2024年3月15日发(作者：云南联考数学试卷真题)
整式乘除与因式分解
概述
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，
是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法
与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学
生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为
学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高
学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而
在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相
乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，
除法等。
注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成
两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项
式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正
数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a
2
±2ab＋b
2
＝(a±b)
2
；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个
数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)；
立方差公式：a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)；
完全立方公式：a
3
±3a
2
b＋3ab
2
±b
3
=(a±b)
3
．
公式：a
3
+b
3
+c
3
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)
例如：a
2
+4ab+4b
2
=(a+2b)
2
。
（3）分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考
虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除
以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项
式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
一
、知识点总结：
1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母
也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：
2abc
的 系数为
2
，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项
的次数叫多项式的次数。
如：
a2abx1
，项有
a
、
2ab
、
x
、1，二次项为
a
、
2ab
，一次项为
x
，常
数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：
222
2
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