《组合数学》测试题含答案

2023年12月9日发(作者：湖北襄阳中考数学试卷2023)

《组合数学》测试题含答案

测 试 题

——组合数学

一、选择题

1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（）

A.有一名学生分得11本书

B.至少有一名学生分得11本书

C.至多有一名学生分得11本书

D.有一名学生分得至少11本书

2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（）

A.!63?

B.!64?

C. !66?

D. !68?

3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位方法总数为（）

A.()4,11!10P ?

B. ()4,9!10P ?

C. ()4,10!10P ?

D. !3!14-

4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（）

A.???? ??510

B.

510510 C.

49 D. 4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个

A.190

B.200

C.210

D.220

6. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（）

A.128

B.252

C.343

D.192

7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（）

A.576B.504

C.720

D.336

8. 设n 为正整数，则∑=???? ??n

k k n 02等于（）

A.n 2

B. 12-n

C. n n 2?

D. 12-?n n

9. 设n 为正整数，则()k k n k k n 310

-∑=的值是（）

A.n 2

B. n 2-

C. ()n

2- D.0 10. 设n 为正整数，则当2≥n 时，∑=???? ??-n

k k k 22=()

A.

3n B. +21n C. +31n D. 22+?

n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是（）

A.1440

B.-1440

C.0

D.1

12. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为（） A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337

- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（）个

A.100

B.120

C.140

D.160

14. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，则()=10f （）

A.89

B.110

C.144

D.288

15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是（）A.0432=+-x x

B. 0432=-+x x

C. 04323=+-x x

D. 04323=-+x x

16. 已知()??=?+=,2,1,0232n a n n ，则当2≥n 时，=n a （）

A.2123--+n n a a

B. 2123---n n a a

C.2123--+-n n a a

D. 2123----n n a a

17. 递推关系()=≥+=-31220

1a n a a n n n 的解为（） A.32+?=n n n a B. ()221+?+=n n n a

C. ()122+?+=n n n a

D. ()n n n a 23?+=

18. 设()??=?=,2,1,025n a n n ，则数列{}0≥n n a 的常生成函数是（） A.x 215- B. ()

2215x - C.()x 215- D. ()2215x -

19. 把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（）种

A.45

B.36

C.28

D.20

20. 多重集{}b a S ??=4,2的5-排列数为（）

A.5

B.10

C.15

D.20

21. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为（）

A.10

B.11

C.12

D.13

22. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数，则()116P 的值是（）

A.6

B.7

C.8

D.923. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有

+ + =1233n C n B n A n ，则B 的值是（）

A.9

B.8

C.7

D.6

24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（）

A.26

B.28

C.30

D.32

25. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 52

1?-=，则该数列的通项公式是（）

A.n n n n a 567++=

B. n n n n a 567+-=

C. n n n n a 5627+?+=

D. n n n n a 5627+?-= 二、填空题

1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个

2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ?1棋盘，每个方格涂一种颜色，则使得被涂成红色

的方格数是奇数的涂色方法共有_______种

3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为

___________

4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________

5. 棋盘?

的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。

7. ()???? ??-∑=k n k k n k 2

01=_____________________

8. 求由2个0，3个1和3个2作成的八位数的个数______________

9.含3个变元x, y, z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x,2项包含xyz ,1

项是常数项，则包含xy 的项数为____________

10．已知()n f 是n 的3次多项式且()10=f ,()11=f ,()32=f ,()193=f ,则

()=

f____________n

g,表示把n元集划分成k个元素个数均不小于2的子集的不同方法数，则11. 已()k n

()2,n g=___________

12.部分数为3且没有等于k的部分的n-分拆数________________

13. 把24颗糖分成5堆，每堆至少有3颗糖，则有___________种分法

三、计算题

1．在1000至9999之间有多少个数字不同的奇数？

2、以3种不同的长度，8种不同的颜色和4种不同的直径生产粉笔，试问总共

有多少种不同种类的粉笔？

3、至多使用4位数字可以写成多少个2进制数！（2进制数只能用符号0或1）

4、由字母表L={a,b,c,d,e}中字母组成的不同字母且长度为4的字符串有多少个？如果允许字母重复出现，则由L中字母组成的

长度为3的字符串有多少个？

5、从{1，2，3……9}中选取不同的数字且使5和6不相邻的7位数有多少？

6、已知平面上任3点不共线的25个点，它们能确定多少条直线？能确定多少个

三角形？

7、计算数字为1，2，3，4，5且满足以下两个性质的4位数的个数： (a)数字

全不相同； (b)数为偶数

8、正整数7715785有多少个不同的正因子（1除外）？

9、50！中有多少个0在结尾处？

10、比5400大并且只有下列性质的数有多少？ (a)数字全不相同； (b)不出现

数字2和7

11. 将m=3761写成阶乘和的形式。

12. 根据序数生成的排列(p)=(3214)，其序号是多少？

13. 如果用序数法对5个文字排列编号，则序号为117的排列是多少？

14. 设中介数序列为（120），向它所对应的4个文字的全排列是什么？

15. 按字典序给出所有3个文字的全排列。

16. 按递归生成算法，依次写出所有的4个文字的全排列。

17. 根据邻位互换生成算法，4个文字的排列4231的下一个排列是什不同的方案?

18. 有5件不同的工作任务，由4个人去完成它们，每件工作只能由一个人完成，

问有多少种方式完成所有这5件工作？

19. 有纪念章4枚，纪念册6本，分送给十位同学，问有多少种分法？如限制每

人得一件物品，则又有多少种分法？

20．写出按次序产生的所有从1，2，3，4，5，6中任取2个的组合。

21．给定一个n边形，能画出多少个三角形使得三角形的顶点为n边形的顶点，三角形的边为n边形的对角线（不是边）？

22．试问（x+y+z）的6次方中有多少不同的项？

23. 如果没有两个相邻的数在同一个集合里，由{1，2，…20}中的数可形成3个数的集合有多少？

24. 试列出重集{2·a,1·b,3·c}的所有3组合和4组合。

25. 设{Fn}为fibonna 序列，求出使Fn = n 的所有的n 。

26. 试求从1到1000中,不能被4,5或6整除的个数?

27. 计算12+22+……+n2

28. 设某地的街道把城市分割成矩形方格，每个方格叫它块，某甲从家里出发上

班，向东要走过7块，向北要走过5块，问某甲上班的路经有多少条？

29.设n=253273114,试求能除尽数n 的正整数的数目。

30.求（1+x 4+x 8）10 中x 20项的系数。

31.试给出3个文字的对称群S 3中的所有元素，并说出各个元素的格式。

32.有一BIBD ，已知b=14,k=3,λ=2,求v 和r 。

33.将39写成∑a i i!(0≤a i ≤i)的形式。

34.8个人围坐一圈，问有多少种不同的坐法？

35.求()()()()10,10103,1032,1021,10C C C C +??+++

36.试给出两个正交的7阶拉丁方。

37.在3n+1个球中，有n 个相同，求从这3n+1个球中选取n 个的方案数。

38.用红、黄两种颜色为一个等边三角形的三个顶点着色，问有多少种实质不同

的着色方案？

39.在r,s,t,u,v,w,x,y,z 的排列中，求y 居x 和z 中间的排列数。

40.求1040和2030的公因数数目。

41.求1到1000中不被5和7整除，但被3整除的数的数目。

42.求4444321n +??+++的和。

43.用母函数法求递推关系08621=+---n n n a a a 的解，已知a 0=0,a 1=1。

44.试求由a,b,c 这3个文字组成的n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的数目。

45.26个英文小写字母进行排列，要求x 和y 之间有5个字母的排列数。

46.8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子里，每个盒子最多放一个球，要

求空盒不相邻，问有多少种排列方案？

47.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个，从中取出6个球，试问

有多少种不同的取法。

48.用b 、r 、g 这三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案？

49.n 个完全一样的球放到r （n ≥r ）个有标志的盒中，无一空盒，试问有多少种

方案？

50.假设某个凸n 边形的任意三条对角线不共点，试求这凸n 边形的对角线交于

多少个点？

51.求()()21432321+++??+??+??=n n n S n 从k 个不同文字中取n 个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现3次，求这样的排列的数目。

52.求下图中从A 点出发到n 点的路径数。

53.n 条直线将平面分成多少个区域？假设无三线共点，且两两相交。

54.四位十进制数a b c d ，试求满足a+b+c+d=31的数的数目。

55.两名教师分别对6名学生面试，每位教师各负责一门课，每名学生面试时间

固定，6名学生面试时间定于下周一的第1节至第6节课，两门课的面试分

别在901和902两个教室进行。试问共有多少种面试的顺序。

56. 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？旋

转或翻转使之重合的视为相同的方案。

58. 生成矩阵

=11111G 试求相应的校验矩阵H 。

59.由m 个0，n 个1组成的n+m 位符号串，其中n ≤m+1,试求不存在两个1相邻

的符号串的数目。

60.n 个男人与n 个女人沿一圆桌坐下，问两个女人之间坐一个男人的方案数，

又m 个女人n 个男人，且m

61.求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数目。

62.求满足下列条件：

40321=++x x x ,2510,205,156321≤≤≤≤≤≤x x x 的整数解数目。

63.求不超过120的素数的数目。

64.试说明A 4群中各置换的不同格式及其个数。

65.已知生矩阵

=11111G 求下列信息的码字？

（a ） 1110 (b) 1000 (c) 0001 (d) 1101

66.有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最

大数，有多少种取法？

67.设某组织有26名成员，要选一名主席，一名会计，一名秘书，且规定一人不

得担任一个以上职务，问有多少种选法？

68.从整数1，2，…，100中选取两个数。（1）使得它们的差等于7；（2）使得

它们的差小于或等于7，各有多少种选取方式？

69.有n 个相同的红球和m 个相同的白球；那么这m+n 个球有多少种不同的排列方式？

70.一个工厂里已装配了30辆汽车，可供选择的设备是收音机、空调和白圈轮胎。

这30辆汽车中，15辆有收音机，8辆有空调，6辆是白圈轮胎，而这三种设

备都具有的汽车有3辆，试求这三种设备都不具备的汽车至少有多少辆？

71.数1，2，…，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置上

的错排数目。

72.在等于300的自然数中：（1）有多少个不能被3，5和7整除的数？（2）有

多少个能被3整除，但不能被5和7整除的数？

73.求下列数值函数的生成函数：

（1）r r c a =(r=0，1，2，…)，其中C 为实数。

(2) ()

-=r q a r r 1，

（r=0,1,2,…）,其中a 为正整数。 74.求下列生成函数的数值函数：其中()()2265x x x x A +-=

75.用生成函数求下式之和： ()()().2121n n n n n ++?+? 76.一个人上楼梯，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，令

n a 表示有

n 个台阶时的上楼方式数，写出n a 的递推关系，并求解之。

77.利用特征方程法解递推关系：

===≥-+=---2,1,03,99210321a a a n a a a a n n n n 78.求下列递推关系的特解 n n n n a a a 22321=+---

79.1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个

数。

80．在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败者退出比赛),最后

产生一名冠军，问要举行几场比赛？

81. 计算[1,n]的无重不相邻组合()r n C ,的计数问题

82. 某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有７人，每人持若干

钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开锁。问①至少有多少把不同的钥匙？②

每人至少持几把钥匙？

83. 凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的对角线交于多少

点？又把所有对角线分割成多少段？

84.在5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的，有多少个?

85. 整数n 拆分成1，2，3，…，m 的和，并允许重复，求其母函数。

86.某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，

每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇

1次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？

87. 给出下列等式的组合意义：

（a ）()m k n k l n l m k n m n l ml ≥≥???? ??-???? ??-=???? ??--∑=,10

(b)

()???? ??++-+??-???? ??+++???? ??++-???? ??+=???? ??--+l m l m m l m m l m m l m m l m l 12111 88.将正整数10写成3个

非负整数321,,n n n 的和，要求6,4,3321≤≤≤n n n ，有多

少种不同的写法？

89. 计算母函数()()()2

3121x x x x G +++=的头6项。 90. 红、白、黑三色球各8个，现从中取出9个，要求3种颜色的球都有，问有多少种不同取法？

91. 求序列()()()()()n n c n c n c n c n ,1,,2,,1,,0,-??-的母函数。

92. 解递归关系2,0,0102===+-a a a a n n

93.求下列表达式中求出50a 的值

()()??+??++=+--5050102233x a x a a x x x

94.设r a 是掷两个骰子时和为r 的方式数，其中第一个骰子的点数为偶数，第二

个骰子的点数为奇数，求序列{}??210,,a a a 的母函数。

95. 有多少棵有n 个顶点的二叉数？

96．求下式之和

()()()()()1/,13/2,2/1,1+-+??++-n n n c n c n c n

97．展开多项式()4

321x x x ++ 98.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎

开始点火有多少种方案。 99.试求n 个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？

100. 写出全部部分数最小的19-完备分拆

101. 已知()()n

n n f -+=2，求()n f k ? 102. 求方程

1742321=++x x x 的非负整数解的个数。

四、证明题

1.证明：{1,2,…,n}的全排列的最大逆序数是n(n-1)/2。试确定具有n(n-1)/2个逆序的唯一排列。

2.证()()()1,1,1++=-r n c r r n nc ．并给出组合意义.

3.n 个完全一样的球，放到r 个有标志的盒子，n ≥r ，要求无一空盒，试证其方

案数为()1,1--r n c .

4. 试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数．

5. 试证明：()()()()1,1,,1,0++=+??++m n c m n c m c m c

6. 证明：(C(n,0))2+(C(n,1))2+…+(C(n,n))2 = C(2n,n)

7. 证明：若121==F F , 21--+=n n n F F F (n>2)，则 ()()()()()5/5/2/512/51n n n n n F βα-=??? ??--+=

其中α=（1+√5）/2，β=（1-√5）/2

8. N 个代表参加会议，试证其中至少有两个人各自的朋友数相等。

9. 证明：()()6/12121222++=+++n n n n

10. 证明：()n n 2/!2是整数。11. 证明：在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点的距离小于1/2。

12.证明：

= -+110111n n n n n F F F F 其中n F 定义为：121==F F ，21--+=n n n F F F

13.任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。

14.在边长为1的正方形内任取5点，试证其中至少有两点，

2。

15.若H 是群G 的子群，试证：|xH|=K, 其中K ＝|H|，x ∈G 。

16.二维空间的点（x,y ）的坐标x 和y 都是整数的点称为格点。任意5个格点的

集合A ，试证A 中至少存在两个点，它们的中点也是格点。

17.证明：在由字母表{0，1，2}生成的长度为n 的字符串中，0出现偶数次的字

符串有（3n +1）/2个。

18.试证任意r 个相邻的正整数的连乘积（n+1）(n+2)…(n+r)必被r!除尽。

19.证明：()()()()()()()n m c n m c n m c n m c m c n m c m c n ,20,,1,11,,0,=-+??+--+

20.证明()()()12,2,21,-=+??++n n n n nc n c n c

21. 任取5个整数，试求其中必存在3个数，其和能被3整除。

22. 若H 是群G 的子群，x 和y 是G 的元素。试证xH ∩yH 或为空集，或xH=yH.

23. 令S={1，2，…，n+1},n ≥2,(){}z y z x S z y x T <<∈=,,,, 试证：()()3,21222+++=+++=n C n C n T 。

24. 证明：任何K 个相继的正整数之积，必是r 的倍数，其中r=1，2，…，K 。

25. 求证：()221++n n =()()()n n n n n n 212212-+++。

26. 使用二项式定理证明()k n k n

k n 20=∑=,试推广到任意实数r ，求()k n k n

k r 0

=∑。 27. 证明C B A C B C A B A C B A C B A +---++=

28. 证明任何k 个相继正整数中，有一个必能被k 整除。

29. 证明在小于或等于2n 的任意n+1个不同的正整数中，必有两个是互等的。

30. 证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:

,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…。

31. 对于给定的正整数n,证明当

时，()k n C ,是最大值。

32. 证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中,0出现偶数次的字符串有个；

33. 设有三个7位的二进制数：7654321a a a a a a a ，7654321b b b b b b b ，7654321c c c c c c c 。

试证存在整数i 和j ，71≤≤≤j i ，使得下列之一必定成立，

j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,,。34.证明：在n 阶幻方中将每个数码a 换成a n -+12，所得的阵列仍是一个n

阶幻方。（注：所谓幻方是指一个n n ?方阵，其中的元素分别是22,1n ??，

且每列的元素和均相等）

35.证明：把有n 个元素的集合s 划分为k 个有序集合的个数等于n k