高一数学课本内容

2023年12月10日发(作者：数学试卷答案创意)

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第一章 集合与简易逻辑

本章概述

1.教学要求

[1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法;熟练掌握一元二次不等式的解法.

[3]理解逻辑联结词\"或\"、\"且\"、\"非\"的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件.

2.重点难点

重点：有关集合的基本概念;一元二次不等式的解法及简单应用;逻辑联结词\"或\"、\"且\"、\"非\" 与充要条件.

难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系;\"四个二次\"之间的关系;对一些代数命题真假的判断.

3. 教学设想

利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念;突出一种数学方法--元素分析法;渗透两种数学思想--数形结合思想与分类讨论思想;掌握三种数学语言--文字语言、符号语言、图形语言的转译.

1.1 集合(2课时)

目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法--列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

教学过程：

第一课时

一、引言：(实例)用到过的\"正数的集合\"、\"负数的集合\"、\"不等式2x-1>3的解集\"

如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 优秀学习资料 欢迎下载

集合与元素： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出：\"集合\"如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：

用大括号表示集合 { ... }

如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合

如：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}

常用数集及其记法：

1.非负整数集(即自然数集) 记作：N 2.正整数集 N*或 N+ 3.整数集 Z

4.有理数集 Q 5.实数集 R

集合的三要素： 1。元素的确定性; 2。元素的互异性; 3。元素的无序性

三、关于\"属于\"的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作 a?A ，相反，a不属于集A 记作 a?A (或aA) 例： 见P4-5中例

四、练习 P5 略

五、集合的表示方法：列举法与描述法

1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来。

例：由方程x2-1=0的解集;例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合。

2. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

① 文字语言描述法：例{斜三角形}再见P6 ○2符号语言描述法：例不等式x-3>2的解集 图形语言描述法(不等式的解集、用图形体现\"属于\"，\"不属于\" )。

3. 用图形表示集合(韦恩图法) P6略

六、集合的分类

1.有限集 2.无限集

七、小结：概念、符号、分类、表示法 优秀学习资料 欢迎下载

八、作业 P7习题1.1

1.1 第二教时

一、 复习：(结合提问)

1.集合的概念 含集合三要素

2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3.集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集

4.关于\"属于\"的概念

二、 例题

例一 用适当的方法表示下列集合：(符号语言的互译，用适当的方法表示集合)

1. 平方后仍等于原数的数集

解：{x|x2=x}={0,1}

2. 不等式x2-x-6<0的整数解集

解：{x?Z| x2-x-6<0}={x?Z| -2

3. 方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集

解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)}

4. 使函数有意义的实数x的集合

解：{x|x2+x-6?0}={x|x?2且x?3,x?R}

例二、下列表达是否正确，说明理由.

1.Z={全体实数} 2.R={实数集}={R} 3.{(1，2)}={1，2} 4.{1，2}={2，1}

例三、设集合试判断a与集合B的关系.

例四、已知

例五、已知集合，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.

三、 作业 《教材精析精练》 P5智能达标训练

1.2子集、全集、补集 优秀学习资料 欢迎下载

教学目的： 通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

(1)了解集合的包含、相等关系的意义; (2)理解子集、真子集的概念;

(3)理解补集的概念; (4)了解全集的意义.

教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

教学过程:

第一课时

一 提出问题:集合与集合之间的关系.

存在着两种关系:\"包含\"与\"相等\"两种关系.

二 \"包含\"关系-子集

1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.

结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A?B (或B?A);也说: 集合A是集合B的子集.

2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B (或B?A)

注意: ?也可写成?;?也可写成?;í 也可写成ì;?也可写成?。

3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ?A

三 \"相等\"关系

1. 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} \"元素相同\"

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B， 即： A=B

2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 A?A

② 真子集：如果A?B ,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作

③ 空集是任何非空集合的真子集。

④ 如果 A?B, B?C ,那么 A?C

同样;如果 A?B, B?C ,那么 A?C 优秀学习资料 欢迎下载

⑤ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

四 例题：

例一 写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

例二 解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来.

练习 课本P9

例三 已知，问集合M与集合P之间的关系是怎样的?

例四 已知集合M满足

五 小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号

几个性质： A?A

A?B, B?C ==>A?C

A?B B?A==> A=B

作业：P10 习题1.2 1,2,3

1.2 第二教时

一 复习：子集的概念及有关符号与性质。

提问：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系。

二 补集与全集

1.补集、实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。

集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。

定义：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

记作： CsA 即 CsA ={x ? x?S且 x?A}

2. 全集

定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 优秀学习资料 欢迎下载

如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合。

例1(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA

(2)若A={0}，求证：CNA=N*。

(3)求证：CRQ是无理数集。

例2已知全集U=R，集合A={x|1≤2x+1<9｝，求CA。

例3 已知S={x|-1≤x+2<8｝，A={x|-2<1-x≤1｝，

B={x|5<2x-1<11｝，讨论A与CB的关系。

三 练习：P10(略)

1、已知全集U={x|-1

(A)a<9 (B)a≤9 (C)a≥9 (D)1

2、已知全集U={2，4，1-a｝，A={2，a2-a+2｝。如果CUA=

{-1｝，那么a的值为 。

3、已知全集U，A是U的子集，是空集，B=CUA，求CUB，CU，CUU。

(CUB= CU(CUA，CU=U，CUU=)

4、设U={梯形｝,A={等腰梯形｝,求CUA.

5、已知U=R，A={x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.

6、集合U={(x，y)|x∈{1,2｝,y∈{1,2｝｝ ,

A={(x，y)|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求CUA.

7、设全集U(UΦ)，已知集合M，N，P，且M=CUN，N=CUP，则M与P的关系是( )

(A) M=CUP，(B)M=P，(C)MP，(D)MP.

四 小结：全集、补集

五 作业 P10 4，5

1.2 第三教时

一、复习：子集、补集与全集的概念，符号 优秀学习资料 欢迎下载

二、讨论：1.补集必定是全集的子集，是否必是真子集?什么时候是真子集?

2.A?B 如果把B看成全集，则CBA是B的真子集吗?什么时候(什么条件下)CBA是B的真子集?

3. 研究

三、例题

例一 设集合CUA={5}，求实数a的值.

例二 设集合

例三 已知集合且A中至多只有一个奇数，写出所有满足条件的集合.

例四 设全集U={2,3,},A={b,2},={b,2},求实数a和b的值.

(a=2、-4,b=3)

四、 作业

《精析精练》P9 智能达标训练

1.3 交集与并集(3课时)

教学目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。

(1)结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念;

(2)掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集;

教学重点：交集和并集的概念

教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

教学过程：

一、复习引入：

1.说出 的意义。

2.填空：若全集U={x|0≤x<6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么CUA= ,CUB= .

3.已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .

4. 如果集合 A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}用韦恩图表示(1)由集合A,B的公共元素组成的集合;(2)把集合A,B合并在一起所成的集合. 优秀学习资料 欢迎下载

公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B

二、新授

定义： 交集： A∩B ={x|x?A且x?B} 符号、读法

并集： A∪B ={x|x?A或x?B}

例题：例一 设 A={x|x>-2},B={x| x<3},求.

例二 设 A={x|是等腰三角形},B={x| 是直角三角形},求.

例三 设 A={4，5，6，7，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.

例四 设 A={x|是锐角三角形},B={x| 是钝角三角形},求A∪B.

例五 设 A={x|-1

例六 设A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C求x,y.

解：由A∩B=C知 7?A ∴必然 x2-x+1=7 得

x1=-2, x2=3

由x=-2 得 x+4=2?C ∴x?-2

∴x=3 x+4=7?C 此时 2y=-1 ∴y=-

∴x=3 , y=-

例七 已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B.

解： ∵?A且 ?B ∴

解之得 s= ?2 r= ?

∴A={?} B={?}

∴A∪B={?,?}

练习P12

三、小结： 交集、并集的定义

四、作业：课本 P13习题1、3 1--5

补充：设集合A = {x | ?4≤x≤2}, B = {x | ?1≤x≤3}, C = {x |x≤0或x≥ }, 优秀学习资料 欢迎下载

求A∩B∩C, A∪B∪C。

1.3 第二教时

复习：交集、并集的定义、符号

授课： 一、集合运算的几个性质：

研究题 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}

求：(CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B)

若全集U, A,B是U的子集，探讨 (CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B) 之间的关系.

结合韦恩图 得出公式：(反演律)

(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)

(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)

另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,

A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.

(注意与实数性质类比)

例8. 设 A = {x | x2?x?6 = 0} B = {x | x2+x?12 = 0}，求 ;A∪B

二、关于奇数集、偶数集的概念及一些性质

例9. 已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，

求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z.

练习 P13

三、关于集合中元素的个数

规定：有限集合A 的元素个数记作： card (A) 作图 观察、分析得：

card (A∪B) ? card (A) + card (B)

card (A∪B) = card (A) +card (B) ?card (A∩B)

五、作业： 课本 P14 6、7、8 优秀学习资料 欢迎下载

1.3 第三教时

例1.如图(1) U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的区域，试填下表：

区域号 相应的集合 1 CUA∩CUB 2 A∩CUB 3 A∩B 4 CUA∩B 集合 相应的区域号

A 2，3 B 3，4 U 1，2，3，4 A∩B 3

图(1) 图(2)

例2.如图(2) U是全集，A，B，C是U的三个子集，图中有8个用数字标

出的区域，试填下表： (见右半版)

区域号 相应的集合 1 CUA∩CUB∩CUC 2 A∩CUB∩CUC 3 A∩B∩CUC 4 CUA∩B∩CUC 5

A∩CUB∩C 6 A∩B∩C 7 CUA∩B∩C 8 CUA∩CUB∩C 集合 相应的区域号 A 2，3，5，6 B 3，4，6，7 C 5，6，7，8 ∪ 1，2，3，4，5，6，7，8 A∪B 2，3，4，5，6，7 A∪C 2，3，5，6，7，8 B∪C

3，4，5，6，7，8 例3.已知：A={(x,y)|y=x2+1,x?R} B={(x,y)| y=x+1,x?R }求A∩B。

例4. 设集合.

例5. 已知集合(1)判断B,C,D间的关系; (2)求A∩B.

例6. 已知集合

若.

作业： 《精析精练》P15 智能达标训练

集合 单元小结(2课时)

教学目的： 小结、复习整单元的内容，使学生对有关的知识有全面系统的理解。

一、复习：

1.基本概念：集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集

2.含同类元素的集合间的包含关系：子集、等集、真子集

3.集合与集合间的运算关系：全集与补集、交集、并集

4. 主要性质和运算律

(1) 包含关系：

(2) 等价关系：

(3) 集合的运算律： 优秀学习资料 欢迎下载

交换律：

结合律:

分配律:.

0-1律：

等幂律：

求补律：

反演律：(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)

(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)

5.有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为n(A). 规n(φ )=0.

基本公式：

(3)

二、例题及练习

1、用适当的符号(?，?， ， ，=，?)填空：

0 ?; 0 N; ? {0}; 2 {x|x?2=0};

{x|x2-5x+6=0} {2,3}; (0,1) {(x,y)|y=x+1};

{x|x=4k,k?Z} {y|y=2n,n?Z}; {x|x=3k,k?Z} {x|x=2k,k?Z};

{x|x=a2-4a,a?R} {y|y=b2+2b,b?R}

2、用适当的方法表示下列集合，然后说出其是有限集还是无限集。

① 由所有正奇数组成的集合; ({x=|x=2n+1,n?N} 无限集 注意\"自然数\"定义)

② 由所有小于20的奇质数组成的集合;

③ 平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;

④ 方程x2-x+1=0的实根组成的集合;( ? 有限集 )

⑤ 所有周长等于10cm的三角形组成的集合; 优秀学习资料 欢迎下载

3、已知集合A={x,x2,y2-1}, B={0,|x|,y} 且 A=B求x,y。

4、求满足{1} A?{1,2,3,4,5}的所有集合A。

5、设U={x?N|x<10}, A={1,5,7,8}, B={3,4,5,6,9}, C={x?N|0≤2x-3<7} 求：

A∩B,A∪B,(CUA)∩(CUB), (CUA)∪(CUB),A∩C, [CU(C∪B)]∩(CUA)。

6、设A={x|x=12m+28n,m、n?Z}, B={x|x=4k,k?Z} 求证:1。 8?A 2。 A=B

7、设 A∩B={3}, (CUA)∩B={4,6,8}, A∩(CUB)={1,5}, (CUA)∪(CUB)

={x?N*|x<10且x?3} , 求CU(A∪B), A, B。

8、设A={x|?3≤x≤a}, B={y|y=3x+10,x?A}, C={z|z=5?x,x?A}且B∩C=C求实数a的取值范围。

9、设集合A={x?R|x2+6x=0},B={ x?R|x2+3(a+1)x+a2?1=0}且A∪B=A求实数a的取值范围。

10、方程x2?ax+b=0的两实根为m,n,方程x2?bx+c=0的两实根为p,q,其中m、n、p、q互不相等，集合A={m,n,p,q},作集合S={x|x=?+?,??A,??A且}，P={x|x=??,??A,??A且},若已知S={1,2,5,6,9,10},P={?7,?3,?2,6,

14,21}求a,b,c的值。

1.5一元二次不等式(4课时)

教学目的：

1.理解三个二次的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法;

2.初步掌握高次不等式、分式不等式的解法;

3.用数形结合的思想方法,处理简单的一元二次方程根的分布问题.

4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力;

教学重点：图象法解一元二次不等式。

教学难点：字母系数的讨论;一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系。一元二次方程根的分布.

关键: 弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

教学过程：

第一课时

一、复习引入： 优秀学习资料 欢迎下载

讨论不等式3x-15>0(或<0)的解法。(分别用图象解法和代数解法)

二、讲解新课：

1. 画出函数的图象，利用图象讨论：

(1)方程=0的解是什么; (2)x取什么值时，函数值大于0;

(3)x取什么值时，函数值小于0。

2. 一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢? 关键要考虑以下两点：

(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况

(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号。

3.结论：

二次函数

()的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

三、讲解范例：

例1 (课本第19页例2)解不等式

例2 .

例3 (课本第19页例3)解不等式.

例4 (课本第20页)解不等式.

例5 解关于x的不等式

四、课内练习

(课本第21页)练习1-3.

五、作业: 优秀学习资料 欢迎下载

课本第21页 习题1.5 1. 3. 5

1.5 第二课时(高次不等式、分式不等式解法)

一、复习引入：

1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

2.一元二次不等式的解法步骤。

一元二次不等式的解.

3. 乘法(除法)运算的符号法则.

二、讲解新课：

⒈特殊的高次不等式解法

例1 解不等式.

分析：由乘法运算的符号法则结合数轴引导学生导出简单高次不等式的根轴法.

思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数的特征图像

根轴法(零点分段法)

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)...(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化\"+\";(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来;

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);

④若不等式(x的系数化\"+\"后)是\">0\",则找\"线\"在x轴上方的区间;若不等式是\"<0\",则找\"线\"在x轴下方的区间.

例2 解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.

例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.

例4 解不等式：.

结论：分式不等式的解法

移项通分化为>0(或<0)的形式，转化为：

例5 解不等式：. 优秀学习资料 欢迎下载

三、课堂练习：1.课本P21练习：3⑴⑵;2.解不等式.

2解不等式：.

四、作业

1. 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.

2.若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.

1.5 第三课时(含参一元二次不等式)

一、复习引入：

1.函数、方程、不等式的关系

2.一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项

二、讲解新课：

例1 解关于x的不等式：(x-+12)(x+a)<0.

例2 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.

例3 已知关于x的二次不等式：a+(a-1)x+a-1<0的解集为R，求a的取值范围.

例4 已知集合求实数a的取值范围

练习：已知(-1) -(a-1)x-1<0的解集为R，求实数a的取值范围.

三、作业

1.如果不等式x2-2ax+1≥(x-1)2对一切实数x都成立，a的取值范围是 。

2.如果对于任何实数x，不等式kx2-kx+1>0 (k>0)都成立，那么k的取值范围是 。

3.对于任意实数x，代数式 (5-4a-)-2(a-1)x-3的值恒为负值，求a的取值范围。

4.设α、β是关于方程 -2(k -1)x+k+1=0的两个实根，求 y= +关于k的解析式，并求y的取值范围。

1.5 第四课时(一元二次方程实根的分布1\"零分布\")

教学目的：

1.掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法

2.培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力; 优秀学习资料 欢迎下载

3.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神。

教学重点：用韦达定理解\"含参二次方程的实根分布\"问题的基本方法。

教学难点：韦达定理的正确使用。

教学过程：

一、复习引入：

韦达定理：

方程()的二实根为、，则

二、讲解新课：

例1 当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:

①两个正根; ②一正根和一负根;

③正根绝对值大于负根绝对值;④两根都大于1.

解 ：设方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根为、

①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：(无解)

∴此时m的集合是φ，即原方程不可能有两个正根.

②若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：

m<5.∴此时m的取值范围是m<5.

③若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：

m<2.

④错解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则正解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：

m∈φ.

∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.

说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.

例2.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围. 优秀学习资料 欢迎下载

解：要原方程有两个负实根，必须:

.

∴实数k的取值范围是{k|-2

二、练习：

1.关于x的方程m+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是：

A.(-, +);B.(-,-);C.[-，+];D.(-,0)∪(0,+).

2.若方程-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.

三、小结

用韦达定理解\"含参二次方程的实根分布\"问题的基本方法

四、作业(补充)：

1、若方程有两个负根，则实数的取值范围是 。

2、若方程的一个根大于4，另一个根小于4，求实数的取值范围。

3、若方程的两个实根都在和4之间，求实数的取值范围。

4、设α、β是关于方程 -2(k -1)x+k+1=0的两个实根，求 y= +关于k的解析式，并求y的取值范围。

1.6逻辑联结词(2课时)

教学目的：了解命题的概念和含有\"或\"、\"且\"、\"非\"的复合命题的构成;理解逻辑联结词\"或\"、\"且\"、\"非\"的含义;理解掌握判断复合命题真假的方法;培养学生观察、推理、归纳推理的思维能力。

教学重点(难点)：逻辑联结词\"或\"、\"且\"、\"非\"的含义及复合命题的构成、

对\"或\"的含义的理解及对命题\"真\"\"、\"假\"的判定.

教学过程：

第一课时

1.命题的定义：可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题，错误的叫假命题。

问题1 下列语句中哪些是命题，哪些不是命题?并说明理由：(1)12>6. (2)3是15的约数. (3)0.2是整数. (4)3是12的约数吗?(5)x>2. (6)这是一棵大树.

命题的结构：主语-连结词(判断词)-宾语;通常主语为条件，连结词和宾语合为结论. 优秀学习资料 欢迎下载

语句形式： 直言判断句和假言判断句.(把直言判断句改写成\"若...则...\"的形式)

大前提与小前提：例 同一三角形中，等边对等角.

2.逻辑连接词

问题2(续问题1) (7)10可以被2或5整除;

(8)菱形的对角线互相垂直且平分; (9)0.5非整数。

逻辑联结词：\"或\"、\"且\"、\"非\"这些词叫做逻辑联结词。

3.简单命题与复合命题：

简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题。

复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s......表示命题。

如(7)构成的形式是：p或q;(8)构成的形式是：p且q;(9)构成的形式是：非p.

例1：指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：

(1)24既是8的倍数，也是6的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员;

(3)平行线不相交 (非\"平行线相交\")

例2 分别写出由下列命题构成的\"p或q\"、\"p且q\"\"、\"非p\"形式的复合命题.

(1) p：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，q：方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.

(2) p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;

q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.

三、课堂练习：课本P26，1、2，

四、课时小结:(略)

五、课后作业：课本：P29，习题1.6：1 、2.;

1.6 第二课时

一、复习回顾

什么叫做命题?逻辑联结词是什么?什么叫做简单命题和复合命题? 优秀学习资料 欢迎下载

二、讲授新课

P 非p 真 假 假 真 1、复合命题的真假判断

(1)非p形式的复合命题

例1：①如果p表示\"2是10的约数\"，试判断非p的真假.

②p表示\"3≤2\"，那么非p表示什么?并判断其真假

结论 非p复合命题判断真假的方法是：当p为真时，非p为假;当p为假时，非p为真。

(2)p且q形式的复合命题

例2：如果p表示\"5是10的约数\";q表示\"5是15的约数\";r表示\"5是8的约数\";s表示\"5是16的约数\"。试写出p且q，p且r，r且s的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律。结论如表二.

(3)p或q形式的复合命题

p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假

例3：如果p表示\"5是12的约数\";q表示\"5是15的约数\";r表示\"5是8的约数\";s表示\"5是10的约数\"，试写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律。

结论如表三.

(表二) (表三)

上述三个表示命题的真假的表叫做真值表。

2、运用举例

例4：分别指出由下列各组命题构成的\"p或q\"，\"p且q\"，\" 非p\"形式的复合命题的真假.

(1)p：2+2=5;q：3>2; (2)p:9是质数;q：8是12的约数;

(3)p：1∈{1，2};q：{1}{1，2};(4)p：?{0};q：?={0}。

例5：由下列各组命题构成\"p或q\"、\"p且q\"、\" 非p\"形式的复合命题中，\"p或q\"为真，\"p且q\"为假，\"非p\"为真的是( )

A、p：3是偶数，q：4为奇数; B、p：3+2=6，q：5>3;

C、p：a∈{a,b}，q：{a}{a,b} D、p：QR，q：N=Z

三、课堂练习：课本P28，1、2

四、作业：课本P29，习题1.6,3、4; 优秀学习资料 欢迎下载

1.7四种命题(3课时)

教学目的：

1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示;理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假。

2.理解反证法的基本原理;掌握运用反证法的一般步骤;并能用反证法证明一些命题;

教学重点：四种命题的概念;理解四种命题的关系。

教学难点：逆否命题的等价性。

教学过程：

第一课时

一、复习回顾

什么叫做命题的逆命题?

二、讲授新课

1、四种命题的概念

阅读课本P29-30，思考下列问题：

(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义分别是什么?

(2)原命题的形式表示为\"若p则q\"，则其它三种命题的形式如何表示?

如果原命题为：若p则q，则它的：

逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题;

否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题;

逆否命题为：若┐q则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.

例 把下列三个命题改写成\"若p则q\"的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题：

(1)两直线平行，同位角相等;

(2)负数的平方是正数;

(3)四边相等的四边形是正方形. 优秀学习资料 欢迎下载

三、课堂练习：课本P31：1、2

四、课时小结：

五、课后作业：

书面作业：P33，习题1.7，1、2;预习提纲：

(1)四种命题之间的关系是什么?

(2)一个命题与其它三个命题之间的真假关系如何?

1.7 第二课时

一、复习回顾

什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?

二、讲授新课

1、四种命题之间的相互关系

请同学们讨论后回答下列问题：

(1)哪些之间是互逆关系?

(2)哪些之间是互否关系?

(3)哪些之间是互为逆否关系?

2、四种命题的真假之间的关系

例1原命题：\"若a=0,则ab=0.\"写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

原命题为真，它的逆否命题一定为真.

思考：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?

由上述讨论情况，归纳：

1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.

2.原命题为真，它的否命题不一定为真.

3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.

由上述归纳可知：两个互为逆否命题是等价命题。若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其优秀学习资料 欢迎下载

逆否命题的真假。

例2设原命题是\"当c>0时，若a>b，则ac>bc.\"写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。

分析：\"当c>0\"是大前提，写其它命题时应保留，原命题的条件是a>b,结论是ac三、课堂练习：课本P32，1、2

四、课时小结

五、课后作业 书面作业：课本P33，3、4;预习：(课本P32-33)，预习提纲：反证法证明命题的一般步骤是什么?

1.7 第三课时

一、复习回顾

初中已学过反证法，什么叫做反证法?

从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

二、讲授新课

1、反证法证题的步骤

共分三步：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾;(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例：\"在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。\"

在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确.

2、例题讲解

例3：用反证法证明：如果a>b>0,那么。

例4：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图：在⊙0中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。

求证：弦AB、CD不被P平分。 优秀学习资料 欢迎下载

分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP，由平面几何知识可推出：OP⊥AB且OP⊥CD。又推出：在平面内过一点P有两条直线AB和CD同时与OP垂直，这与垂线性质矛盾，则原命题成立。

由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与命题的条件，或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性。

例5：若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2.

证明：假设p+q>2,∵p>0,q>0.则：(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.

又∵p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：pq(p+q)>2.(1)

又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入(1)得：pq(p+q)>(p+q)(P2-pq+q2)，

但这与(p-q)2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.

三、课堂练习：课本P33 1、2

四、课时小结

五、课后作业：书面作业，课本P34，习题1.7，5;预习提纲：充分条件与必要条件的意义是什么?命题\"若p则q\"的真假与p是q的充分条件，q是p的必要条件的关系是什么?

1.8充分条件与必要条件(2课时)

教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用.

2.增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.

教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断。

教学难点：。充分性与必要性的推导顺序

教学过程：

第一课时

一、复习回顾： 判断下列命题的真假：

(1)若a>b,则ac>bc;(2)若a>b,则a+c>b+c;

(3)若x≥0,则x2≥0;(4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

二、讲授新课 优秀学习资料 欢迎下载

1、推断符号\"\"的含义

如果p成立，那么q一定成立，此时可记作\"pq\"。

如果p成立，推不出q成立，此时可记作\"pq\"。

2、充分条件与必要条件

定义：如果已知p==>q，那么就说：p是q的充分条件;q是p的必要条件。

应注意条件和结论是相对而言的。由\"p==>q\"等价命题是\"┐q==>┐p\"，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了。但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立。

讨论上述问题(2)、(3)、(4)中的条件关系：

3、例题讲解

例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

(1)p：x=y;q：x2=y2;

(2)p:三角形的三条边相等;q:三角形的三个角相等;

(3)p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0;(4)p：x=2或x=3,q:x-3=.

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p==>q,而qp;(2)必要不充分条件，即pq,而q==>p;(3)既充分又必要条件，即p==>q，又有q==>p;(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。

三、课堂练习：课本P35 1、2 四、课时小结：

五、课后作业：书面作业：课本P36，习题1.8:1(1)、(2);2：(1)、(2)、(3);

1.8 第二课时

一、复习回顾

一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类?

二、讲授新课：

1、充要条件

请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?

(1)若a是无理数，则a+5是无理数; 优秀学习资料 欢迎下载

(2)若a>b,则a+c>b+c;

(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0。

命题(1)中因：a是无理数==>a+5是无理数，所以\"a是无理数\"是\"a+5是无理数\"的充分条件;又因：a+5是无理数==>a是无理数，所以\"a是无理数\"又是\"a+5是无理数\"的必要条件。因此\"a是无理数\"是\"a+5是无理数\"既充分又必要的条件。

定义：如果既有p==>q，又有q==>p，就记作：pq.\"\"叫做等价符号。pq表示p==>q且q==>p。这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

2、例题讲解

例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在\"充分而不必要条件\"、\"必要而不充分条件\"、\"充要条件\"、\"既不充分也不必要条件\"中选出一种)?

(1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0;

(2)p：同位角相等;q：两直线平行。

(3)p：x=3，q：x2=9;

(4)p：四边形的对角线相等;q：四边形是平形四边形。

(5);q：2x+3=x2 .

例2 设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则\"x∈M或x∈P\"是\"x∈M∩P\"的什么条件?

三、课堂练习：课本P36，练习题1、2

四、课时小结

五、作业 课本P37，习题1.8 1.(3)、(4) 2.(4)、(5)、(6) 3.

第一章复习与小结(3课时)

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

(一) 集合

1. 基本概念：集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.

2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 优秀学习资料 欢迎下载

3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

4. 集合运算：交、并、补.

5. 主要性质和运算律

6. 有限集的元素个数

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法(零点分段法)

2.分式不等式的解法

3.含绝对值不等式的解法

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

(1)根的\"零分布\"：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的\"非零分布\"：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

(三)简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

3、\"或\"、 \"且\"、 \"非\"的真值判断

4、四种命题的形式：

5、四种命题之间的相互关系：

6、充要条件 充分条件，必要条件，充要条件.

7、反证法.

三、例题

例1：集合A={x|x=, m∈Z, |m|<3, n∈N, n≤3},试用列举法将A表示出来.

例2：设全集，又集合求 优秀学习资料 欢迎下载

(1); (2); (3)(C)(C);

(4)(C)(C); (5)C; (6)(C)

例3：设集合，同时满足下列条件：

(Ⅰ)(Ⅱ)，求α、β的值.

例4：解关于x的不等式.

例5：若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.

例6：已知集合A=，B=，

(1)若，求实数a的取值范围.

(2)若AB，求实数a的取值范围.

例7：指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假

(1)\"菱形的对角线互相垂直平分\"

(2)\"\"

(3)\"\"

例8：设命题为\"若，则关于x的方程有实根\"，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假。

例9：已知x，y，z均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0。

例10：命题p：一组对边平行的四边形是平行四边形;命题q：一组对边相等的四边形是平行四边形。写出由其构成的\"p或q\"、\"p且q\"、\"非p\"形式的复合命题，并指出其真假。

α β γ δ θ λ μ π φ ω ± ? ∞ ∠ ∥ ∩ ∪ ( ( ? ? ? ?

( ≠ ≤ ≥ φ card( ) ?

第二章 函数

函数是高中数学的主线，也是高考的热点之一，根据新教材要求，本章的教学目的要求和教学中的注意事项如下：

一、教学目的要求

1.理解函数概念,了解映射的概念; 优秀学习资料 欢迎下载

2.理解函数的单调性概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程;

3.了解反函数的概念，了解互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数;

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质;

5.掌握指数函数的概念、图象和性质;

6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质;

7.掌握对数函数的概念、图象和性质;

8.能够运用函数的概念、函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题;

9.实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。

10.在解题和证题过程中，通过运用有关的概念和运用函数的性质，培养学生的思维能力和运算能力;通过揭示互为反函数的两个函数之间的内在联系，以及指数与对数，指数函数与对数函数之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义观点的教育;通过联系实际地引入问题和解决简单的带有实际意义的某些问题，培养学生用数学的意识，提高分析问题和解决实际问题的能力。

二、教学中应该注意的问题

(一)注意与初中内容的衔接

函数这章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障碍。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等;又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

(二)注意数形结合

本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用。通过观察函数图象的变化趋势，可以总结出函数的性质。函数与反函数的函数图象的关系也是通过图象变化特点来归纳的性质，指数函数的性质、对数函数的性质本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯。

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就要用到。同样本章学到的知识将在后续内容也要经常用到。因此，要注意与优秀学习资料 欢迎下载

其他章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

2.1函数 2.函数的表示法(4课时)

教学目的：

1.理解函数及映射的概念;明确决定函数的三要素：定义域、值域和对应法则;

2. 能够正确理解和使用\"区间\"、\"无穷大\"等记号;

3.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法.

4.培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念。

5.理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：理解函数的概念，函数的三要素及其求法;

教学难点：函数的概念，简单的分段函数及复合函数.

教学过程：

第一课时(2.1，2.2概念综述)

一、复习引入：

初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?(课件第一页)

引导观察，(课件第二页)分析以上六个实例。注意讲清以下几点：

1.先讲清对应法则：然后，根据法则，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个(或几个)元素与此相对应。

2.对应的形式：一对多(如(5))、多对一(如(2))、一对一(如(1)、(3))、 一对0(4)

3.集合类型：数的集合与任意集合

二、讲解新课：

(一) 函数的概念

由课件第二页(1)、(2)、(3)的共性，引入函数的定义(课件第三页，函数的定义)

强调函数的三要素.

函数符号表示\"y是x的函数\"，有时简记作函数. 优秀学习资料 欢迎下载

(二) 映射的概念(课件第三页，映射的概念、 一 一映射)

对映射的概念要强调下列两点：

1.映射的三要素;

2. 由映射的定义的关键字词概括出映射的特征：

①\"A到B\"：映射是有方向的，A到B的对应与B到A的对应往往不是同一个对应,如若A到B是求平方，则B到A则是开平方，因此映射是有序的;

②\"任一\"：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性;

③\"唯一\"：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性;

④\"在集合B中\"：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.

(三)函数与映射的关系：

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射 .这里 A, B为非空的数集.

映射对集合A,B没有规定\"非空\"，集合A,B可以是数集，也可以是其它集合.

(2)A：定义域，原象的集合;值域，象的集合,其中 ? B ;

：对应法则，?A， ?B

(四)已学函数的定义域和值域

1.一次函数:定义域, 值域;

2.反比例函:定义域, 值域;

3.二次函数:定义域,值域：当时，;当时.

(五)区间概念和记号(课件第四页)

(六)函数的表示法(参考课件第五页)

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. 优秀学习资料 欢迎下载

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高 单位：厘米

学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

三、例题

例1 求下列函数的定义域：

① ;② ;③ . ○4

四、作业

习题2.1 1，2，3

第二课时(2.1函数,2.2函数的表示法)

教学目的：

1. 理解函数的概念，映射的概念;

2. 初步掌握函数的表示法.

教学重点难点：函数，映射的\"三要素\"，分段表示函数的解析式.

教学过程：

一、复习：函数的概念，映射的概念，函数的表示法

二、例题

例1 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).

例2下列函数中哪个与函数是同一个函数? 优秀学习资料 欢迎下载

⑴;⑵;⑶

例3 下列各组中的两个函数是否为相同的函数?

①

②

③

○4

例5某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x为自变量的函数y的解析式，定义域，值域，并画出这个函数的图像。

例6 国内投寄信函(外埠)，每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0

三、课堂练习：课本P51练习1，5，6; P56练习 1，2，3

四、作业 习题2.1 4，5，6(3)(4)(6)8

第三课时(2.1,2.2)

教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，定义域，值域.

2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.

重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.

教学过程：

一、 复习 函数的概念，函数的表示法

二、 例题

例1. 已知 . 求f(f(f(-1)))

(从里往外\"拆\")

例2. 已知f(x)=x2?1 g(x)=求f[g(x)]

(介绍复合函数的概念)

例3. 若函数的定义域为[?1，1]，求函数的定义域。

例4作出函数的图像 优秀学习资料 欢迎下载

(先化为分段函数，再作图象)

例5.作函数y=|x-2|(x+1)的图像.

(先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页)

例6.作出函数的图象

(用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象. 图象见课件第二页，进一步介绍函数的图象，见课件第三页)

三、 课堂练习 课本P56 习题2.1 3，6

四、 作业 课本P56 习题2.1 4，5 ，《精析精练》P65 智能达标训练

第四课时(2.1，2.2)

教学目的：

1.掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.

2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力;

教学重点：值域的求法

教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法

教学过程：

一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则;

定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定。 已学过的函数的值域

二、讲授新课

1.直接法：利用常见函数的值域来求

例1.求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1) ②

③ ④

2.二次函数比区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： 优秀学习资料 欢迎下载

①; ②;

③; ④;

3.判别式法(△法)：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母中最高为二次式且至少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论及函数的定义域.

例3.求函数的值域

4.换元法

例4.求函数的值域

5.分段函数

例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

三、单元小结：函数的概念，解析式，定义域，值域的求法.

四、 作业：《精析精练》P58智能达标训练

2.3 函数的单调性(3课时)

教学目的：理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性;能利用函数的单调性及对称性作一些函数的图象.

教学重点：函数单调性的概念.

教学难点：函数单调性的证明

教学过程：

第一课时

教学目的：

(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思。

(2)理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念;并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间。

(3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性。

教学重点：函数的单调性的概念; 优秀学习资料 欢迎下载

教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性。

一、复习引入：

观察 二次函数y=x2 ，函数y=x3的图象，由形(自左到右)到数(在某一区间内，当自变量增大时，函数值的变化情况)(见课件第一页图1，2)

二、讲授新课

⒈ 增函数与减函数

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当<时，都有f()

⑵若当<时，都有f()>f(),则说f(x) 在这个区间上是减函数(如图4).

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=(图1)，当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

三、讲解例题：

例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.

例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.

例3 证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数.

例4.讨论函数在(-2,2)内的单调性.

三、练习 课本P59练习1，2

四、作业 课本P60 习题2.3 1，3，4

2.3 函数的单调性(第二课时)

教学目的：

1.. 巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断方法. 优秀学习资料 欢迎下载

2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.

教学难点：单调性的综合运用

一、复习引入：

1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.

2.判断证明函数单调性的一般步骤：(区间内)设量，作差(或比)，变形，比较，判断.

二、讲解新课：

1.函数单调性的判断与证明

例1.求函数的单调区间.

2.复合函数单调性的判断

对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘

减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：\"同向得增，异向得减\"或\"同增异减\".

证明：①设，且

∵在上是增函数，

∴，且

∵在上是增函数，∴.

所以复合函数在区间上是增函数.

(同理可证其余三种情况)

例2.求函数的值域，并写出其单调区间。

解：题设函数由和复合而成的复合函数，

函数的值域是，

在上的值域是.

故函数的值域是. 优秀学习资料 欢迎下载

对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数;

二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数。

当时，，即，或.

当时，，即，.

x [-1,0] (0,1) u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 减 增 y=f(g(x)) 增 减 增 减 综上所述，函数在区间、上是增函数;在区间、上是减函数。

三、课堂练习：课本P60练习：3，4

四、作业： 课本P60 习题2.3 6(2)，7

补充，已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)

2.3函数的单调性(第三课时)

教学目的：函数单调性的应用

重点难点：含参问题的讨论，抽象函数问题.

教学过程

一、 复习引入 函数单调性的概念，复合函数的单调性.

二、 例题.

例1. 如果二次函数在区间内是增函数，求f(2)的取值范围.

分析：由于f(2)=22-(a-1) ×2+5=-2a+11,f(2)的取值范围即一次函数y= - 2a+11的值域，固应先求其定义域.

例2. 设y=f(x)在R上是单调函数，试证方程f(x)=0在R上至多有一个实数根.

分析：根据函数的单调性，用反证法证明.

例3. 设f(x)的定义域为，且在上的增函数，

(1) 求证f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);

(2) 若f(2)=1,解不等式

分析：利用f(x)的性质，脱去函数的符号，将问题化为解一般的不等式;注意，2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).

例4. 已知函数. 优秀学习资料 欢迎下载

(1) 当时，求函数f(x)的最小值;

(2) 若对任意恒成立，试求实数a的取值范围.

分析：(1)利用f(x)的单调性即可求最小值;

(2)利用函数的性质分类讨论解之.

例5.求函数的单调区间.

分析：利用复合函数的单调性解题.

令即函数的定义域为[-3，1];

再根据复合函数的单调性求出其单调区间.

三、作业：《精析精练》P73智能达标训练.

2.4反函数(三课时)

教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

3.反函数性质的应用.

教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.

教学难点：反函数的定义，反函数性质的应用.

教学过程：

第一课时

教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.

教学难点：反函数的定义和求法。

教学过程：

一、复习引入：

由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,(其中速度v是常量)s是时间t的函数;可以变形为：，这时，优秀学习资料 欢迎下载

位移s是自变量，时间t是位移s的函数.

又如，在函数中，x是自变量，y是x的函数. 由中解出x，得到式子. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR.

上述两例中，由函数s=vt得出了函数;由函数得出了函数，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的;②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.

二、讲解新课：

反函数的定义

设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成

开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样记为，则它的反函数为：.

从映射的角度看，若确定函数y=f(x)的映射是定义域A到值域C的一一映射，则它的逆映射f -1: (x=f

-1(y)) C→A 确定的函数x=f -1(y)(习惯上记为y=f -1(x))叫做函数y=f(x)的的反函数.

即，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，由此可知：

1. 只有\"一一映射\"确定的函数才有反函数.如(x?R)没有反函数,

而,有反函数是

2.互为反函数的定义域和值域互换.即函数的定义域正好是它的反函数的值域;函数的值域正好是它的反函数的定义域.且(如下表)：

函数 反函数 定义域 A C 值 域 C A 3. 函数与互为反函数。即

若函数有反函数，那么函数的反函数就是.

三、例题：

例1.求下列函数的反函数：

①; ②;

③; ④.

小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 优秀学习资料 欢迎下载

⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到。

⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射。

例2.求函数()的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。

解：(略)

它们的图像为： 由图象看出，函数

()和它的反函数的图象关于直线y=x对称.

一般地，函数 的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称..

例3求函数 (?1

例4 已知= -2x(x≥2),求.

解法1：⑴令y=-2x，解此关于x的方程得，

∵x≥2，∴，即x=1+--①,

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0--②,

⑶由①②得=1+(x≥0，x∈R);

解法2：⑴令y=-2x=-1，∴=1+y，

∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=--①,即x=1+,

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0,

⑶∴函数= -2x(x≥2)的反函数是=1+(x≥0);

说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.

四、课堂练习：课本P63练习：1-4

五、课后作业：课本第64习题2.4：1(2)(3)(4)(6)(7)(8);2.

2.4. 反函数(第二课时)

教学目的：

会利用互为反函数的定义，函数图象间的关系及相关性质解决有关问题. 优秀学习资料 欢迎下载

教学重点：反函数性质的应用

教学难点：反函数性质的应用.

教学过程：

一、复习引入：

1.反函数的定义;

2.互为反函数的两个函数与间的关系：

定义域、值域互换，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称;逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.

3.反函数的求法：一解、二换、三注明

二、例题：

例1.求函数的值域.

分析：用\"函数思想\"求值域，即由y=f(x)求出x=,则使 有意义的y值的集合为原来函数的值域.

例2. 已知=(x<-1)，求;

解法1：⑴令=y=，则=，∵x<-1，∴x=-;且y=<0

∴= -(x<0);∴ =-2.

分析：由反函数的定义可知y=与y=中，x,y互换，即 y=中的x为y=中的y, y=中的y为y=中的x，反之亦然.本题要求，即在函数=y=(x<-1)中，当y=时，求x的值.

解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.

例3.如果单调增函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则交点必在直线y=x上.

证明：若点(a,b)是函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则b=f(a),b=,.

(1) 若a>b,则a=f(b)>b=f(a),即f(b)>f(a).

∵y=是增函数，∴b>a,这与a>b矛盾，∴a>b不成立.

(2)若a∵y=是增函数，∴bb矛盾，∴a

综(1)，(2)可得：a=b,即交点(a,b)在直线y=x上.

说明：题中的y=是单调增函数的条件不可少，反例见课件. 优秀学习资料 欢迎下载

由例3的结论可知，若y=是单调增函数，则方程利用这一点，可以帮助解决一类较复杂的方程问题，如方程不易求解，这里，是单调增函数，且它的反函数是原方程等价于易得其解集为{1，2}.

例4.已知试求F(x)的最小值.

解：

∴F(x)的最小值是-90.

三、练习：课本P63-64练习：5，6，7

四、作业：课本P64习题2.4：3，4，5，6

2.4 反函数(第三课时)

教学目的：

1.求分段函数的反函数及较复杂函数的反函数;

2. 利用反函数解决相关综合问题。

教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用

教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。

教学过程：

一、复习引入：

1.反函数的定义;求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明

互为反函数的两个函数间的关系：

定义域，值域互换;x,y互换;

函数与的图象关于直线对称.

在对应区间同增 同减.

注意：反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到

2.函数、、、间的关系：

与、与互为反函数;

与、与为同一函数。 优秀学习资料 欢迎下载

二、讲解例题：

例1. 设函数y==，求它的反函数.

分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.

(答案=.)

例2. 若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的值.

分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，注意到原来函数与其反函数x,y互换，则 A(1,2)和A\'(2，1)都在图象上.

解：由A(1,2)在=上，则有--①;

由A(1,2)在其反函数图象上，可知(2,1)也在函数=图象上，∴又有--②，

解联立①②的方程组得a=-3,b=7.

例3.若，试求反函数.

分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式.

注意：在利用换元解题时，一定要注意新元(中间变量)的取值范围.

例4.若函数有反函数，求a的取值范围.

略解：

例5.若函数的图象与其反函数的图象总有公共点，求a的范围.

略解：问题等价于关于x的方程有实数解，求a的范围.

，注意到设一元二次方程的两根为x1,x2， ∵x1+x2=3, 方程x2-3x+a=0有正根的条件是

例6.已知函数且函数f(x)具有反函数，求常数a 的取值范围.设a0 是满足上述条件的a的最大值，当a= a0时，求f(x)的反函数.

略解：由题意知，f(x)在(-∞,-1]必为单调函数，故

当a= a0=2时，

则故其反函数为

三、作业：《精析精练》P78 智能达标训练 优秀学习资料 欢迎下载

二次函数在区间上的最值问题

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值;

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.

教学重点：二次函数在区间上的最值问题

教学难点：含参问题的讨论.

教学过程：

一、 复习引入

1. 二次函数的概念和性质;

2. 单调函数的概念.

二、 例题

例1. 求函数当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.

(1)

例2. 求函数在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.

例3关于x的方程有两个实根α，β，求α2+β2的最值.

例4.已知函数在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).

(1) 求g(a)的表达式;

(2) 求g(a)的最大值.

三、 作业

1. 函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.

2. 关于x的不等式上恒成立，求实数a的取值范围.

3. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

(I)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t);

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); 优秀学习资料 欢迎下载

(II)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

(注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天)

2.5 指数(第一课时-根式)

教学目的：掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中。

教学重点：根式的概念性质

教学难点：根式的概念

教学过程：

一、复习引入：

1.整数指数幂的概念。

2.运算性质：

3.注意

① 可看作可归入性质(1) ∴==;

② 可看作 可归入性质(3) ∴==

二、讲解新课：

1.方根

⑴计算(可用计算器)

①= 9 ，则3是9的平方根 ;

②=-125 ，则-5是-125的立方根 ;

③若=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ;

④=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .

⑵定义：

一般地，若 则x叫做a的n次方根。

2.根式

(1)根式定义：式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 优秀学习资料 欢迎下载

例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为;16的4次方根表示为±，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是 -，它们绝对值相等而符号相反.

(2)实数集内方根的规定：

①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数.记作：

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数).记作：

③负数没有偶次方根，

④ 0的任何次方根为0

注：当a0时，0，表示算术根，所以类似= -2的写法是错误的.

3.根式的运算性质

根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：

①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.

②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.

例如，=-2，=2;=3，=|-3|=3.

⑶根式的基本性质：，(a0).

注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.

用语言叙述上面三个公式：

⑴当根式有意义时，a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身;n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

三、例题：

例1(课本第71页 例1)求值

① ; ② ; ③ ; ④ .去掉\'a>b\'呢?

例2求值： 优秀学习资料 欢迎下载

分析：(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质;

(2)根式的乘、除常化小数为分数;异次根式相乘要化为同次根式再相乘.

四、作业：习题2.5 1.

补充：1.计算：.

2.化简：.

2.5 指数(第二课时-分指数1)

教学目的：

1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质.

2.会对根式、分数指数幂进行互化.

教学重点：分数指数幂的概念与运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解.

教学过程：

一、复习引入：

1.整数指数幂的运算性质：

2.根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，()=a.

②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：，(a0).

3.引例：当a>0时

①

②

③

④

二、讲解新课： 优秀学习资料 欢迎下载

1.正数的正分数指数幂的意义

(a>0,m,n∈N*,且n>1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.

2.规定：

(1) (a>0，m,n∈N*,且n>1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

3.有理指数幂的运算性质:

说明：若a>0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 三、讲解例题：

例1求值：.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

(式中a>0)

例3计算下列各式(式中字母都是正数)

分析：(1)题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。

(2)题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。

例4计算下列各式：

分析：(1)题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。

(2)题按多项式除以单项式的法则处理，并把根式化成分数指数幂的形式

再计算。

四、练习：课本P14练习

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五、作业：

1.课本P75习题2.5 2.(2)(4)(6)，3.(2)(4)，4.(2)(4)(6)

2.5 指数(第三课时)

教学目的：巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算。

教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质。

教学难点：准确应用计算.

教学过程：

一、复习引入：用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

二、例题：

例1 计算下列各式：

例2 化简：

例3 已知,求下列各式的值：

(1)a+a-1,

分析：利用初中学过因式分解知识，设法从整体寻求结果与条件 的联系.

例4 若.求S的值.(结果可用分数指数表示)

分析：问题则易于解决.

三、练习：

1.练习：课本第78页 练习：4;习题：*6⑴，*7⑴.

四、作业：《精析精练》P83 智能达标训练.

课 题：2.6.1 指数函数1

教学目的： 理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.