2024年1月11日发(作者：八县一中 数学试卷)
四边形周长最小值问题解析
程峰
【专题名称】初中数学教与学
【专 题 号】G352
【复印期号】2011年01期
【原文出处】《初中数学教与学》(扬州)2010年10期第20～23页
【作者简介】程峰，江西省彭泽县杨梓中学(332713)。
【关 键 词】EEUU
笔者曾发表过《线段长度的最值问题解析》一文，其中举了两个例子，都是周长的最大值问题。本文专门讨论四边形周长最小值问题。
四边形周长的最小值问题主要有以下几种情形：
一、一边长确定
直线上。
点评 当四边形中相对两边的长确定时，要使四边形的周长最小，仍然是通过作对称点加平移，把另外两边转化到同一 例3 如图3，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(-2,0),O(0,0),B(0,4)，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD。求(1)求C、D两点的坐标；(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E,F（点E在点F的上方），且EF=1，当点E,F在何位置时，四边形ACEF的周长最小，并求出最小值。
图3
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P为线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），以点A为圆心，以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心，以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN,BM,MN。①求证：AN=BM；②在点P运动的过程中，四边形AMNB的周长是否有最小值，若有，求出该最小值。（2010年济南市。有改动）
图4
与和确定的两边联系起来，得到关于第四边的函数关系式，再运用函数的有关知识确定第四边的最小值。
四、相邻两边的长确定
点评 当一边长确定，另两边的长不确定，但其和确定时，要使四边形周长最小，只要使第四边最小。为此要把第四边 例5 如图5，已知A(-1,5),B(-3,3),C(-4,1)在y轴上找一点D，使得四边形ABED的周长最小，并求出点D的坐标。
解析 作点A关于y轴对称的点A\'，连接A\'C交y轴于点D，则四边形ABCD的周长最小（证明略）。
图5
点评 当相邻两边的和确定时，要使四边形的周长最小，只要使另外两条相邻边的和最小，为此用到一个常见的基本图形，如图6，点M,N是两定点，点P是直线l上一动点，作点M关于直线l的对称点M\'，连接M\'N交直线l于点P，则PM+PN=PM\'+PN=M\'N最小。
图6
小结 四边形周长最小值问题常以平面直角坐标系为背景，所求的四边形常与抛物线、三角形、圆等图形相结合。考查的知识点主要是点的对称、平移、两点之间线段最短以及一次函数、二次函数等有关知识，考查的思想方法主要是方程与函数的思想，数形结合的思想，化归思想等。^NU1DA20110328
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四边形,周长,问题,思想
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