2022年考研数学真题(附解析答案)

2023年12月2日发(作者：小升初的必考题型数学试卷)

2022年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)(科目代码:303)一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所有选项前的字母填在答题卡指定位置（1）当x0时，(x),(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若(x)~(x)，则2(x)~2(x)②若2(x)~2(x)，则(x)~(x)③若(x)~(x)，则(x)(x)o((x))④若(x)(x)o((x))，则(x)~(x)其中正确的是（）（A）①②（B）①④（C）①③④）（D）②③④n(1)（2）已知annn(n1,2,...)，则{an}（n（A）有最大值，有最小值（C）没有最大值，有最小值（3）设函数f(t)连续，令F(x,y)xy0（B）有最大值，没有最小值（D）没有最大值，没有最小值(xyt)f(t)dt，则（）FF2F2F,（A）xy2x2yFF2F2F,22（C）xyxy1FF2F2F,2（B）xy2xyFF2F2F,22（D）xyxy）1ln(1x)1x2x（4）已知I1dx，I2dx，I3dx,则（02(1cosx)01cosx01sinx（A）I1I2I3（C）I1I3I2（B）I2I1I3（D）I3I2I11001,0的充分必要条件（5）设A为3阶矩阵，Λ010，则A的特征值为1，000是（）（A）存在可逆矩阵P,Q，使得APΛQ——２０２２年真题　　　第１页，共１５页——（B）存在可逆矩阵P，使得APΛP1（C）存在正交矩阵Q，使得AQΛQ1（D）存在可逆矩阵P，使得APΛPT1111（6）设矩阵A1aa2,b2，则线性方程组Axb解的情况为（1bb24）（A）无解（C）有无穷多解或无解（B）有解（D）有唯一解或无解111（7）设α11,α2,α31,α4,若向量组α1,α2,α3与α1,α2,α4112等价，则的取值范围是（（A）{0,1}）（B）{|R，2}（D）{|R，1}（C）{|R,1,2}1（8）设随机变量X~N(0,4)，随机变量Y~B(3,)，且X与Y不相关，则3D(X3Y1)（）（B）4（C）6（D）10（A）2（9）设随机变量序列X1,X2,,Xn,独立同分布，且X1的概率密度为1|x|,|x|11n2f(x)，则n时，Xi依概率收敛于（其他ni10,）（D）12（A）18（B）16（C）13（10）设二维随机变量(X,Y)的概率分布Y11X00.1a120.10.1b0.1若事件{max{X,Y}2}与事件{min{X,Y}1}相互独立，则Cov(X,Y)（）（A）0.6（B）0.36（C）0（D）0.48——２０２２年真题　　　第２页，共１５页——二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分1excotx（11）lim()_______.x02（12）202x4dx_______.2x2x4（13）已知函数f(x)esinxesinx，则f(2)_______.ex,0x1（14）已知函数f(x)，则dxf(x)f(yx)dy_______.其他0,（15）设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的1倍加到第1列，211得到矩阵110，则A1的迹tr(A1)_______.100（16）设A,B,C为随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互1独立，P(A)P(B)P(C)，则P(BC|ABC)_______.3三、解答题：17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本题满分10分）设函数y(x)是微分方程yy(1)3的解，求曲线yy(x)的渐近线.12xy2x满足条件（18）（本题满分12分）设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q12xy，该产品的销售单价P与Q的关系为P11601.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.（19）（本题满分12分）已知平面区域D{(x,y)|y2x4y2,0y2}，(xy)2dxdy.计算I22xyD1216(4)n12nx的收敛域及和函数S(x).（20）（本题满分12分）求幂级数n4(2n1)n022（21）已知二次型f(x1,x2,x3)3x124x23x32x1x3——２０２２年真题　　　第３页，共１５页——（i）求正交变换xQy将f(x1,x2,x3)化为标准形；（ii）证明minx0f(x)（22）设X1,X2,,Xn为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，求Y1,Y2,,Ym为来自均值为2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中(0)是未知参数.利用样本X1,X2,,Xn,Y1,Y2,,Ym，求的最大似ˆ，并求D(ˆ).然估计量——２０２２年真题　　　第４页，共１５页—— 2022年研究生考试数学三真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．（1）当x0时，x,x是非零无穷小量，给出以下四个命题

①若x~x，则②若22x~2x

x~2x，则x~x

③若x~x，则xxox

④若xxox，则x~x

其中正确的序号是（ ）

（A）①②

（B）①④

（D）②③④

（C）①③④

【答案】C

(x)2(x)1,lim2lim【解析】当x0时，(x):(x)，则limx0(x)x0(x)x0lim(x)1，则：

(x)2(x)(x)0，所以(x)(x)o((x))，故①③正确；

x0(x)22(x)(x)2(x)当x0时，(x):(x)，则lim2

1，当lim1时，1，则limx0(x)x0(x)x0(x)(x)与(x)不是等价无穷小，所以②不正确；

当(x)(x)o((x))时，limn(x)(x)(x)limlim1，④正确.

x0(x)x0(x)o((x))x0(x)（2）已知an1nnnn1,2,L，则an（ ）

（B）有最大值，没有最小值

（D）没有最大值，没有最小值

（A）有最大值，有最小值

（C）没有最大值，有最小值

【答案】（A）

——２０２２年真题　　　第５页，共１５页—— n11n【解析】limanlimn1,a121,a221，则an有最大值，有nn2n最小值

（3）设函数ft连续，令Fx,yxytftdt，则（ ）

0xyFF2F2F （A）,xyx2y2FF2F2F（C）,22

xyxy【答案】C

【解析】原式(xy)则：

FF2F2F（B）,2

xyx2yFF2F2F（D）,22

xyxy

xy0f(t)dtxy0tf(t)dt

xyxyFf(t)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)f(t)dt，

00x

2Ff(xy)

2x同理：

xyxyFf(t)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)f(t)dt

00y2Ff(xy)

2yFF2F2F综上所述：,22.

xyxy（4）已知I11ln(1x)1x2xdx，I2dxI，301sinxdx，则（

）

02(1cosx)01cosx1（A）I1I2I3

（C）I1I3I2

【答案】A

（B）I2I1I3

（D）I3I2I1

【解析】令h(x)ln(1x)x110，x0, 1，于是h(x)单调递增，，h(x)21x2又由h(0)0可知h(x)ln(1x)

xln(1x)x0，其中x0, 1，故，2(1cosx)1cosx2——２０２２年真题　　　第６页，共１５页—— 故I1I2.

当x0, 1时，(1sinx)ln(1x)(1sinx)2x2x(1cosx)，则ln(1x)2x，故I2I3.

1cosx1sinx100则A特征值为1,1,0的充分必要条件是（ ）（5）设A为3阶矩阵，010，

000（A）存在可逆矩阵P,Q，使得APQ

（B）存在可逆矩阵P，使得APP

（C）存在正交矩阵Q，使得AQQ1

（D）存在可逆矩阵P，使得APP

【答案】（B）

【解析】若（B）成立，则矩阵A与相似，特征值相等，可推出A特征值为1,1,0

若A特征值为1,1,0，则矩阵A可以相似对角化，矩阵A与相似，所以（B）为充要条件

T111112（6）设矩阵A1aa,b2，则线性方程组Axb的解的情况为（ ）

21bb4（A）无解

（B）有解

（D）有唯一解或无解 （C）有无穷多解或无解

【答案】（D）

【解析】Aa1b1ba，

当a1,b1,ab时，方程有唯一解，

1111当ab1时，A,b0001，方程无解，故选（D）

0000111（7）设1=1，2=，3=1，4=，若向量组1,2,3与1,2,4等112价，则的取值范围是（ ）

——２０２２年真题　　　第７页，共１５页—— 1 （A）0， （B）R,2

（C）R,1，2

【答案】C

 （D）R,1

112【解析】由1,2,3=1112，

1111,2,4=11221+1，当1,2,时满足题意，故选C.

112134,随机变量Y~B3,，且X与Y不相关，则（8）设随机变量X~N0,DX3Y+1（ ）

（A）2

（C）6

（B）4

（D）10

【答案】（D）

3g1010

【解析】DX3Y+1DX+9DY6COVX,Y4+9g（9）设随机变量序列X1,X2,L,Xn,L独立同分布，且X1的概率密度为13131n1x,x12，则当n时，Xi依概率收敛于（ ）

fxni1其他0,（A）1

8 （B）1

6 （C）1

3 （D）1

2【答案】（B）

1111n2222【解析】EXiEXix1xdx2x1xdx

106ni1（10）设二维随机变量X,Y的概率分布

X

Y

0 1 2

1

0.1

0.1

b

——２０２２年真题　　　第８页，共１５页——

1

a

0.1

0.1

若事件maxX,Y2与事件minX,Y1相互独立，则COVX,Y=（ ）

（A）0.6

（C）0

（B）0.36

（D）0.48

【答案】（B）

【解析】PmaxX,Y20.1+b；PminX,Y10.2

PmaxX,Y2,minX,Y10.1，

0.10.20.1+bb0.4a0.2

XY

P

2

1

0

1

0.1

2

0.1

0.4

0.1

0.3

EXY0.6,EX0.2,EY1.2

COVX,YEXYEXEY0.36二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1ex(11)

limx02【答案】e

12cotx

1e【解析】limex0222x4dx (12)20x+2x+4【答案】ln3【解析】

xcotx1exlimcotxIn2x0eex1x02tanxlime

123

3

——２０２２年真题　　　第９页，共１５页—— 2022x42x+26dx0x2+2x+4x+12+3dxx2+2x+46x+1arctanlnx2+2x+4

330ln3332(13) 已知函数f(x)esinxesinx，则f(2) .

【答案】0

【解析】由f(x)esinxesinxf(x)，f(x2)f(x)，可知f(x)是以2为周期的偶函数，那么f(x)是以2为周期的奇函数，故f(2)f(0)0.

ex,0x1(14) 已知函数f(x)，则dxf(x)f(yx)dy .

0,其他【答案】(e1)2

【解析】记D{(x,y)0x1,0yx1}，

则dxf(x)f(yx)dydx01x1xexeyxdyex(e1)dx(e1)2.

01（15）设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第一列，得到2111矩阵110，则A的迹tr(A1) .

100【答案】1

【解析】符合左行右列原则

211由题意可得：E23AE12(1)110，则：

100211111AE23110E12(1)100，所以

100010111EA10(1)(21)0，解得11,2i,3i

01

——２０２２年真题　　　第１０页，共１５页—— 所以A的特征值为11,2i,3i，所以tr(A1)1.

（16）设A,B,C为随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立，11P(A)P(B)P(C)，则PBUCAUBUC___________.

35【答案】

8【解析】PBUCAUBUCPBUCPBPCPBC

PAUBUCPAPBPCPBC21PBPCPBPC395.

PAPBPCPBPC1189三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分10分）设函数yx是微分方程y+求曲线yyx的渐近线.

【答案】y2x

【解析】根据题意，求解微分方程y+12xy2x满足y1=3的解，12xy2x有，

121xdx2xdx=yx2xedxCe2xexdxCex。

求解2+xexdxtx2+tet2tdt2t2et2xex，进而有，

yx2xCex，由y1=3，知C=e，故而yx2xe1x。

yx2xe1lim进一步，klimxxxx而，曲线yyx的渐近线为y2x.

（18）（本题满分10分）

x2，blimyxkxlime1xxx0，故设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q12xy，该产品的销售单价P与Q的关系为P11601.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

1216——２０２２年真题　　　第１１页，共１５页—— 【答案】384

1111【解析】利润LPQC11601.512x2y612x2y66x8y，即

1116111Lx6960x2y216y360得驻点L13920x2y6216xy36x8y，令521L2320x2y672xy380y256,64，此时Q12256最大值.

1264384，由于驻点唯一，故利润L在Q384时取到16（19）（本题满分12分）已知平面区域Dx,yy2x4y2,0y2，计算

IDxy2x2y2dxdy

【答案】22

【解析】方法一：

y2D22D12x

ID1xyxy20222dxdy+D2xyxy2222dxdy2sincos0=2dcossinrdrd02cossin22rdr

2cossin2212d2sincos22方法二：

——２０２２年真题　　　第１２页，共１５页—— y2D22D12x

2xyI12dxdy2xyDxydxdy=SD222xyD1D222D1

xydxdy22xy22sincos222d0sincosrdr2=22204sincosd42sincos（20）（本题满分10分）

(4)n12nx的收敛域及和函数S(x). 求幂级数n4(21)nn012xarctanxln,x[1,1]且x0 【答案】收敛域[1,1]，S(x)x2x2,x0(4)n114n(2n1)(4)n114n(2n1)1(4)n11 【解析】limn1limlimn4(2n3)(4)n1n4n1(2n3)(4)n14n(4)n11(4)n11(4)n111，进而可得收敛半径为1.

lim4n1(4)n1n(4)(4)n1(1)n1(1)nn当x1时，原级数为n，其中为交错级数，knnnn4(21)214(21)21n0n0n0n0可知其收敛；

1为正项级数，可知其收敛.

nn4(21)n0——２０２２年真题　　　第１３页，共１５页—— (4)n12n(1)n2nx2n，x[1,1].

S(x)nxxn4(2n1)2n14(2n1)n0n0n0(1)n2n11dx令S1(x)，S1(x)x，S1(x)(1)nx2narctanxC，

222n11x1xn0n0又S1(0)0，得C0.

2n2x2n14xx42x(x)n令S2，S2(x)n，

()lnSxdxC，24x22x4x2n04(2n1)n04n04n又S2(0)0，得C0.

当x0时，S(x)arctanx12x；又S(0)2.

lnxx2x12xarctanxln,x[1,1]且x0. 综上，S(x)x2x2,x0（21）（本题满分15分）

223x32x1x3， 已知二次型f(x1,x2,x3)3x124x2（1）求正交变换xQy将f(x1,x2,x3)化为标准形；

（2）证明：minf(x)2.

xTx010120，（2）见解析.

1212【答案】（1）Q012301301【解析】（1）A040，AE040(2)(4)20，得特征值10310312，234.

101当12时，A2E:020，解得特征向量1(1,0,1)T；

000101当234时，A4E:000，解得特征向量2(0,1,0)T，3(1,0,1)T；

000

——２０２２年真题　　　第１４页，共１５页—— 单位化1(12,0,121)T，2(0,1,0)T，3(01012,0,12)T

2得正交矩阵Q012120，故二次型经过正交变换xQy得到的标准形为1222f(y1,y2,y3)2y124y24y3.

22224y32y32y122y2f(x)f(y)2y124y2（2）xx(Qy)Qyyy，TT2，

2222y3y3xxyyy12y2y12y2TTT故minf(x)2.

xTx（22）（本题满分15分）

设X1,X2,,Xn为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，Y1,Y2,,Ym为来自均值为2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中(0)是未知参数.利用样$，并求D($). 本X1,X2,,Xn,Y1,Y2,,Ym，求的最大似然估计量nXmY22，D($)

nmnm$【答案】x1e【解析】由题意可知f(x)012yx0e，f(y)20其他y0其他，且X与Y相互独立，故f(x,y)f(x)f(y).

构造似然函数L()11ne1i1nxi1(2)me12yjj1m，

m1取对数lnL()nlnximln(2)2i1dlnL()n12求导d1xi22i1nnyj1j，

myj1mj，

令dlnL()$0，得d$)D(1(nm)2nXmY2.

nm2m21DYnDX24(nm)m1nDXDY(nm)2422m2n4(2)nm

——２０２２年真题　　　第１５页，共１５页——