2024年3月27日发(作者：编制小学数学试卷的方法)
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
（1）【2016年北京，文1，5分】已知集合
A
x2x4
，
B
xx3或x5
，则
AB
（ ）
（A）
x2x5
（B）
xx4或x5
（C）
x2x3
（D）
xx2或x5
【答案】C
【解析】∵集合
A
x2x4
，
B
xx3或x5
，∴
AB
x2x3
，故选C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．
12i
（2）【2016年北京，文2，5分】复数
（ ）
2i
（A）
i
（B）
1i
（C）
i
（D）
1i
【答案】A
12i
12i
2i
5i
i
，故选A． 【解析】
2i
2i
2i
5
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础
题．
（3）【2016年北京，文3】执行如图所示的程序框图，输出
s
的值为（ ）
（A）8（B）9（C）27（D）36
【答案】B
【解析】当
k0
时，满足进行循环的条件，故
S0
，
k1
，当
k1
时，满足进行循环的条件，
故
S1
，
k2
，当
k2
时，满足进行循环的条件，故
S9
，
k3
，当
k3
时，不满足进行循环
的
条件，故输出的
S
值为9，故选B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进
行解答．
（4）【2016年北京，文4，5分】下列函数中，在区间
1,1
上为减函数的是（ ）
（A）
y
【答案】D
【解析】A．
x
增大时，
x
减小，
1x
减小，∴
1
（B）
ycosx
（C）
yln
x1
（D）
y2
x
1x
1
1
增大；∴函数
y
在
1,1
上为增函数，该选
1x
1x
项错误；
B．
ycosx
在
1,1
上没有单调性，该选项错误；C．
x
增大时，
x1
增大，
ln
x1
增大，
∴
yln
x1
在
1,1
上为增函数，即该选项错误；D．
y2
x
在
1,1
上
为减函数，∴该选项正确，故选D．
【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，
指数式的运算．
2
（5）【2016年北京，文5，5分】圆
x1
y
2
2
的圆心到直线
yx3
的距离为（ ）
（A）1 （B）2 （C）
2
（D）
22
1
；∴根据指数函数单调性知，该函数
2
x
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【答案】C
【解析】∵圆
x1
y
2
2
的圆心为
1,0
，∴圆
x1
y
2
2
的圆心到直线
yx3
的距离为：
22
2
，故选C．
2
【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式
和圆的性质的合理运用．
（6）【2016年北京，文6，5分】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
1
2
89
（A） （B） （C） （D）
5
52525
【答案】B
【解析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数
nC
5
2
10
，甲被选中包含的基本事件的
42
11
C
4
4
，∴甲被选中的概率
P
，故选B． 个数
mC
1
n105
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运
用．
（7）【2016年北京，文7，5分】已知
A
2,5
，
B
4,1
．若点
P
x,y
在线段
AB
上，则
2xy
的最大值为（ ）
（A）
1
（B）3 （C）7 （D）8
【答案】C
【解析】如图
A
2,5
，
B
4,1
．若点
P
x,y
在线段
AB
上，令
z2xy
，则平行
y2xz
当直线经过
B
时截距最小，可得
2xy
的最大值为：
z
取得最大值，
2417
，
故选C．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．
（8）【2016年北京，文8，5分】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两
个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，
则（ ）
（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛
（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛
【答案】B
【解析】∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进
入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必
进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，
a
，60，63，
a1
有且只
有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选B．
【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．
d
13
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
（9）【2016年北京，文9，5分】已知向量
a1,3
，
b
【答案】
3,1
，则
a
与
b
夹角的大小为 ．
6
【解析】∵向量
a1,3
，
b
∴
∴
a
与
b
夹角
满足：
cos
3,1
，
ab
ab
233
，又∵
0,
，
222
．
6
【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．
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（10）【2016年北京，文10，5分】函数
f
x
【答案】2
x
x2
的最大值为 ．
x1
xx111
；∴
f
x
在
2,
[上单调递减；∴
x2
时，
f
x
取最大值2．
1
x1x1x1
【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调
性求最值的方法．
（11）【2016年北京，文11，5分】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为______．
3
【答案】
2
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面
13
S
12
1
，
22
3
棱柱的高为1，故棱柱的体积
V
．
2
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解
答的关键．
x
2
y
2
（12）【2016年北京，文12，5分】已知双曲线
2
2
1
a0,b0
的一条渐近线为
2xy0
，一个
ab
【解析】
f
x
焦点为
5,0
，则
a
，
b
．
【答案】1；2
x
2
y
2
【解析】∵双曲线
2
2
1
a0,b0
的一条渐近线为
2xy0
，一个焦点为
ab
b
a
2
，
a
2
b
2
5
5,0
，∴
解得
a1
，
b2
．
【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运
用．
2
b
（13）【2016年北京，文13，5分】在
ABC
中，
A
，
a3c
，则
_______．
3c
【答案】1
3cc
2
ac1
【解析】在
ABC
中，
A
，
a3c
，由正弦定理可得：，，
sinC
，
3sinAsinC
sin
2
sinC
2
3
2
b
C
，则
B
．三角形是等腰三角形，
BC
，则
bc
，则
1
．
6366
c
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．
（14）【2016年北京，文14，5分】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，
第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商
品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有 种；②这三天售出的商品最
少有 种．
【答案】16；29
【解析】①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的
种
类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的
商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这
三天售
出的商品种类最少为29种．．
【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生逻辑思维能力，
是中档题．
三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
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