2023年12月2日发(作者：中山励志联考数学试卷)
北京大学高等数学
A
期末考试试卷
2016~2017学年第
2
学期 考试科目：高等数学
A
考试类型：(闭卷)考试 考试时间：
120
分钟
学号 姓名 年级专业
题号
一
二
三
四 总分
得分
评阅人
得分
、填空题(本大题共
5小题，每小题
3分，共15分)
1．二元函数
z ln(y2 2x 1)
的定义域为 。
2.
设向量
a (2,1,2)
，b (4, 1,10)
，
c b a，且
a c，则
3．经过(4,0, 2)和(5,1,7)且平行于
x轴的平面方程为 。4．设
u x
，则
du
。
1
5．级数
( 1)n 1p
，当
p
满足 条件时级数条件收敛。
n 1
n
得分
二、单项选择题 (本大题共
5小题，每小题
3分，共
15分)
1．微分方程
2(xy x)y\' y的通解是 ( )
2 2x
B．
y Ce
A．
y Ce2x
22yC．
y
e
2yCx
D．
e
Cxy
2．求极
lim 2 xy 4
(
限
(x,y)
xy
1
(0,0)
1 1 1
A．
4
B．
2
C．4
D．2
3．直线
:
x y
z
和平面
:3x 2y 7z 8 0
的位置关系是 (
L
32 7
)
)
A．直线
L
平行于平面
B．直线
L在平面 上
得分
C．直线
L
垂直于平面
224．D
是闭区域
{( x, y)|a x
22则
x yd
3 3
D．直线
L
与平面 斜交
22y b}
，D
2
3 3
4
3 3
A
．
(b a ) B．
(b a ) C．
(b a )
2 3 3 5．下列级数收敛的是
1 1 n 1
A
n 1
(n 1)(n 4)
n 1
n 1
n 1
2n 1
．D．
(b
a)
2
33311B．
2nC．
1
D．
n1
1
3
n(n
1)
三、计算题(本大题共
7小题，每小题
7分，共49分)
1.
求微分方程
y\' y e满足初始条件
x 0，
y 2的特解。
xxy
2.
计算二重积分
2 2 dxdy
，其中
D {( x, y) x2
y2
1,x y 1}
D
x y
3．设
z z(x,y)为方程
2sin( x 2y 3z) x 4y 3z确定的隐函数，求
xy 4.求曲线积分
(x y)dx (x y)dy
，其中
L沿x2 y2 a2(x 0, y 0)
，逆时针方
L
向。
5.
计算
y
1 x
y
dxdy
，其中
D是由
y x，x 1及
y 1所围成的区域
5263D
n6．判断级数
( 1) n 1
的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛
n 1
n 1 n
7．将函数
(1 x)(2 x)展开成
x的幂级数，并求其成立的区间
得分
四、解答题 (本大题共
3
小题，每小题
7
分，共
21
分)
1．抛物面
z x y
被平面
x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长22与 最短距离。 2.
求幂级数
( 1) nxnn
的和函数
n 1
(n 1)!
3.
设函数
f(x)和
g (x)有连续导数，且
f (0) 1，
g(0) 0
，上任意简
单光滑闭曲线， 取逆时针方向，
L
围成的平面区域为
D
L
xydx [yf(x) g(x)]dy yg(x)d
，
D
求
f (x)和
g(x)
。
L为平面 ，已知
1.5CM
参考答案
一、填空题(本大题共
5小题，每小题
3分，共15分)
1．{( x,y)|y2 2x 1 0}
2．3
3．9y z 2 0
4．
yzxyz 1dx zxyz ln xdy yxyz ln xdz
5．0 p 1
二、单项选择题 (本大题共
5小题，每小题
3分，共
15分)
1．C 2．C 3．C 4．B 5．
A
三、计算题(本大题共
7小题，每小题
7分，共49分)
1.
求微分方程
y\' y ex满足初始条件
x 0，
y 2的特解。
解：先求
y\' y 0的通解，得
y C1e
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
分 采用常数变易法，设
y h(x)e
x，得
y\' h\'(x)e
x h(x)e
x⋯⋯⋯3
分 代得入原方程得h(x)
1e2x C
h\'(x)e
⋯⋯⋯⋯⋯⋯x h(x)e
5
分
x h(x)e
x ex
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
2
故通解为
y
1ex Ce
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
将初始条件2
x 0，y 2带入得C
32，故特解为
y
1x 3x2e2e
2.
计算二重积分
xy222
2 dxdy
，其中
D {( x,y):x y
1,x y 1}
D
x y
解：设
x r cos , y r 1分
sin
sin cos3分
所以
x2
y2
dxdy
2
d
r cos r sin
2
2D xy
sin cos
rdr
5分
2
(sin cos 1)d
6分
4
7分
7分
。 3.
设
z z(x, y)为方程
2sin( x 2y 3z) x 4y 3z
确定的隐函数，求
xy
解：设
F ( x, y, z) x 4y 3z 2sin( x 2y 3z)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
分
Fx
1 2cos( x 2y 3z), Fy
4 4cos( x 2y 3z), Fz
3 6cos( x 2y 3z)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4
分
z Fx
2cos(x 2y 3z) 1
x Fz
3[1 2cos( x 2y 3z)]
所以
zz
z
y
F4cos(x 2y 3z) 4
Fz
3[1 2cos(x 2y 3z)]
y
6分
7分
xy
4.
求曲线积分
(x y)dx (x y) dy，其中
L沿
x2 y2 a2(x 0,y 0)
，逆时针
L
方向。
解：圆的参数方程为：
x acost , y a sint (0 t )
⋯⋯⋯⋯⋯
1分
2
(x y)dx (x y)dy
0
(a cost a sin t )da cost
0
(a cost a sin t)da
sint
⋯⋯3
分
L
22a (cos 2t sin 2t )dt
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4
分
2 2a2
2[sin 2t cos2t]0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6
分
2
a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7
分
(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)
5.
计算
y5
1 x2
y6dxdy
，其中
D是由
y
3 x，x 1及y 1所围成的区域。
D
3解：D {(x,y)| x y 1, 1 x 1}
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
2
D
5y
21 xy
dxdy
61
1dx
ydy
62分
4分
1
1
3
(|x|35分
9 1
1)dx
1
3
36
0(x
1)dx
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
7
分
6.
判断级数
( 1)nn
的敛散性，并指出是条件收敛还是
n1
n1
绝对收敛
n
n 1
解( 1)
n 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
n 1 n
：
n 1 n
1分
1
(n )
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3
分
n
所以级数发散。 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4
分
又
1
n 1 n ( 1) (1
)1
n 1 n
5分
( 1)n
( 1)n 1
n (n 1) n
6分
显然，交错级数
( 1)
，
( 1)n
都收敛，所以原级数收敛。因此
n 1
n
n1
(n 1) n
是条件
收敛。 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7
分
7将函
(1 x)(2 x)
展开成
x的幂级数，并求其成立的区
.
数
间
解：
(1 x)(2 x) 1 x 2 x
2
分
1n
而
xn, |x| 1
3
1
1 x
分
1[1
n 0
x
(x2
2x222)
] (|x| 2)
4
分
所1 x x2 12[1
xx22 (2) ]
5分以
(1 x)(2
x)
(1 ) x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
n 0
2
1n1n成立范围
|x| 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7
分 四、解答题(本大题共
3
小题，每小题
7
分，共
21
分)
1.
抛物面
z x2 y2
被平面
x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最 短距离。
解：设椭圆上任一点
P的坐标为
P(x,y,z)，
P点满足抛物面和平面方程。原点
到这椭圆上任一点的距离的平方为
x2 y2 z2
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
分 构造拉格朗日函数
F x y z (x y z) (x y z 1)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
分
22222Fx
2x 2x
Fy
2y 2y
0
0
Fz
2z 0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4
分
22F x
y
z 0
F x y z 1 0
解得
x ( 1 3)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5
分
2
1得两个驻点为
P1
(
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6
分
,
2 2 2
1 31 3,2
2 2
3), P2
(
1 3,
2 2
1 3,2
2
3)
所以最短距离为
9 5 3
，最短距离为
9 5 3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7
分
2.
求幂级数
解：因为
ex x( 1) nxnn
的和函数
n 1
(n 1)!
nn
xn
S(x)
n0
( 1) x
，所以
e
n!
n 0
n!
n 0
nn
nn
( 1)
( 1)(n 1 1)xnx (n
(n 1)!
1)!
n0
nnn1分
2分
n n n n
( 1) x ( 1) x
n 0
n!
n 0
(n 1)!
n⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分 nn
( 1) x
x
e
n
0
n!
nnnn 1( 1)
x
1 ( 1)
x
n 0
(n 1)! xn 0
(n 1)!
n 0
(n 1)!
nn4分
1 ( 1)x
xn 0
(n 1)!
nn1 ( 1)
x
1
x
n 0
n!
1 1en 1n 1
所以
1 ( 1)
xxn 1
n!
1 1 ( 1)n
xn
x x
n 0
n!
1nn
(x 0 )⋯
5分
x
e
xx
xxS(x) e
(1 e )(x 0)
x 1x
xx(x 0)
⋯⋯6
分
故
S(x) e
(1 e )
x
S(x) 0
。
7分
当
x 0
时，
另解：
( 1)n
nxn
1 ( 1)nnxn 1
1 ( 1)n
n 1
(n
nxdx
当
x 0
时，
1)! x
n 1
(n 1)! x
n 1
(n 1)!
0
x
0 n 1
(n 1)!
x
1x
dxn 1( 1)
n 1
x0
x ( 1) x
n 1
(n 1)!
dx
nn
nn ( 1) x
dx xn 0
n!
1
x
x
x0 xe
1
x
xde
x0
1x
xx
xe e 1
IIx
3.
设函数
f(x)和g(x)有连续导数，且
f(0) 1，g(0) 0
，L为平面S(x) 0
。
当
x 0
时，
上任意简单 光滑闭曲线，取逆时针方向，
L
围成的平面区域为
II
xx
ee
xx D，已知
L
xydx [yf(x) g(x)]dy yg(x)d
，
求
f (x)和
g(x)
。
解：由格林公式得
[yf \'(x) g\'(x) x]dxdy yg(x)dxdy⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
分
DD
即
[yf \'(x) g\'(x) x yg( x)]dxdy 0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3
分
D
由于区域的任意性，
yf \'(x) g\'(x) x yg(x) 0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯又由于
y的任意性，有
f \'(x) g(x)，
g\'(x) x
⋯⋯⋯⋯⋯
2
又由
f(0) 1，g(0) 0得，
g(x)
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
2
3
所以
f (x)
x 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7
分
61226
3 1[(1 x y6)2]13
xdx
4分分
5
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