2024年1月22日发(作者：石家庄二中小升初数学试卷)

几何之约

——再版序

一般认为，平面几何中，边的处理比角来得困难，原因是边大量参与四则运算，尤其是乘法（面积）和除法（比例），角只是参与一些简单的加减法，角的乘法是没有意义的，角的除法最多只出现在极少数极简单的问题中（如小学作业中问某个角是另一个角的几倍），没什么用处。所以，如果纯粹是“捣角”（几何题中确实有大量的相等的角，它们甚至相距甚远），应该没什么难度，我一度也这么认为。

但到后来，我发现原先的这个理解是有偏颇的。

当然，捣边还是比捣角困难些，但是，“捣角”体现了平面几何的特色，而辅助线则是平面几何的魅力。并且，由于图形中一般有大量的角的存在，捣角也并不见得容易。

如果没有捣角，平面几何就基本上不复存在；当然，如果不捣边、纯捣角，平面几何也几乎不存在什么难题。

历史上有些人看到平面几何太过困难，于是他们就把几何问题代数化，也就是用四则运算（所以发明乘法和除法的人尤其伟大）来处理几何，而用四则运算做几何，就是只捣边、不捣角，而且几乎不需要辅助线。

的确，无论是三角函数、解析几何，甚至是向量或复数方法，都把角归为边的比例。

但这样一来，几何的魅力就大打折扣了，而且很多复杂的几何题采用解析法十分繁复，甚至未必做的下去！

不过，凡事一分为二，从实用的角度来说（毕竟考试时间有限），纯几何与适当的计算相结合的方法，或许更受青睐。

解析几何往往太麻烦，但适当的计算，我认为主要是面积比（共边定理）、正弦定理、余弦定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理等，从形式上看，比一般的比例线段要复杂，但肯定比解析几何要简洁，也比三角函数公式少的多，但在追求纯粹的古希腊人来看，已经不是纯几何了，所以没有被《几何原本》提及或明确提及。而这种介于纯几何和复杂计算之间的方法，恰恰又是非常有用的：既能节省时间，对几何的优美性也没有实质性的破坏。完全可以纳入纯几何的范围。

因此，我认为面积方法堪称几何计算的第一步，以三角形面积为基础，逐步得到共边定理、正弦定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理等，是几何计算的两大体系之一（另一个以勾股定理为基础，推出余弦定理、托勒密定理等），而这本书讲述的，正是这第一个计算体系——比之另一个体系，似乎更为轻便，也更为笔者所偏爱。

甚至在现今的几何机械化中，众所周知著名数学家杨路、张景中等依据的也是面积方法。

以上是一些比较具体的描述。当然，要学好几何乃至数学，大量练习以积累经验是必不可少的。我常对学生说，柯南的推理不是纯推理，更多是依据他的经验（当然推理也是有的）；数学才是真正的纯推理，但掌握这些纯推理技术，又何尝不是经验的积累？我们的大脑本来就不是一台纯推理机

器，而是“经验型”复杂体，这些经验甚至都无法言传。当热兵器如手枪、炸弹被发明出来，体格强壮的人突然就失去了优势。《专家之死》的一个主要观点是，在今天，由于人们可以很方便地得到互联网的海量信息（是否都正确姑且不论），拥有知识也不再像过去认为的那样稀缺了，结果是几乎人人的自以为是。尤其是医学、养生学等，确实也比较复杂，专家的观点也不一定准确，相互之间也会“打架”，但有一门学科绝对不是谁可以轻易染指的，那正是数学。数学当然也是一堆知识，但它是系统性联接极强的知识体系，这就不是谁搜一搜网页就可以掌握了。不难想象，在21世纪AI技术蓬勃发展之际，数学将受到越来越多的重视。

此外，大脑还关心意义、审美和信仰（这是人类高于一般动植物的地方，但也充满了困惑，因为人虽在某些方面远远胜出，但又与动物（至少是高级动物）一样有情绪，与几乎所有生命都不免生老病死，这是进化的不协调带来的）。数学是一种高级趣味。特别是几何，是迄今人类所有科学门类中真（结论可靠）与美（图形和谐）不可思议的结合体，很难以语言形容，也许在发现一个漂亮结果或找到一个巧妙方法的一刹那，你就突然感受到了。而且，几何从来都对充满兴趣和智慧的人表现出极大的慷慨，“曲尽图形变化之规律（老封语）”，从老封（叶中豪）数以千计的发现中，我们看到了他令人惊叹的想象力如何在点线世界里得以淋漓尽致的发挥，以及几何在21世纪依然勃发的生命力。

很多人喜欢问，追求这些不太实用的东西，到底为了什么？逻辑思维、空间想象力的训练固然正确，但考察一下几何学起源地古希腊，可以得到的回答更能打动我们——让灵魂获得更大的自由。

几何之美常在；几何之树长青。

既然几何乃至数学是超越时空的，那么其精神就能得以代代传承，发扬光大，古今中外的大师与爱好者之间共鸣。从某种意义上说，老封可谓是古希腊精神的传承者和实践者（实践者比鼓吹者更可贵）。

做几何的有缘人吧！我常常想，如果欧几里得在今天开讲座，老封或许有资格坐在教室里，而我向往自己能站在走廊上。

最后，感谢华师大出版社诸位老师，笔者同他们有十几年的合作，延续至今。

作者

2019.4.30于高斯诞辰日

目 录

0 几何题究竟是怎样证明的

0.1 简化图形原则

0.2 破坏对称原则

0.3 以进为退原则

0.4 重新表述原则

0.5 制造对称原则

1 三角形的面积与面积比

2 较为复杂的问题

3 不等关系与极值问题

4 面积与正弦定理

5 杂题选讲

习题解答


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