人教版七年级数学下册竞赛试卷(含解析)

2023年12月2日发(作者：2020河南会考数学试卷分析)

人教版七年级数学下册竞赛试卷

一、选择题

1．设a＝（ ）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

，b＝，c＝，则a，b，c之间的大小关系是2．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（ ）

A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定

3．如果0＜p＜15，那么代数式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|在p≤x≤15的最小值是（ ）

A．30

C．15

4．由1，2，3，4这四个数字组成四位数样的四位数共有（ ）

A．36个 B．40个 C．44个 D．48个

B．0

D．一个与p有关的代数式

（数字可重复使用），要求满足a+c＝b+d．这5．在2014，2015，2016，2017四个数中，不能表示为两个整数的平方差的数是（ ）

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017

6．10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q是边XY一点．若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则的值为（ ）

A．

二．填空题

7．关于x的不等式组8．已知，恰好只有三个整数解，则a的取值范围是

，，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bcB． C． D．

﹣ac的值为 ．

9．已知x、y为正整数，且满足2x2+3y2＝4x2y2+1，则x2+y2＝ ． 10．使代数式的值为整数的全体自然数x的和是 ．

11．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2…，第n个三角形数记为xn，则x10＝ ；xn+xn+1＝ ．

12．已知S＝，则S的整数部分是 ．

三．解答题

13．（20分）（1）证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；

（2）证明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n为正整数）．

14．（14分）已知实数a、b、c，满足abc≠0且（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，求的值．

15．（14分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则[x]＝n．如：[2.9]＝3，[2.4]＝2，[x]＝n，求满足[x]＝x﹣2的所有实数x的值．

16．（14分）有n个连续的自然数1，2，3，…，n，若去掉其中的一个数x后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n和x的值分别是 ．（参考公式：Sn＝1+2+3+…+n＝）

17．（14分）设a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，a3+b3+c3＝36．

求（1）abc的值；

（2）a4+b4+c4的值．

18．（14分）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．

（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；

（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；

（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是 ． 参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分，共30分）

1．设a＝（ ）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

，b＝，c＝，则a，b，c之间的大小关系是【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．

【解答】解：∵a2＝2000+2×1000，

1003×997＝1 000 000﹣9＝999 991，

1001×999＝1 000 000﹣1＝999 999，

10002＝1 000 000．

∴c＞b＞a．

故选：A．

2．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（ ）

A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定

，b2＝2000+2，c2＝4000＝2000+2【分析】由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，然后代入化简即可得出答案．

【解答】解：由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，

代入＝＝＝0．

故选：C．

3．如果0＜p＜15，那么代数式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|在p≤x≤15的最小值是（ ）

A．30

C．15

B．0

D．一个与p有关的代数式

+，

+，

， 【分析】根据x、p的取值范围，根据所给代数式，简化原式，再把x的最大值15代入计算即可．

【解答】解：∵p≤x≤15，

∴x﹣p≥0，x﹣15≤0，x﹣p﹣15≤0，

∴|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|＝x﹣p+（15﹣x）+（﹣x+p+15）＝x﹣p+15﹣x﹣x+p+15＝﹣x+30，

又∵p≤x≤15，

∴x最大可取15，

即x＝15，

∴﹣x+30＝﹣15+30＝15．

故选：C．

4．由1，2，3，4这四个数字组成四位数样的四位数共有（ ）

A．36个 B．40个 C．44个 D．48个

（数字可重复使用），要求满足a+c＝b+d．这【分析】由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，（2）使用2个不同的数字，（3）使用3个不同的数字，（4）使用4个不同的数字，然后分别分析求解即可求得答案．

【解答】解：根据使用的不同数字的个数分类考虑：

（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个．

（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）．

如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；

同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个．

因此，这样的四位数共有6×4＝24个．

（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个．

（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个．

因此，满足要求的四位数共有4+24+8+8＝44个．

故选：C． 5．在2014，2015，2016，2017四个数中，不能表示为两个整数的平方差的数是（ ）

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017

【分析】根据平方差公式将各数变形后判断即可．

【解答】解：如果一个数可以表示成两个正整数的平方差，记为x＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

则x可以分解为a+b，a﹣b的积，且注意到这两个因子差2b，即同奇同偶，

所以大于1的奇数可以分解为两个奇数之积（1和他自身），必可以写成两数平方之差（可以反求出来）；

而一个偶数必须要写成两个偶数之积，

则必能被4整除才行，

所以四个数中，只有2014不能写成两整数之平方差，

故选：A．

6．10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q是边XY一点．若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】首先设QY＝x，根据题意得到PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形＝×5×（1+x）+1＝5，解方程即可求得QY的长，即可解决问题．

【解答】解：设QY＝x，根据题意得到PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形＝×5×（1+x）+1＝5，

解得x＝，

∴XQ＝1﹣＝，

∴＝＝，

故选：B． 二．填空题（每题5分，共计30分）

7．关于x的不等式组恰好只有三个整数解，则a的取值范围是

【分析】首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数确定有哪些整数解，根据解的情况得到关于a的不等式组，从而求出a的范围．

【解答】解：解不等式组得，，

∴不等式组的解集是﹣a＜x≤a，

∵关于x的不等式组∴必定有整数解0，

∵|﹣a|＞|a|，

∴三个整数解不可能是0，1，2．

恰好只有三个整数解，

若三个整数解为﹣1，0，1，则，解得≤a≤；

若三个整数解为﹣2，﹣1，0，则，此不等式组无解，

所以a的取值范围是≤a≤．

故答案为≤a≤．

8．已知﹣ac的值为 3 ．

【分析】把已知的式子化成[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]的形式，然后代入求解．

【解答】解：∵，，，

，，，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，

则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）

＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）] ＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]

＝×[1+4+1]

＝3，

故答案为：3．

9．已知x、y为正整数，且满足2x2+3y2＝4x2y2+1，则x2+y2＝ 2 ．

【分析】根据完全平方公式和非负性解答即可．

【解答】解：由题意得：（2x2﹣1）（y2﹣1）+2y2（x2﹣1）＝0，

因为x≥1，y≥1，

所以y2﹣1＝0，x2﹣1＝0，

∴y＝1，x＝1，

∴x2+y2＝2，

故答案为：2．

10．使代数式的值为整数的全体自然数x的和是 22 ．

，得到使得原式的值为整数的自然数分别为0、1、2、【分析】将原式分解为x﹣1+3、5、11，求的其和即可．

【解答】解：∵原式＝∴使得代数式＝x﹣1+，

的值为整数的全体自然数x分别为0、1、2、3、5、11，

∴全体自然数x的和是0+1+2+3+5+11＝22．

故答案为22．

11．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2…，第n个三角形数记为xn，则x10＝

55 ；xn+xn+1＝ （n+1）2 ．

【分析】根据三角形数得到x1＝1，x2＝3＝1+2，x3＝6＝1+2+3，x4＝10＝1+2+3+4，x5＝15＝1+2+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，据此求解可得．

【解答】解：∵x1＝1，

x2═3＝1+2，

x3＝6＝1+2+3， x4═10＝1+2+3+4，

x5═15＝1+2+3+4+5，

…

∴x10＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，

xn＝1+2+3+…+n＝则xn+xn+1＝+，xn+1＝，

＝（n+1）2，

故答案为：55、（n+1）2．

12．已知S＝，则S的整数部分是 60 ．

【分析】由已知可得，＜S＜，则可确定60＜S＜60，即可求解．

【解答】解：S＝＞＝60，

S＝＜＝60，

∴60＜S＜60，

∴S的整数部分是60，

故答案为：60．

三．解答题（第13题20分，其余每题14分，共计90分）

13．（20分）（1）证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；

（2）证明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n为正整数）．

【分析】（1）设a＝2002，将原式转化为[a（a﹣7）]2的形式，此题得证；

22（2）先将原式分解成[（92n+1）+（72n+1）]（92n+1+72n+1）（92n+1﹣72n+1），在判断出（92n+1）2+（72n+1）2，92n+1+72n+1，92n+1﹣72n+1都是偶数，即可得出结论．

【解答】（1）证明：设a＝2002，

原式＝（a﹣3）（a﹣2）（a﹣1）（a+1）（a+2）（a+3）+36

＝（a2﹣1）（a2﹣4）（a2﹣9）+36

＝a6﹣（1+4+9）a4+（4+9+36）a2﹣36+36 ＝a6﹣14a4+49a2

＝a2（a4﹣14a2+49）

＝a2•（a﹣7）2

＝[a（a﹣7）]2．

故1999×2000×2001×2003×2004×2005+36＝[2002（2002﹣7）]2＝（2002×1995）2，即1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；

（2）证明：98n+4﹣78n+4＝（92n+1）4﹣（72n+1）4

＝[（92n+1）2+（72n+1）2][（92n+1）2﹣（72n+1）2]

＝[（92n+1）2+（72n+1）2]（92n+1+72n+1）（92n+1﹣72n+1），

∵n为正整数，

∴（92n+1）2+（72n+1）2，92n+1+72n+1，92n+1﹣72n+1都是偶数，

∴[（92n+1）2+（72n+1）2]（92n+1+72n+1）（92n+1﹣72n+1）能被8整除，

即98n+4﹣78n+4能被8整除．

14．（14分）已知实数a、b、c，满足abc≠0且（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，求的值．

【分析】先将（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，按照完全平方公式和多项式乘法的运算法则展开化简，再利用三项的完全平方公式变形，从而利用偶次方的非负性得出a+c与b的数量关系，则的值可得．

【解答】解：∵（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，

∴a2﹣2ac+c2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc＝0，

∴a2+c2+4b2+2ac﹣4ab﹣4bc＝0，

∴（a+c﹣2b）2＝0，

∴a+c＝2b，

∵abc≠0，

∴∴＝2．

的值为2．

15．（14分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则[x]＝n．如：[2.9]＝3，[2.4]＝2，[x]＝n，求满足[x]＝x﹣2的所有实数x的值．

【分析】设，用m的代数式表示x，再根据“若 ，则[x]＝n“，可以列出关于m的不等式，求出m的范围，再代回求出x．

【解答】解：设

∴∴解得，4＜m⩽8，

∵m 是非负整数，

∴m＝5，6，7，8，

当 m＝5 时

得 ，

，

，

，

，

，

是非负整数，

当 m＝6 时

得 x＝6，

当 m＝7 时

得 ，

，

当 m＝8 时

得

即满足

，

，

的所有实数 x 的值是 ，．

16．（14分）有n个连续的自然数1，2，3，…，n，若去掉其中的一个数x后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n和x的值分别是 n＝30，x＝1；n＝31，x＝16；n＝32，x＝32 ．（参考公式：Sn＝1+2+3+…+n＝【分析】根据已知得n个连续的自然数的和为）

．再根据两种特殊情况，即x＝n；x＝1；求得剩下的数的平均数的公式，从而得出1＜x＜n时，剩下的数的平均数的范围，则n有3种情况，分别计算即可．

． 【解答】解：由已知，n个连续的自然数的和为若x＝n，剩下的数的平均数是若x＝1，剩下的数的平均数是故，解得30≤n≤32

﹣x，解得x＝1；

﹣x，解得x＝16；

﹣x，解得x＝32．

；

，

当n＝30时，29×16＝当n＝31时，30×16＝当n＝32时，31×16＝故答案为：n＝30，x＝1；n＝31，x＝16；n＝32，x＝32．

17．（14分）设a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，a3+b3+c3＝36．

求（1）abc的值；

（2）a4+b4+c4的值．

2【分析】（1）由已知得出（a+b+c）＝36，再由（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝a3+b3+c3﹣3abc，将已知条件代入即可解出abc＝6；

（2）由（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2（a2bc+ab2c+abc2），将已知条件及（1）中推得的式子代入，即可求出a2b2+b2c2+a2c2的值，由（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2），即可解出答案．

【解答】解：（1）∵a+b+c＝6

∴（a+b+c）2＝36

∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝36

∵a2+b2+c2＝14

∴ab+bc+ac＝11

∵a3+b3+c3＝36

∴（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）

＝a3+b3+c3﹣3abc

＝6×（14﹣11） ＝18

∴36﹣3abc＝18

∴abc＝6．

（2）∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2（a2bc+ab2c+abc2）

∴121＝a2b2+b2c2+a2c2+12（a+b+c）

∴a2b2+b2c2+a2c2＝121﹣12×6＝49

∴（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）

∴a4+b4+c4＝142﹣2×49＝98

∴a4+b4+c4的值为98．

18．（14分）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．

（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；

（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；

（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是 3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP ．

【分析】（1）如图1中，过E作EF∥a．利用平行线的性质即可解决问题．

（2）如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y，可得x+y＝45°，证明∠AFB＝180°﹣（2y+x），∠CGD＝180°﹣（2x+y），推出∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y）即可解决问题．

（3）分两种情形分别画出图形求解即可．

【解答】（1）证明：如图1中，过E作EF∥a． ∵a∥b，

∴a∥b∥EF，

∵AD⊥BC，

∴∠BED＝90°，

∵EF∥a，

∴∠ABE＝∠BEF，

∵EF∥b，

∴∠ADC＝∠DEF，

∴∠ABC+∠ADC＝∠BED＝90°．

（2）解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，

设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y，

由（1）知：2x+2y＝90°，x+y＝45°，

∵FM∥a∥b，

∴∠BFD＝2y+x，

∴∠AFB＝180°﹣（2y+x），

同理：∠CGD＝180°﹣（2x+y），

∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y），

＝360°﹣3×45°＝225°．

（3）如图，设PN交CD于E． 当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB，

∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN+2∠IPE，

∵PN平分∠EPB，

∴∠EPB＝∠EPI，

∵AB∥CD，

∴∠NPE＝∠CEN，∠ABC＝∠BCE，

∵∠NCE＝∠BCN，

∴∠CIP+∠IPN＝3∠PEC+3∠NCE＝3（∠NCE+∠NEC）＝3∠CNP．

当点N′在直线CD的下方时，同法可知：∠CIP+∠CNP＝3∠IPN，

综上所述：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP．

故答案为：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP．