2023年12月10日发(作者：疫情后小学数学试卷卷首语)

选讲2019年第60届国际数学奥林匹克

竞赛IMO试题

题1：设整数集为Z，求所有函数f：ZZ使得对于任意整数a，b都有

f2a2fbffab.

解：对于任意整数a，b都有

f2a2fbffab.①

也有

f2b2faffab.②

分别在①、②令

a0，

得

f02fbffb；③

2f0f2bffb；④

所以由③、④有

f2bf02fb.⑤

设

f0t，t是常数，

由⑤知

f2b2fbt.⑥ 所以

ffabf2a2fb2fa2fbt，⑦

在⑦中令

结合⑥得

在⑧中，i若

则代入⑧中计算得

所以

ii若

令

则

所以

abx，

ff2xf2fxt4fxt，⑧

fxf0t，t是常数，

t0，

fx0.⑨

fxt，

y2fxt，

fy2yt.

fx2xt.⑩ 经检验⑨、⑩知，函数

fx0，xZ.

与函数

fx2xC，x，CZ，C是常数.

使得对于任意整数a，b都有

f2a2fbffab.

解题反思：

(1)本题解题上应用了代换法、赋值法，整体思想.数学思想上应用了推理逻辑.

(2)本题可以推广，设整数集为Z，求所有函数f：ZZ使得对于任意整数）a，b，m都有fmamfbffab.参考答案：解题思路与原题类似，

答案是：函数fx0，xZ.与函数fxmxC，x，CZ，C是常数.

(3)

若改变指数可以得到另一个函数方程题：设整数集为Z，求所有函数f：ZZ使得对于任意整数a，b都有(fa)22fbffab.参考答案：函数fx0，xZ.与fx1，xZ.

(4)

教学建议：

通过本题研究，教师在抽象函数问题求解时要特别强调数学思想教学研究。具体包括总结解题的整体思想，注意培养学生的抽象逻辑推理能力，提高数学学科素养.

2019IMO（英国）的一道数论问题解答

题2：求所有正整数对k，n，满足k!(21)222422nnnnn1.

4，5,6,7时，k无解. 解：（1)n1时，k1；n2时,k!6，k3；容易验证n3，(2) 整理原方程得到：k!2nn12(21)212121.…①

23n假设n8时，该方程有解.

我们先证明两个定理：

定理I：当n8时，21可以表示为次数为1的质数乘积形式n3355的数字个数不大于n1.

x个数字相乘定理1的简证：当n8时，213nn1fn33210，fn0，n8.故fn0.

nnnn1定理II： 当n8时，!写成质数分解形式2nn1223355的数字数目大于等于21nn11，x个数字相乘2④

定理II的简证：当n8，9，10时，计算验证结论正确.

nn1n11时，!写成标准分解形式的质数个数大于等于

2nn11111nn11.所以定理II正确.

2235由定理I知①式右边所有2n1连乘可以写成质数相乘形式3355的数字个数小于x个数字相乘n6n7.②

10（789n1)102又因为①式右边还有nn1个2相乘，所以有以下两个结论：

2(i)①右边写成奇数、偶数相乘形式22334455的x个数字相乘数字个数小于或等于

（10n6n7)nn1n2n11③

22(ii)k!中的knn1.且由k生成的数值k!中含2的个数是kkkkkkfk2nn12nn1k22222222.

nn1nn1nn1

才能出现k!中含有个2连乘情形..进一步有k!!，222所以knn1223355的数字数目由定理II知!写成质数分解形式2x个数字相乘大于等于nn11，④

结合③、④知nn11nn11100.即左边质数个数大于右边质数个数.2所以方程等号不正确，假设不正确.

1与3，2.，满足综上所述，只有两组正整数对解1，k!(21)222422nnnnn1.

解析：该题用到了初等数论中n!的分解定理.在讨论分解个数时注意放缩大小，使得最后得出矛盾，确定解答个数的唯一性.

以上两个试题是笔者自己做的，不足之处在所难免，正确性与完整性有待读者检验。试题良好地考查了参赛选手数学分析能力，数学逻辑推理能力。我再举出两个类题供读者思考，

类题[1]：设整数集为Z，求所有函数f：ZZ使得对于任意整数a，b都有

f2a2fbf(ffab).

类题[2]：求所有正整数对k，n，满足k!(31)333933nnnnn1.

n1nnnn类题[3]：求所有正整数对k，n，满足6k!(31)333933

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