2024年1月9日发(作者：南京初二上册期中数学试卷)

《高等数学》期末练习题1答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCAAC6-10．ABADC二、填空（5小题，共10分）1．答案：arccos4．答案：452．答案：平面yx上的所有点。5．答案：13．答案：16xy20df(r2)rdr.02116120三、计算（8小题，共48分）1．答案：过点P1(0,2,1)，l1方向向量为S1{2,2,1}，过点P2(1,3,1)，l2方向向量为S2{4,2,1}，nS1S26{0,1,2},P1P2{1,5,2}15z22z21，所以n22y距离为dPrjP1P2|P1P2n|/|n|n2．答案：coscos22z1xyuu1sinyy3．解：dudxdyexcosdxdyxyxxx4．解：由2zx2x20，得D内驻点(1，－2)，且z(1,2)15zy2y4022222在边界xy25上，令Lxy2x4y10(xy25)Lx2x22x0由Ly2y42y0Lx2y2250得x5,y25，试卷答案第1页（共26页）

5,251510z5,251510z55比较后可知，函数z在点(1,2)处取最小值z(1,2)15在点5,25处取最大值z5,2515105。5．解：原式210xdxxydyxdxydy100022126．解：Idxdyxyzdz1001x32dx1022x212xydy21x7dx618516xcost

1sinty2z1sint2dssin2t7．解：消z后，可得L的参数方程：0t211cos2tcos2tdtdt，故221sintdt2xyzdsL20cost1sint2168．答案：liman122n1lim4nann1n级数的收敛半径R14四、判断（2小题，共12分）lnx2211．解：设f(x)2，于是lnf(x)x2x1x试卷答案第2页（共26页）

ln(x22)limlnf(x)limxxx取极限2xlim2x0x20故limf(x)1，从而有limx1n1n11，故而1发散。2nn22n1n22．用定义判别级数1的敛散性，若收敛求其和。2n116n8n15答案：级数的一般项un1111()16n28n1584n54n3111111111873117154n54n3级数部分和Sn11111834n14n3n所以limSn112此即级数收敛，且和为112《高等数学》期末练习题2答案一、选择（10小题，共30分）1-5CDCBB6-10BDBDD二、填空（5小题，共10分）2．答案：xy1；3．答案：(221．答案：5；4．答案：zdxxzdy)；y116；5．答案：2224496426三、计算（8小题，共48分）试卷答案第3页（共26页）

1．解：由MM1MM2，得5x2y5z210由MQ1MQ2，得3x7y4z60故M的轨迹方程为5x2y5z2103x7y4z60174cos874cos3742．解：a1,8,3，cosuxuyuzun(1,2,1)2x4y1(1,2,1)28(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)18369(2)()81747474741x212xy2y2y222223/2(xy)y(xy)u3．解：xzx2x2y04．解：由得D内无驻点。z4y2x20y在边界x0上，z12y2y222y0z1(0)213z1221z14y20，得驻点y，z1(2)62在边界y0上，z2x222x0z2(0)22z22x0z2(2)6在边界xy2上，z35y10y62y0z310y100，得驻点y1试卷答案第4页（共26页）

z3(2)6z3(0)6z311，y1时，x1比较后可知，函数z在点(1,1)取最小值z(1,1)1在点(2,0),(0,2)取最大值z(2,0)z(0,2)6111213112y2(xy)dy(2yy)dyy00001或解原式=dx(xy)dy(xx)dx0x02225．解：原式=1dy(xy)dxx16．解：I232ddsinrrsindr4sinrrdr00aab32b4(cosa3cosb3)37．解:Pxy,Qxy,22PQ2xy.故与积分路无关.yxt10对应点M1(0,a),t1a对应M2(a,).42Lxy2dxx2ydy1d(x2y2)L2a122(a,)14(xy)2a.28(0,a)8．解：令x1t，故当x4,tn而级数当t3,3时收敛，nn12n132时，原级数收敛。四、判断（2小题，共12分）1、答案：由于limnunlimnbbnaan当ab时，级数发散故当ab时，级数收敛，另解：因limbbnaan试卷答案第5页（共26页）

若ab，存在N1，使nN1时，有bbA1ana相应：unA，而nAn1n收敛，从而un1n收敛若ab，bbb1存在N2，使nN2时有B1aanan相应有unB，而Bn1n发散，从而un1n也发散。2．解：级数的一般项un级数的部分和2n111n2(n1)2n2(n1)2Sn(111111)()()222232n2(n1)211(n1)2故limSn1n此级数收敛，且其和为1《高等数学》期末练习题3答案一、选择（10小题，共30分）1-5．二、填空（5小题，共10分）1．答案：5；2．答案：直线xy0上的所有点。3．答案：3e54．答案：0.5．答案：R,Rsxnanxn1n1三、计算（8小题，共48分）试卷答案第6页（共26页）

x2y2z211．解：942．解：cos322(1,2,1)cos322cos222uxuyuz(1,2,1)yzxlnzzx(1,2,1)0(1,2,1)12222)122z3y2exfuvexfvy(1,2,1)yxzx1322(1,2,1)所以ua2(3．解：zz3x2exfuexyfvxzx2x204．解：由得D内驻点(1,0)，且z(1,0)1。z6y0yx2y211上，z1x22x12在边界943z13x32x20，z1(3)15z1(3)33比较后可知，函数z在点(1,0)取最小值z(1,0)1，在点(3,0)取最大值z(3,0)1511x111245．解：原式4dx(xy)dy4(x)dx0002236．解：Idz41D(z)zdxdyz2dz14217．解：Lecosxdyey2sin2xdxπ20ecosxdcosxπ20ecosxsin2xdx2试卷答案第7页（共26页）

(ecosxecosx)2π202(1e)8．解：所给级数是以ex为公比的等比级数，因此，当x>0,0ex1,级数x2enx收n0x22nxxe0，级数收敛，且s(x)=0敛，且和函数sx，又x=0时，x1ex21exs(x)=0,,x0x0综上所述四、判断（2小题，共12分）1π1πn110sin所以原级数绝对收sin1．答案：记级数为1，因为nnπnπnπn1n敛，从而收敛。2．答案：记un1ncosnπ20

n2k-1k1故原级数为交错级数,k2kk11

n2k2k从而收敛.《高等数学》期末练习题4答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BABBC6-10．DDBBB二、填空（5小题，共10分）1．答案：－13；2．答案：f(x,y)或2xy2；3．答案：x2y2y34．答案：135．答案：R三、计算（8小题，共48分）试卷答案第8页（共26页）

i1．答案：的法向量为n{111,,}，l1的方向向量为S11jk121{2,1,0}00所求直线方向向量为SnS1{1,2,3}从而所求直线方程为x4y2z3123cosx2sinxcos2ysin2z(0,0,0)(0,0,0)2．答案：ux(0,0,0)12uy(0,0,0)2sin2ysinxcosysinz220，uz(0,0,0)0326426P03．答案：P0P11,3,4,cos126xz2,cos,cosux所以P0yz2P02uyP0P01，uzP02xyz4u134172(4)l26262626zx2x2y02z3y2x10y4．答案：由，得驻点11,,(1,1)33Dzxxzyxzxyzyy2226y12y4，11D,80，D(1,1)80,33点zxx(1,1)2011,非极值点。函数z在点(1,1)处取极小值z(1,1)1。335．答案：原式0xdxsinx0dy试卷答案第9页（共26页）

xsinxdx0.6．答案：设31uxy(x,y)1,1≤u≤3;－1≤v≤12xy(u,)1Iduup100d2113p11101(P1)7．解：203tsint(4cost4tsint)dt4tcost(3sint3tcost)dt20312tdt228．答案：由于x、2nxn的收敛半径分别为1,nn0n01，所以两幂级数乘积的收敛半径2nkn2xn0k011是，故当x,222n11xnn0nnn1时，Fxx2x2n0n0四、判断（2小题，共12分）1．答案：因为当n2a时，敛，从而收敛。an1nn2n而1n12n收敛，所以原级数绝对收nn2n12．答案：记un2，因为un1un2un0nn1n1n22n20，lim所以原级数收敛。n2nn1由于lim发散，因此原级数条件收敛。1，故nn1n1n1n试卷答案第10页（共26页）

《高等数学》期末练习题5答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．二、填空（5小题，共10分）2．答案：xy1221．答案：2，3答案：3154．答案：以曲面z=f(x,y)为顶，D为底的曲顶柱体的体积。5．答案：61872100三、计算（8小题，共48分）1．答案：消去x，得3yz16即为所求柱面方程。2．答案：zx22cosyyexzyysinycosyy2exxyz3．答案：yzdxxzdyxydze(dxdydz)xyexyzdzexyzyzdxexyzxzdyzexyzyzxxyexyz4．答案：由zexyzxzyxyexyzzxcos(xy)cosx0zycos(xy)0,n，其中m,n0,1,2,22解得驻点：m5．答案：原式6．答案：设0dx2x084xydyx2dx03222ua1xb1yc1va2xb2yc2J1试卷答案第11页（共26页）

I2uv210u211dudv1232drcosdr044(a1b2a2b1)7．答案：I(x2yC2)dy12(x2x)2xdx412(2x24x5)dx23[xx6]124838．答案：由于liman11,R1,nan当x1时，级数收敛；当x1时，级数发散。当x1时，unx1,故p1时，级数绝对收敛；当p1时，级数发散。n1p,故p1时,级数绝对收敛；当0p1时，级数条件收n1当x1时，unxn1p敛；当p0时，级数发散。所以，当p1时，收敛域是1,1;当0p1时，收敛域是1,1,当p0时，收敛域是1,1.四、判断（2小题，共12分）1．答案：记un1nn!nnn!nn则n时，un1111nune11n于是原级数绝对收敛从而收敛。试卷答案第12页（共26页）

a4na4nbn42．答案：记un，令ba，由于un1a8n1b2n1a8n因此，只须考察0b1情形即可。1()nb11()2nb1当b1时，un2而un0nn发散bnn当0b1时，unb1b2nbn0n收敛，故un0收敛。纵上所述，a1时，级数un0n收敛a1时，级数un发散n0当a11a4n1，而4n收敛，故un收敛。un1a8na4nn1an1a4n4n4nuna，而a收敛，故un收敛。8n1an1n1当a11当a1，un2un1n发散。《高等数学》期末练习题6答案一、选择（10小题，共30分）1-5．二、填空（5小题，共10分）1．答案：，2．答案：xy3．答案：722,x0,x1或xy2,x0,x13e5，4．答案：5．答案：n0n!,三、计算（8小题，共48分）1．答案：M1M2{6,0,9},M2M3{0,12,4}所求平面法向量为：nM1M2M2M312{9,2,6}，设所求平面方程为：9x2y6zD0试卷答案第13页（共26页）

M3到的距离为dD7111y)222由条件d2，解得D15和D29，故所求平面方程为9x2y6z150和9x2y6z2902．答案：zxsin2(x3．答案：coscoszyz1x11sin2(xy)22z22z21，所以n22ycos0cos110nx,4．答案：ux132yz,1,0,，cos31039M02uy2yM0M02xM0M00uz2zM0M06u3112(2)06n1010105．答案：原式0dxsinx0(xy)dy21(xsinxsin3x)3dx49xarcos6．答案：设：ybrsinzz202cos1r24JabrI4d20dr0abrdz16ab(1sin3a)d30162ab()3236xy,得(x,y)3x2yC(y).x7．答案：解：由I1与积分路径无关，得又由I2与积分路径无关，得3x2C(y)3y23x2,得C(y)y3C1.y试卷答案第14页（共26页）

故(x,y)3x2yy3C1.由(0,1)1,知C10.故(x,y)3x2yy3.8．答案：liman122n1nalimn4级数的收敛半径R1nn14四、判断（2小题，共12分）1．答案：由a11，可得a2cos1，于是0a21用数学归纳法可证得0an1因为an1cosancos10，显然有limnan0，故而ann发散。12．答案：记ucosnxn1lnn，则unulnn1cosxcosxnnlnn当xkπk0,1,2,时，cosx1，则原级数绝对收敛，从而收敛，当x2kπ时，cosx1，原级数为1故发散；n2lnn当x2k1π时，cosx1，原级数为1nn2lnn，故条件收敛。《高等数学》期末练习题7答案一、选择（10小题，共30分）1-5．BBCAD6-10．CCBDC二、填空（5小题，共10分）1．答案：(-1,7-5)；2．答案：x0,xy；3．答案：-1；4．答案：1a33.5．：13,三、计算（8小题，共48分）试卷答案第15页（共26页）13

1．答案：设平面为:20x4y5zD0在1上取点P0(0,7,0)4则该点到距离为dD721由d6，得D119和D133故所求平面为：20x4y5z1190和20x4y5z13302．答案：ysinzdxxsinzdyxycoszdz2dzdzysinzdxxsinzdy2xycosz22z3xz2y3．答案：coscos所以z225232n222zx3x2y04．答案：由，得D内无驻点。2z3yx0y在边界x0上，z1y在边界y0上，z2x30y1，z13y200x3z1(0)0z2(0)0z1(1)111z2()28313x20，z222在边界2xy1上，z37x10x5x110x2z321x220x50z3(0)111z328比较后可知，函数z在点(0，0)取最小值z(0,0)0，在点(0,1)取最大值z(0,1)15．答案：原式21xdx1y2dyx2ttx12419(x)dx131x2102t6．答案：F(t)2drdrf(r)dz2tf(r)rdr0000试卷答案第16页（共26页）

F(t)2f(r2)rdr2t2f(t2)，F″(t)=6πtf(t2)+4πt3f′(t2)0t7．答案：ds(costtsint)2(sinttcost)212dtt22dtCzdst3t22dt02232令ut22(u22)u2du21u5u3358(22)15228．答案：(1)Fx2a0ak12k1x2k1a2kakx2k，1(2)由于anx的收敛半径是，4n0nanxn的收敛半径为n01，所以2Fx的幂级数的收敛半径是1。4…四、判断（2小题，共12分）1．答案：所给级数为如下两个级数之和222un1332n1322,vn1223n1前者为收敛的等比级数，后者为发散的等比级数。3n2n32发散，unvn11323n122323故脱括号后11也发散。32322．答案：由比值判别法nn试卷答案第17页（共26页）

an1n1!n1un1annaan1limlimlimlimnnunn(n1)nneann1n1nnn可见当0ae时，级数收敛，当ae时，级数发散n1当ae时，比值判别法失效，但是由于1e，可得un1un，故级数发散。n《高等数学》期末练习题8答案一、选择（10小题，共30分）1-5．2DBAA6-10．AABBA二、填空（5小题，共10分）1．答案：1172x{3,2,2}2．答案：yx,x0311,44,x2y213．答案：e4．答案：135．答案：三、计算（8小题，共48分）x2y2z2x2y21，由于与xoy平面交线为椭圆1，1．答案：设双曲面方程为abc49x2y2z21。故a4,b9,又与x2交线为L，故cb9，从而双曲面为4992．解：原式两边对x求导得yzzzzyxzy0，则xxxyx同理可得：也可：zzxyyx试卷答案第18页（共26页）

FzzyxxFyyxFyzzxyFxyx3．答案：dxdydzedzzdz11dxdyzze1e1zx14．答案：由zy2得D内无驻点在边界xy1上，z1x10x1z110z1(0)1z1(1)0,1x0在边界xy1上，z23x1z230z2(1)2z2(0)1在边界xy1上，z3x31x010z3(1)2z3z3(0)3在边界xy1上，z43x30x1z430z4(0)311z4(1)0比较后可知，函数z在点(0,1)取最小值z(0,1)3，在点(0,1)取最大值z(0,1)111315．答案：原式dyx1xydx(y1)dy0y304226．答案：Ixdxydyzdz11002x2031xdxx8y2dy4001120Q1Pf(xy)xyf\'(xy)2，故积分与路径无关。xyy117．答案：解：试卷答案第19页（共26页）

原式322fxdx333212231f(y)2dyy233132fxdx3令23223f(y)dy123由于232f(y)dyxy2f(y)dy，故原式4un1xx28．答案：因为lim，所以当x2时，级数收敛，nux2n且当x2时，级数发散，故收敛域是2,2。四、判断（2小题，共12分）n1an12n1!nn2281n21．答案：n1nn2ann12n!11119n2nn21112nn!因1单调有11，于是级数n是收敛的。nn2n1nn11p0时，limn2．答案：当np0，故原级数发散。1当0p1时，p发散，又由莱布尼兹判别法知n1nn11n1收敛，从而原级数np条件收敛；当p1时，nn11p收敛，故原级数绝对收敛。《高等数学》期末练习题9答案一、选择（10小题，共30分）1-5．BACAC6-10．DADBB二、填空（5小题，共10分）试卷答案第20页（共26页）

1．答案：2arcsin4．答案：3，2．答案：。523．答案：(zdxxzdy)y20df(r2)rdr.5．答案：RR1R20三、计算（8小题，共48分）11，即与xoy交点为(4,,0)221313,z4，即与yoz交点为(0,,4)令x0，得y22131131,z，即与zox交点为(,0,)令y0，得x33331．答案：令z0，得x4,y2．答案：ux11yuy(1y)(xy)1x(1y)2(1y)212dxdy39du(1,2)ux(1,2)dxuy(1,2)dy3．答案：1zzyzzzyzcos(xz)e0，cos(xz)(1)e0xxyyzcos(xz)zeyz从而，xcos(xz)eyzycos(xz)eyz22zx6x3y6014144．答案：由，得驻点(1,0),(1,0),,,,3333zy6xy2y0Dzxxzyxzxyzyy12x6y6y6x2，14D,64033D1,0480D1,096014,D,64033,zxx(1,0)1201414,zxx(1,0)120，点,,,非极值点。3333函数z在点(1,0)处取极小值z(1,0)4。在点1,0取最大值z1,04。试卷答案第21页（共26页）

5．答案：原式21dxsinyy222yxdxcos122y42ydy216．答案：由对称性xyd0Id2d022acos02acosrdrdz1r22a2d0202acosrdrdz1r22a2d020r2r(1)dr2a4a2(acos4cos2)d02a2(3a4)47．答案：解：KS，ds1(y\')2dx1xdxSx021xdx(1x)3322，322k(126105)K1xdx93ks22(551)230MLds402(1x)332或MLds3(551)20ksds2k(126105)98．解：幂级数fx1n1nx2n的收敛域为1,1，所以fx在1,1上连续。2n又当x1,1，且x0时有：fx21n1n2nx2n12nx1nxn1n试卷答案第22页（共26页）

21ln1x2，故f4ln5ln4x2四、判断（2小题，共12分）1．答案：级数的一般项un级数部分和1111()24n4n342n12n3Sn111111111111432n12n345372n12n3n所以limSn11，此即级数收敛，且和为33cosn1xcosn2x|cosn2xcosn3xn2Sn,p|2．答案：|n1cosnpxcosnp1xnpcosn1xcosnp1xcosn2xcosn3xn1np(n1)n2(n2)n3cosnpx(np1)np111112np1npn1n1npn1n2n2n32当nN时，对于p1,2,，不等式Sn,p存在，由此，对任意的0，有NN成立。故由柯西准则知所论级数收敛。《高等数学》期末练习题10答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCBCD6-10．BBBBC二、填空（5小题，共10分）试卷答案第23页（共26页）

1．答案：534．答案：2．答案：x轴及y轴上的所有点。x3．答案：0dx01xf(x,y)dy.5．答案：11,1三、计算（8小题，共48分）x75t1．答案：l参数方程为y4t代入方程，解得t1，故l，交点M0为(2,3,1)z54t过M0与l垂直的平面方程为5xy4z170，所求直线为3xy2z505xy4z1702．答案：zxxa2x2y2,zyaylnaxa2x2y2dzxydydxalnaa2x2y2a2x2y2xyx21zyf(u)xx3．答案：zxf(u)yzx4x34x02224．答案：由得驻点(0,0),0,,(1,0),1,,(1,0),1,2z3y2y0333yDzxxzyxzxyzyy12x24006y2D(0,0)80,2D(1,)160322D(0,)80,zxx(0,)4033D(1,0)160,zxx(1,0)80D(1,0)160,zxx(1,0)802D(1,)1603试卷答案第24页（共26页）

点(0,0),1,,1,非极值点。函数z在点(0,)处取极大值z(0,)2312323234。函27数z在点(1,0)处取极小值z(1,0)1。函数z在点(1,0)处取极小值z(1,0)1。5．答案：原式＝0pqxydydxdxxydy0q1pdyxydxq0pxy11dydyqqy1y10p1lnq1p1p1uxy6．答案：设yvxI2a2a2J12vdu121cos(1nv)2va2sin(1n2)27．答案：L的方程：3x+4y=-133x13)dx(1)(dx)1124311(x)dx1243(x38．答案：答案：由于liman11,R1,nan当x1时，级数收敛；当x1时，级数发散。当x1时，unx1,故p1时，级数绝对收敛；pn1n1当x1时，unxn1p当p1时，级数发散。,故p1时,级数绝对收敛；当试卷答案第25页（共26页）

0p1时，级数条件收敛；当p0时，级数发散。所以，当p1时，收敛域是1,1;当0p1时，收敛域是1,1当p0时，收敛域是1,1.四、判断（2小题，共12分）1．答案：limun1limnunn53n1n1!2n2!n53n!2n!lim5n10n32n22n1由比值判别法，un1n收敛。n1n1u2．答案：由于limn1limnnunnn故当01,为任意实数时，原级数收敛当1,为任意实数时，原级数发散当1,1时，原级数收敛。当1,1时，原级数发散。试卷答案第26页（共26页）


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