新版北师大数学八年级上册知识点总结全面

2023年12月11日发(作者：中考数学试卷新版题型分布)

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结

第一章 勾股定理

1、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即abc

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系abc，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足abc的三个正整数，称为勾股数。

4、常用勾股数：3、4、5 6、8、10 9、12、15 15、 20、25 7、24、25 5、12、13 8、15、17 9、40、41

5、解立体图形上两点之间的最短距离问题

（1）将立体图形展成平面图形

（2）根据“两点之间线段最短”确定最短路线

（3）最后以上面的最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理解决

圆柱表面蚂蚁吃面包： 勾股定理：圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方

6、直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边

7、折叠问题的常用方法：折叠前后的图形全等。然后一边是x另一边是关于x的代数式

第二章 实数

1、实数的分类

正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数

2、无理数：（1）无限不循环小数； （2）开方开不尽的数，如7,32等

（3）π，或化简后含有π的数，如222222222π+8等；（4）有特定结构的数，如0.1010010001…3（5）某些三角函数值，如sin60o等

3、算数平方根 平方根 立方根

X=a X=a X=a

(x一个值，取正) （ x两个值，一正一负） (x一个值，可正可负)

记做X=a x=

223a x=

3a 平方根性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

立方根性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零。

4、二次根号下有意义的条件：根号下是非负数，即≥0

5、开平方：求一个数a的平方根的运算叫开平方，求一个数a的立方根的运算叫做开立方。a叫做被开方数。

6、实数的倒数、相反数和绝对值与有理数的意义是一致的

7、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

ab0ab,

ab0ab,

ab0ab

aaa（2）求商比较法设a、b是两正实数，1ab;1ab;1ab;

bbb（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则abab。

22（5）平方法：设a、b是两负实数，则abab。

8、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“2、性质：

（1）ab（2）”；被开方数a必须是非负数。

ab(a0,b0) （abab(a0,b0)）

aba(a0,b0)）

baa(a0,b0) （bb9、最简二次根式：运算结果若含有“a”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

10、非负数的情况：根号下，平方，绝对值。

例如

11、常用的平方与立方

11²=121，12²=144，13²=169,14²=196，15²=225,16²=256,17²=289，18²=324,19²=361，20²=400，21²=441, 25²=625 2的立方8 3的立方27 4的立方64 5的立方125 6的立方216

12、常用的开二次根式（自己填好）

8=

18=

32=

50=

12=

20=

24=

28=

80=

27=

48=

第三章 位置与坐标

1、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

2、平面直角坐标系

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

3、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

4、点的坐标的概念

对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。

5、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)第一象限x0,y0（+ +） 点P(x,y)第二象限x0,y0（- +）

点P(x,y)第三象限x0,y0（- -） 点P(x,y)第四象限x0,y0（+ -）

6、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上y0（x轴上的点纵坐标为0）

点P(x,y)在y轴上x0（y轴上的点横坐标为0）

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点

7、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等（直线y=x）

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数（直线y=-x）

8、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 9、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

总述，关于哪个轴对称哪个坐标不变，另一个坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

10、点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x

22（3）点P(x,y)到原点的距离等于xy

11、坐标变化与图形变化的规律：

坐标（ x ， y ）的变化

x × a或 y × a

x × a， y × a

x ×（ -1）或 y ×（ -1）

x ×（ -1）， y ×（ -1）

x +a或 y+ a

x +a， y+ a

图形的变化

被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍

放大（缩小）为原来的 a倍

关于 y 轴或 x 轴对称

关于原点成中心对称

沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位

沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单

第四章 一次函数

1/函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

3、由函数关系式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

4、正比例函数和一次函数

(1)一次函数的形式ykxb（k，b为常数，k0）， 正比例函数的形式ykx（k为常数，k0）正比例函数是特殊的一次函数

(2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数ykxb的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。

5、一次函数的性质和正比例函数的性质

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

／k／的决定直线的倾斜程度，／k／越大直线越陡，／k／越小直线越缓

b代表与y轴交点的纵坐标。

当b>0 直线交y轴正半轴 b<0直线交y轴负半轴

6、一次函数与y轴的交点坐标为（0，b）；一次函数与x轴的交点坐标，另y等于0，求出x的值.即（—b，0）

k7、一次函数与坐标轴围成的三角形面积：

1×／与x轴的交点横坐标／×／与y轴的交点纵坐标／

28、两个一次函数k1=k2,b1 ≠ b2两直线平行

k1≠k2,b1= b2两直线相交于y轴上的点（0，b）

k1×k2=-1.两直线垂直

9、直线y=2x向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-3

10、在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x轴y轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。

11、一次函数与一元一次方程的关系：

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应x的值．

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

第五章 二元一次方程组

1、二元一次方程（1-5都为理解内容）

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 4二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：

（1）一次函数与二元一次方程的关系：

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解

（2）一次函数与二元一次方程组的关系：

二元一次方程组的解可看作两个一次函数的图象的交点坐标。

当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

7、个位数字为x十位数字为y的两位数为10y+x

较大的两位数为x较小的两位数y，将较大的写在左边的四位数是100x+y

第六章 数据的分析

1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数

2、平均数

1(x1x2xn)。

n（2）加权平均数：x=(xf+xf+…….+xf)

（1）平均数：x=一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数。

注意：（1）众数可能不止一个

（2）众数是出现次数最多的那个数据而不是次数

4、中位数

（1）先排列（2）中间一个数据或最中间两个数据的平均数

注意：奇数个数的中位数，可以把数字加1，再除以2.这个位置就是中位数。如101 3、众数

个数字，是101+1为102除以2.第51位的数字，就是

偶数个，直接除以2的那位，和它后一位数字的平均数。如100个数字，就是100除以2为50，和51位上数字的平均数

5、中位数，众数，平均数如数据有单位那么要加单位。

6、刻画数据离散程度的量：极差，方差，标准差。他们越小数据越稳定。

7、极差：一组数据最大值-最小值

8、方差：各个数据与平均数的差的平方的平均数

步骤：（1）求这组数据的平均数 （2）个数与平均数的差

（3）差的平方 （4）再求平均数 9、标准差：方差的算数平方根。

第七章 平行线的证明

1、. 定义与命题 （理解不用记忆）

（1）. 定义

一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.

定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.

（2）. 命题

可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题. 正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.

（3）. 公理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.

（4）. 定理

有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

（5）. 证明

根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.

2. 为什么它们平行

1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)

2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.

3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.

3. 如果两条直线平行

1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;

2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;

3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.

4. 三角形和定理的证明

三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°

5. 关注三角形的外角

三角形内角和定理的两个推论:

推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

6、不是命题的情况：疑问句，短语，图的做法。