（幅）
答：其他年级共展出8幅．
6．10人
【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，可以画出韦恩图，根据条件对应逐一填入，然后直接运用公式将未知求出．
【详解】
解法一：如图，设三个班都报的同学为x人
140+120+60－60－40－30+x=200
解得x=10
答：共有10人三个班都报了．
解法二： 200－（140+120+60－60－40－30）=10（人）．
7．46人
【分析】根据“有36人数学获得优秀，有29人语文获得优秀”可知：36+29=65人包括三部分：只获得数学优秀的人数、只获得语文优秀的人数、两项都获得优秀的人数，所以获得数学优秀和获得语文优秀的总人数是：36+29﹣28=37（人），然后再加上语文数学都没有获得优秀的9人就是总人数，据此解答．
【详解】36+29﹣28+9
=65﹣28+9
=37+9
=46（人）
答：三（4）班总共有学生46人．
8．44人
【分析】如图，用长方形表示全班人数，分别表示会游泳的人数、会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数，中间重叠部分表示两项都会的人数。
【详解】如图所示：
20+25−10=35（人）
44（人）
全班人数为：35+9=答：这个班一共有44人。
【点睛】本题考查的是两个量的容斥问题，至少会一项的人数加上两项都不会的人数，得到总人数。
9．解：29+25-(48-3)
=54-45
=9(人)
答：即参加舞蹈社又参加美术社的有9人．
【详解】即参加舞蹈社又参加美术社的人数是重复计数的，用参加舞蹈社的人数与参加美术社的人数和减去参加社团活动的总人数(48-3)即可求出两项都参加的人数．
10．50人．
【详解】试题分析：根据题干，把参加“小记者”兴趣小组的人数与参加“小主持人”兴趣小组的人数相加，这样两个小组都参加的就多算了一次，再减去两个小组都参加的人数，即可求出“小记者”兴趣小组和参加“小主持人”兴趣小组至少参加一个的人数，然后再加上其它兴趣小组的人数就是总人数．
解：（26+25﹣6）+5
=45+5
=50（人）
答：四（1）班一共有50人．
【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，找出重复数了两次的人数，是解答此题的关键．
11．59盏
【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的，先分别求出3的倍数的个数，5的倍数的个数，以及3和5的公倍数的个数，然后求出没有拉过的灯的个数，加上拉了两次的灯的数量，得到最终亮着的个数。
331
【详解】100÷3=第一次拉了33盏；
100÷5=20（盏）
第二次拉了20盏；
3×5=15
100÷15=610
两次都拉的有6盏；
33+20−6=47（盏）
被拉过的有47盏；
100−47=53（盏）
没有被拉过的有53盏；
59（盏）
最后亮着的灯一共为53+6=答：亮着的灯还有59盏。
【点睛】本题考查的是二元容斥问题，并且与奇偶性的问题相结合，可以利用韦恩图求解。
12．8人
【分析】参加体育活动的30人加上参加文艺活动的28人是：30+28=58人，比全班的总人数50人还多出：58－50=8人，这里的8个人就是因为被重复统计了一次，也就是两项活动都参加的人数．
【详解】解：30+28=58人
58－50=8人
答：这个班两项活动都参加的人数有8人．
13．28段
【详解】解：由于木棍的端点处没有刻度线，所以，这三种刻度线分别有10-1=9（条），，12-1=11（条）15-1=14（条），不妨设木棍长为60厘米．那么，与三种刻度线相对应的每一份长分别是：60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），60÷15=4（厘米）．根据5和6的最小公倍数是30，可算出第一、第二种刻度线重复的条数是60÷30-1=1（条），用同样的方法可以求出：另两种重复的刻度线分别有2条、4条．
（9＋11＋14-1-2-4）＋1=28（段）
14．57厘米
【解析】两根铁条焊接成一根铁条，有一个焊缝，两根铁条的总长度减去焊缝的长度，得到焊接后这根铁条的长度。
57（厘米）
【详解】23+37−3=答：焊接后这根铁条长57厘米。
【点睛】本题考查的是基础的容斥问题，注意将n根铁条焊接成一根铁条，有n－1个焊缝。
15．18人
【详解】至少参加其中一种的人数：42-5=37（人）
既参加合唱又参加美术的人数：30+25-37=18（人）
答：两种小组都参加的有18人．
16．42人
【详解】
37+26-21=42（人）
答：全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有42人．
17．（1）70人（2）10人
【详解】（1）110-40=70（人）（2）100+110-40=170（人）180-170=10（人）
18．21次
【分析】三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进100-43=57次．张宏和王刚、王刚和李立共投进的次数为32+46=78次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投进的次数，从中减去共投进的次数，就是王刚投进的次数，列式为78-57=21次，所以王刚投进了21次．
【详解】解：100-43=57（次）
32+46=78（次）
78-57=21（次）
答:
王刚投进了21次．
19．16人
【分析】可以求出至少参加美术小组或音乐小组其中一个的人数，然后用总人数减去至少参加一个小组的人数，得到两个小组都没有参加的人数。
30（人）
【详解】12+23−5=46−30=16（人）
答：既没参加美术小组也没参加音乐小组的有16人。
【点睛】本题考查的是两个量的容斥问题，可以利用韦恩图表示各个量的关系，便于求解问题。
20．（1）0人
（2）4人
【分析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人；根据包含排除法，总人数＝（带汉堡的人数＋带鸡腿的人数＋带芝士蛋糕的人数）－（带汉堡、鸡腿的人数＋带汉堡、芝士蛋糕的人数＋带鸡腿、芝士蛋糕的人数）＋三种都带了的人数。
【详解】如图所示：
（1）10+(3+2+1)−(6+6+4)
=10+6−16
=0（人）
答：三种都带了的有0人。
（2）求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数；
10−3−2−1=4（人）
答：只带了一种的有4人。
【点睛】本题考查的是基础的三元容斥问题，首先画图表示出各部分的数量，任何再根据各部分之间的关系求解问题，注意区分各部分的重叠次数。
21．50－35＝15(人)
50－38＝12(人)
50－40＝10(人)
50－46＝4(人)
15＋12＋10＋4＝41(人)
50－41＝9(人)
四项活动都会的至少有9人．
【详解】略
22．38名
【分析】转0次和转2次的学生最终是面向老师的，分别求出这两类学生的数量，相加得到面向老师的同学的数量。
【详解】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：
第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数。
50501～50之间，4的倍数有＝12，6的倍数有＝8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍4650数，所以有＝4。于是，第一类同学有50－12－8＋4＝34人，第二类同学有4人，所以现在共有3412＋4＝38名同学面向老师。
答：现在面向老师的同学还有38名。
【点睛】本题考查的是二元容斥问题，同时结合了奇偶性的实际应用。
23．17人
【分析】每个同学都至少完成了一项制作，40与32的和大于55，显然有一些学生完成了两项制作，而总人数只有55人，多出来的部分即为完成两项制作的人数。
【详解】如图所示：
40+32=72（人）
72−55=17（人）
答：两项制作都完成的同学有17人。
【点睛】本题考查的是两个量的容斥问题，画韦恩图可以方便理解问题。
24．39人
【分析】如图所示，图中分成8个部分：
G=短跑游泳篮球三项优秀人数=2
D=只有短跑游泳两项优秀人数=短跑、游泳优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4
E=只有游泳篮球两项优秀人数=游泳、篮球优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4
F=只有篮球短跑两项优秀人数=篮球、短跑优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=5-2=3
A=只有短跑一项优秀人数=短跑优秀人数-（D+G+F）=17-（4+2+3）=8
B=只有游泳一项优秀人数=游泳优秀人数-（D+G+E）=18-（4+2+4）=8
C=只有篮球一项优秀人数=篮球优秀人数-（E+G+F）=15-（4+2+3）=6
H=三个项目均未达到优秀人数=4；
所以
A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39
【详解】解：17+18+15-（6+6+5）+2=35（人）
35+4=39（人）
答：这个班有39名学生．
25．232支
【分析】用“100÷2”求出2的倍数的个数，用“100÷3”求出3的倍数的个数，用“100÷6”求出6的倍数的个数，进而求出2、3的倍数的个数和，然后求出其它号码的个数，继而分别求出标签号为2的倍数所奖铅笔的只数，标签号为3的倍数所奖铅笔的只数，标签号既是2的倍数，又是3的倍数所奖铅笔的只数及其它号码所奖铅笔的只数，然后相加即可。
【详解】2的倍数有：100÷ 2＝ 50（个），奖励50×2＝ 100（支）。
3的倍数有：100 ÷ 3＝ 33（个），奖励33×3＝ 99（支）。
6的倍数有：100 ÷6＝ 16（个），
2、3的倍数个数和： 50
＋ 33－ 16＝ 67（个），
其它号码：100－ 67＝ 33（个），奖励铅笔33支，
共需铅笔：100＋ 99
＋ 33＝ 232（支）；
答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。
【点睛】求出其它号码的数量，进而求出其它号码所奖铅笔的只数，是解答此题的关键。
26．三个兴趣小组都没有参加的有14人
【详解】试题分析：此题属于三者容斥原理，根据公式A∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，所以A∪B∪C=135﹣15﹣
10﹣8+4=106（人），都没参加的有120﹣106=14（人），据此解答．
解答：解：根据公式A∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，
这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，
所以A∪B∪C=135﹣15﹣10﹣8+4=106（人），
都没参加的有120﹣106=14（人），
答：三个兴趣小组都没有参加的有14人．
点评：此题考查了三者容斥原理公式的运用．
27．15人
【分析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数，长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数。
【详解】如图所示：
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：
46−6=40（人）
只采了杏的人数为：
40−18−7=15（人）
答：只采了杏的有15人。
【点睛】本题考查的是容斥问题，可以先画韦恩图表示各个量之间的关系，然后再计算各部分的数量是多少。
28．42人
【详解】试题分析：订《米老鼠》的有24人，订《智力大王》的有22人，则24+22=46人中有4人被加了两次，实际订报刊的人数是46﹣4=42人，也就是三年级二班一共有42人．
解：24+22﹣4
=46﹣4
=42（人）
答：三年级二班一共有42人．
【点评】本题解答依据是容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
29．三个兴趣小组都没有参加的有14人
【详解】试题分析：此题属于三者容斥原理，根据公式A∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，所以A∪B∪C=135﹣15﹣10﹣8+4=106（人），都没参加的有120﹣106=14（人），据此解答．
AB解答：解：根据公式∪∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，
这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，
所以A∪B∪C=135﹣15﹣10﹣8+4=106（人），
都没参加的有120﹣106=14（人），
答：三个兴趣小组都没有参加的有14人．
点评：此题考查了三者容斥原理公式的运用．
30．33人
【详解】24+17-8=33（人）
31．22块；38块；30块
【分析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52
块玻璃是甲、丙两组擦的；且甲组与乙组一共擦了60
块玻璃，利用三个量之间的关系求解。
60（块）
【详解】68+52−60=这是两个丙组擦的玻璃数；
60÷2=30（块）
38（块）
丙组擦了30块玻璃，乙组擦了：68−30=22（块）玻璃；
甲组擦了：52−30=
答：甲组擦了22块，乙组擦了38块，丙组擦了30块。
【点睛】68、52、60的和相当于是甲、乙、丙数量的2倍，也可以先求出甲、乙、丙数量之和，再分别计算各自的数量。
32．3人
【分析】此题为基本计算题，一种外语也不会的人可以直接利用公式变形算出，只会一种外语的人数应该
要用间接法求出．
【详解】解法一：只会一种外语的人数为：6+5+5-（3+2+2）×2+1×3=5（人）
一种外语也不会的人数为12-（6+5+5-3-2-2+1）=2（人）
所以只会一种外语的人比一种外语也不会的人多5-2=3（人）．
解法二：用分块计数法如下图可知，只会一种外语的有2+2+1=5人，一种也不会的有2人．所求答案是5-2=3人．
33．45人
【分析】如图，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分
（阴影部分）表示同时参加两个小组的人，两个圆覆盖的总面积表示参加了语文或数学兴趣小组的人数。
【详解】如图所示：
28+29−12=45（人）
答：这个班有45人参加了语文或数学兴趣小组。
【点睛】本题考查的是二元容斥问题，也可以求出只参加语文兴趣小组的人数、只参加数学兴趣小组的人数、两个小组都参加的人数，相加得到参加了语文或数学兴趣小组的人数。
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人数,参加,问题
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