2024年1月24日发(作者：永州中考数学试卷分析表)
2021 年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每题 3 分,共 36 分)每题的四个选项中,有且仅有一个是正确的
1.
﹣2021 的绝对值是〔 〕
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2.
我国在 2021 年 10 月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国 2021 年总人口到达
14.1 亿，将 14.1 亿用科学记数法表示为〔 〕
×107
×108
×109
×1010
3.
在平面直角坐标系中，点 A〔﹣3，﹣1〕关于 y 轴的对称点的坐标是〔 〕
A．〔﹣3，1〕 B．〔3，1〕 C．〔3，﹣1〕 D．〔﹣1，﹣3〕
4．以下运算正确的选项是〔 〕
A．〔x2〕3＝x6
C．〔﹣2x〕3＝﹣6x3
5．假设分式
A．﹣1
B．3x2﹣2x＝x
D．x6÷x2＝x3
的值等于 0，那么 x 的值为〔 〕
B．0 C．1 D．±1
6.
如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BF 是 AC 边上的中线，DE 是△ABC 的中位线，
假设 DE＝6，那么 BF 的长为〔 〕
A．6
B．4 C．3 D．5
7.
甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A.
甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同C．甲和乙左视图相同，主视图不相同D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
8.
以下说法正确的选项是〔 〕
A.
一个不透明的口袋中有 3 个白球和 2 个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为
B.
一个抽奖活动的中奖概率为 ，那么抽奖 2 次就必有 1 次中奖
C.
统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现： ＝ ，S
甲
2＞S
乙
2，
说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D.
要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查 方
式
9.
假设直角三角形的两边长分别是方程 x2﹣7x+12＝0 的两根，那么该直角三角形的面积是
〔 〕
A．6 B．12 C．12 或 D．6 或
10.
如图，将△ABC 沿 BC 边向右平移得到△DEF，DE 交 AC 于点 G．假设 BC：EC＝3：1．S
△ADG
＝16．那么 S△CEG
的值为〔 〕
A．2
B．4 C．6 D．8
11.
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，假设四边形 OBCD 为菱形，那么∠BAD 的度数为〔 〕
A．45°
12.
定义：min{a，b}＝
B．60° C．72° D．36°
，假设函数 y＝min〔x+1，﹣x2+2x+3〕，那么该函数的最大值为〔 〕
A．0
B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共 5 个小题,每题 3 分,共 15 分)将答案直接填写在答题卡相应的横线上
，
，2 中任取两个不同的数作积，13.
从﹣1 那么所得积的中位数是 ．
14 ．一元二次方程 x2+x ﹣ 2021 ＝ 0 的 两 根 分 别 为 m ， n ，那么 + 的值为
．
．
15.
如图，ABCDEF 为正六边形，ABGH 为正方形，那么图中∠BCG 的度数为
16.
假设关于 x 的分式方程 2﹣＝ 的解是正数，那么 k 的取值范围是 ．
17.
如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，过点 B 作 BF⊥AC 于点 M，交 CD 于点F，过点 D 作 DE∥BF 交 AC 于点 N．交 AB 于点 E，连接 FN，EM．有以下结论：①四边形 NEMF 为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF 为等边三角形；④当 AO＝AD
时，四边形 DEBF 是菱形．其中，正确结论的序号 ．
三、解答题(本大题共 7 个小题,共 69 分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
18．〔12 分〕〔1〕计算：〔〕2﹣π〕0+|3﹣
﹣|﹣4sin60°．
，其中 x＝ ﹣1． 〔2〕先化简，再求值：〔
.91
﹣x+1〕÷
〔8 分〕为庆祝中国共产党成立 100 周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从
中任取 20 名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
A
B
C
D
成绩范围
60～70
70～80
80～90
90～100
频数
2
m
9
n
〔1〕分别求 m，n 的值；
〔2〕假设把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替〔如 60～70 的中间值为 65〕估计全校学生的平均成绩；
〔3〕从 A 组和 D 组的学生中随机抽取 2 名学生，用树状图或列表法求这 2 名学生都在 D
组的概率．
〔9 分〕某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶 10 元，在销售过程中发现，每天销售量
.02y〔瓶〕与每瓶售价 x〔元〕之间存在一次函数关系〔其中 10≤x≤21，且 x 为整数〕．当每瓶消毒液售价为 12 元时，每天销售量为 90 瓶；当每瓶消毒液售价为 15 元时，每天销
售量为 75 瓶．
〔1〕求 y 与 x 之间的函数关系式；
〔2〕设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 w 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
.12〔8 分〕如图，△OAD 为等腰直角三角形，延长 OA 至点 B 使 OB＝OD，ABCD 是矩形，
其对角线 AC，BD 交于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F．
〔1〕求证：△OAF≌△DAB；
〔2〕求 的值．
.2〔10 分〕反比例函数 y＝的图象经过点 A〔2，3〕．
〔1〕求该反比例函数的表达式；
〔2〕如图，在反比例函数 y＝的图象上点 A 的右侧取点 C，过点 C 作 x 轴的垂线交 x
轴于点 H，过点 A 作 y 轴的垂线交直线 CH 于点 D．
①过点 A，点 C 分别作 x 轴，y 轴的垂线，两线相交于点 B，求证：O，B，D 三点共线；
②假设 AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
〔10 分〕如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 P，过点 D 的⊙O.32的切线与 AB 延长线交于点 E，连接 CE．
〔1〕求证：CE 为⊙O 的切线；
〔2〕假设⊙O 半径为 3，CE＝4，求 sin∠DEC．
.42〔12 分〕二次函数 y＝x2+2bx﹣3b．
〔1〕当该二次函数的图象经过点 A〔1，0〕时，求该二次函数的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，二次函数图象与 x 轴的另一个交点为点 B，与 y 轴的交点为点 C，
点 P 从点 A 出发在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B
出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，直到其中一点到达终点时，
两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；
〔3〕假设对满足 x≥1 的任意实数 x，都使得 y≥0 成立，求实数 b 的取值范围．
2021 年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 个小题,每题 3 分,共 36 分)每题的四个选项中,有且仅有一个是正确的
1.
﹣2021 的绝对值是〔 〕
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2021 的绝对值为 2021，
应选：B．
2.
我国在 2021 年 10 月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国 2021 年总人口到达
14.1 亿，将 14.1 亿用科学记数法表示为〔 〕
×107
×108
×109
×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，
且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可．
【解答】×109． 应选：C．
3.
在平面直角坐标系中，点 A〔﹣3，﹣1〕关于 y 轴的对称点的坐标是〔 〕
A．〔﹣3，1〕
B．〔3，1〕 C．〔3，﹣1〕 D．〔﹣1，﹣3〕
【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点 A〔﹣3，﹣1〕关于 y 轴的对称点 A\'的坐标是〔3，﹣1〕，
应选：C．
4.
以下运算正确的选项是〔 〕
A.
〔x2〕3＝x6
B．3x2﹣2x＝x
D．x6÷x2＝x3
C．〔﹣2x〕3＝﹣6x3
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法法那么进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A．〔x2〕3＝x6，正确，故此选项符合题意；
B.
3x2 与 2x 不是同类项，不能进行合并计算，故此选项不符合题意；
C.
〔﹣2x〕3＝﹣8x3，故此选项不符合题意；
D．x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
应选：A．
5.
假设分式 的值等于 0，那么 x 的值为〔 〕
B．0 C．1 D．±1 A．﹣1
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣1＝0，且 x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|x|﹣1＝0，且 x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1，
应选：A．
6.
如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BF 是 AC 边上的中线，DE 是△ABC 的中位线，
假设 DE＝6，那么 BF 的长为〔 〕
A．6
B．4 C．3 D．5
【分析】根据三角形中位线定理求出 AC，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．
【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，假设 DE＝6，
∴AC＝2DE＝12，
在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BF 是 AC 边上的中线，
∴BF＝ AC＝6，
应选：A．
7.
甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A.
甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同C．甲和乙左视图相同，主视图不相同D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
【分析】直接利用俯视图以及小立方体的个数得出左视图与主视图即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙都是由 5 个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，
∴甲和乙的主视图均为 3 列，立方体的个数从左到右分别是 1，2，1，
∴主视图相同，
甲的左视图是有两列，正方体的个数分别是 2，1，
乙的左视图也是两列，但正方体的个数分别为 1，2，
故主视图相同、左视图不同．
应选：D．
8.
以下说法正确的选项是〔 〕
A.
一个不透明的口袋中有 3 个白球和 2 个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为
B.
一个抽奖活动的中奖概率为 ，那么抽奖 2 次就必有 1 次中奖
C.
统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现： ＝ ，S
甲
2＞S
乙
2，
说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D.
要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方
式
【分析】根据概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一个不透明的口袋中有 3 个白球和 2 个红球〔每个球除颜色外都相同〕，
那么从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为 ，那么抽奖 2 次可能有 1 次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现： ＝ ，S
甲
2＞S
乙
2，
说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
应选：D．
9.
假设直角三角形的两边长分别是方程 x2﹣7x+12＝0 的两根，那么该直角三角形的面积是
〔 〕
A．6 B．12 C．12 或 D．6 或
【分析】先解出方程 x2﹣7x+12＝0 的两个根为 3 和 4，再分长是 4 的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3 或 x＝4．
①当长是 4 的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是 4 的边是斜边时，第三边是
＝ ．
＝ ，该直角三角形的面积是 ×3×
应选：D．
10.
如图，将△ABC 沿 BC 边向右平移得到△DEF，DE 交 AC 于点 G．假设 BC：EC＝3：1．S
△ADG
＝16．那么 S△CEG
的值为〔 〕
A．2
B．4 C．6 D．8
【分析】根据平移的性质得出 AD＝BE，进而得出 BE：EC＝2：1，利用三角形面积之比解答即可．
【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，
∴△ADG∽△ECG，
∵BC：EC＝3：1，
∴BE：EC＝2：1，
∴AD：EC＝2：1，
∴
∵S△ADG＝16，
∴S△CEG＝4，
应选：B．
11.
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，假设四边形 OBCD 为菱形，那么∠BAD 的＝4，
度数为〔 〕
A．45°
B．60° C．72° D．36°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠
BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形 OBCD 为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
应选：B．
12.
定义：min{a，b}＝ ，假设函数 y＝min〔x+1，﹣x2+2x+3〕，那么该函数的最
大值为〔 〕
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得 x＝﹣1 或 x＝2．
∴y＝ ，
把 x＝2 代入 y＝x+1 得 y＝3，
∴函数最大值为 y＝3． 应选：C．
二、填空题(本大题共 5 个小题,每题 3 分,共 15 分)将答案直接填写在答题卡相应的横线上
13.
从﹣1， ，2 中任取两个不同的数作积，那么所得积的中位数是 ﹣ ．
【分析】分别列出从﹣1， ，2 中任取两个不同的数作积，将所得的积从小到大排列，
根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：从﹣1， ，2 中任取两个不同的数作积，有以下几种情况：
﹣1× ＝﹣ ，﹣1×2＝﹣2， ×2＝1，
将所得的积将从小到大排列为﹣2，﹣ ，1，
处在中间位置的数是﹣ ，因此中位数是﹣ ，
故答案为：﹣ ．
14.
一元二次方程 x2+x﹣2021＝0 的两根分别为 m，n，那么+ 的值为 ．
【分析】由根与系数的关系可求得 m+n 和 mn 的值，代入求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程 x2+x﹣2021＝0 的两根分别为 m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴ + ＝
故答案为：
＝
．
＝ ，
15.
如图，ABCDEF 为正六边形，ABGH 为正方形，那么图中∠BCG 的度数为 15° ．
【分析】分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出∠FAH 的大小，即可求解．
【解答】解：∵ABCDEF 为正六边形，ABGH 为正方形，
∴AB＝BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC，
∵正六边形 ABCDEF 的每一个内角是 4×180°÷6＝120°，
正方形 ABGH 的每个内角是 90°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCG＝15°． 故答案为：15°．
16.
假设关于 x 的分式方程 2﹣＝ 的解是正数，那么 k 的取值范围是 k＜4 且 k
≠0 ．
【分析】解分式方程，然后根据分式方程解的情况确定 k 的取值范围．
【解答】解：原方程去分母，得：2〔x﹣2〕﹣〔1﹣k〕＝﹣1，
解得：x＝ ，
∵分式方程的解为正数，且 x≠2，
∴ ，且 ，
解得：k＜4 且 k≠0，
故答案为：k＜4 且 k≠0．
17.
如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，过点 B 作 BF⊥AC 于点 M，交 CD 于点F，过点 D 作 DE∥BF 交 AC 于点 N．交 AB 于点 E，连接 FN，EM．有以下结论：①四边形 NEMF 为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF 为等边三角形；④当 AO＝AD
时，四边形 DEBF 是菱形．其中，正确结论的序号 ①②④ ．
【分析】①正确．想方法证明 EN＝FM，EN∥FM，可得结论．
②正确．证明△AMB∽△BMC，推出
③错误．用反证法证明即可．
＝ ，再证明 DN＝BM，AM＝CN，可得结论．
④正确．证明 DE＝BE，可得结论．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△ADN 和△CBM 中，
，
∴△ADN≌△CBM〔AAS〕，
∴DN＝BM，
∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形 DFBE 是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴EN＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形 NEMF 是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN＝CM，
∴CN＝AM，
∵∠AMB＝∠BMC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠BCM＝90°，
∴∠ABM＝∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴ ＝ ，
∵DN＝BM，AM＝CN，
∴DN2＝CM•CN，故②正确，
假设△DNF 是等边三角形，那么∠CDN＝60°，∠ACD＝30°，
这个与题目条件不符合，故③错误，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA＝OD，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∵四边形 DEBF 是平行四边形，
∴四边形 DEBF 是菱形；故④正确． 故答案为：①②④．
三、解答题(本大题共 7 个小题,共 69 分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
18．〔12 分〕〔1〕计算：〔〕2﹣π〕0+|3﹣
﹣|﹣4sin60°．
，其中 x＝ ﹣1． 〔2〕先化简，再求值：〔 ﹣x+1〕÷
【分析】〔1〕根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义，特殊角的锐角三角函数的值以及绝对值的性质即可求出答案；
〔2〕根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将 x 的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝4+1+ ﹣3﹣4×
＝5+2
＝2．
〔2〕原式＝[
＝
＝ •
•
﹣ ]•
﹣3﹣2
＝﹣x〔x+1〕，
当 x＝﹣1 时，
∴x+1＝ ，
∴原式＝﹣ 〔 ﹣1〕
＝﹣2+
.91
．
〔8 分〕为庆祝中国共产党成立 100 周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从
中任取 20 名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
A
B
成绩范围
60～70
70～80
频数
2
m
C
D
80～90
90～100
9
n
〔1〕分别求 m，n 的值；
〔2〕假设把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替〔如 60～70 的中间值为 65〕估计全校学生的平均成绩；
〔3〕从 A 组和 D 组的学生中随机抽取 2 名学生，用树状图或列表法求这 2 名学生都在 D
组的概率．
【分析】〔1〕由抽取的人数乘以 D 所占的百分比求出 n＝4，即可求出 m 的值；
〔2〕求出样本平均数，即可得出答案；
〔3〕画树状图，共有 30 种等可能的结果，抽取的 2 名学生都在 D 组的结果有 12 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：〔1〕由题意得：n＝20×20%＝4，
那么 m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
〔2〕 〔65×2+75×5+85×9+95×4〕＝82.5〔分〕，
即估计全校学生的平均成绩为 82.5 分；
〔3〕A 组有 2 名学生，D 组有 4 名学生，
画树状图如图：
共有 30 种等可能的结果，抽取的 2 名学生都在 D 组的结果有 12 种，
∴抽取的 2 名学生都在 D 组的概率为 ＝ ．
.02
〔9 分〕某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶 10 元，在销售过程中发现，每天销售量
y〔瓶〕与每瓶售价 x〔元〕之间存在一次函数关系〔其中 10≤x≤21，且 x 为整数〕．当
每瓶消毒液售价为 12 元时，每天销售量为 90 瓶；当每瓶消毒液售价为 15 元时，每天销
售量为 75 瓶．
〔1〕求 y 与 x 之间的函数关系式；
〔2〕设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 w 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】〔1〕根据给定的数据，利用待定系数法即可求出 y 与 x 之间的函数关系式；
〔2〕利用销售该消毒液每天的销售利润＝每瓶的销售利润×每天的销售量，即可得出 w
关于 x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：〔1〕设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b〔k≠0〕，
将〔12，90〕，〔15，75〕代入 y＝kx+b，
，解得：
，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣5x+150〔10≤x≤21，且 x 为整数〕．
〔2〕依题意得：w＝〔x﹣10〕〔﹣5x+150〕＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5〔x﹣20〕2+500．
∵﹣5＜0，
∴当 x＝20 时，w 取得最大值，最大值为 500．
答：当每瓶消毒液售价为 20 元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是 500
元．
〔8 分〕如图，△OAD 为等腰直角三角形，延长 OA 至点 B 使 OB＝OD，ABCD 是矩形，.12其对角线 AC，BD 交于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F．
〔1〕求证：△OAF≌△DAB；
〔2〕求 的值．
【分析】〔1〕根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质得到∠BOE＝∠BDA，AO＝AD，
∠OAD＝∠BAD，进而可以判定；
〔2〕由△OAF≌△DAB 得到 AF＝AB，得到 AF 与 BF 的关系，利用矩形的性质得到 DF
＝AF，进而可得．
【解答】解：〔1〕证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴BE＝DE，∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵△OAD 为等腰直角三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BAD，
在△AOF 和△ABD 中，
，
∴△OAF≌△DAB〔ASA〕，
〔2〕由〔1〕得，△OAF≌△DAB，
∴AF＝AB，
连接 BF，如图，
∴BF＝ AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝ AF，
∴ ＝ ．
.2〔10 分〕反比例函数 y＝ 的图象经过点 A〔2，3〕．
〔1〕求该反比例函数的表达式；
〔2〕如图，在反比例函数 y＝的图象上点 A 的右侧取点 C，过点 C 作 x 轴的垂线交 x
轴于点 H，过点 A 作 y 轴的垂线交直线 CH 于点 D．
①过点 A，点 C 分别作 x 轴，y 轴的垂线，两线相交于点 B，求证：O，B，D 三点共线；
②假设 AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
【分析】〔1〕利用待定系数法求出 m 即可．
〔2〕①过点 A 作 AM⊥x 轴于 M，过点 C 作 CN⊥y 轴于 N，AM 交 CN 于点 B，连接 OB，
证明 tan∠BOM＝tan∠DOH，推出∠BOM＝∠DOH，可得结论．
②证明四边形 ABCD 是矩形，推出 AJ＝JC＝JD＝JB，由 AC＝2OA，推出 AO＝AJ，可得
∠AOJ＝∠AJO，再证明∠AJO＝2∠DOH，可得结论．
【解答】〔1〕解：∵反比例函数 y＝的图象经过点 A〔2，3〕，
∴3＝ ，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为 y＝ ．
〔2〕证明：①过点 A 作 AM⊥x 轴于 M，过点 C 作 CN⊥y 轴于 N，AM 交 CN 于点 B，
连接 OB．
∵A〔2，3〕，点 C 在 y＝的图象上，
∴可以设 C〔m，〕，那么 B〔2， 〕，D〔m，3〕，
∴tan∠BOM＝ ＝ ＝ ，tan∠DOH＝
∴tan∠BOM＝tan∠DOH，
＝ ，
∴∠BOM＝∠DOH，
∴O，B，D 共线．
②设 AC 交 BD 于 J．
∵AD⊥y 轴，CB⊥y 轴，
∴AD∥CB，
∵AM⊥x 轴，DH⊥x 轴，
∴AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OB，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝∠DOH．
〔10 分〕如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 P，过点 D 的⊙O.32的切线与 AB 延长线交于点 E，连接 CE．
〔1〕求证：CE 为⊙O 的切线；
〔2〕假设⊙O 半径为 3，CE＝4，求 sin∠DEC．
【分析】〔1〕连接 OC，OD，由等腰三角形的性质证得∠COE＝∠DOE，根据全等三角形判定证得△COE≌△DOE，得到∠OCE＝∠ODE，即可证得 CE 为⊙O 的切线；
〔2〕过 D 作 DF⊥CE 于 F，由〔1〕知，∠OCE＝90°，根据勾股定理得到 OE＝
＝ ＝5，根据三角形的面积公式得到 CP＝＝ ＝
，求得 CD＝2CP＝，根据勾股定理得到 PE＝ ，根据切线的性质得到 DE＝CE＝4，
根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】证明：〔1〕连接 OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE 和△DOE 中，
，
∴△COE≌△DOE〔SAS〕，
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE 是⊙O 的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴CE 为⊙O 的切线；
〔2〕解：过 D 作 DF⊥CE 于 F，
由〔1〕知，∠OCE＝90°，
在 Rt△OCE 中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE＝ ＝ ＝5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCE＝ OC•CE＝ CP•OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP＝ ，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP＝ ，
＝ ＝ ， 在 Rt△CPE 中，PE＝
∵CE，DE 是⊙O 的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDE＝ CE•DF＝ CD•PE，
∴4DF＝ × ，
∴DF＝ ，
在 Rt△DEF 中，sin∠DEC＝ ＝
＝ ．
.42〔12 分〕二次函数 y＝x2+2bx﹣3b．
〔1〕当该二次函数的图象经过点 A〔1，0〕时，求该二次函数的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，二次函数图象与 x 轴的另一个交点为点 B，与 y 轴的交点为点 C，
点 P 从点 A 出发在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B
出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，直到其中一点到达终点时，
两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；
〔3〕假设对满足 x≥1 的任意实数 x，都使得 y≥0 成立，求实数 b 的取值范围．
【分析】〔1〕把点 A〔1，0〕代入解析式，求出 b，得到解析式；
〔2〕过点 Q 作 QN⊥AB 于点 N，利用相似表达出△BPQ 的高，然后表示出△BPQ 的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
〔3〕分类讨论，函数图象与 x 轴有一个交点和没有交点时，x≥1 的任意实数 x，都有 y
≥0 成立，假设函数图象与 x 轴有两个交点，那么需满足两交点的横坐标均不大于 1，列出不等式即可求 b 的取值范围．
【解答】解：〔1〕把点 A〔1，0〕代入 y＝x2+2bx﹣3b 得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
〔2〕如图 1，对函数 y＝x2+2x﹣3，
当 x＝0 时，y＝﹣3，当 y＝0 时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C〔0，﹣3〕，B〔﹣3，0〕，A〔1，0〕，
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3
过点 Q 作 QN⊥AB 于点 N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴ ，
，
设运动时间为 t，那么：BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，
∴NQ＝
∴S△BPQ＝
，
，
，
∴当 t＝1 时，△BPQ 面积的最大值为．
〔3〕①∵二次函数 y＝x2+2bx﹣3b 的图象开口向上，
∴当二次函数 y＝x2+2bx﹣3b 的图象与 x 轴没有交点或只有 1 个交点时，x≥1 总有 y≥0
成立〔如图 2〕；
此时△≤0，即〔2b〕2﹣4〔﹣3b〕≤0，
解得﹣3≤b≤0；
②当二次函数 y＝x2+2bx﹣3b 的图象与 x 轴有 2 个交点时，
Δ＝〔2b〕2﹣4〔﹣3b〕＞0，可得 b＞0 或 b＜﹣3，
设此时两交点为〔x1，0〕，〔x2，0〕，那么 x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，
要使 x≥1 的任意实数 x，都有 y≥0，需 x1≤1，x2≤1，即 x1﹣1≤0，x2﹣1≤0〔如图 3〕，
∴〔x1﹣1〕+〔x2﹣1〕≤0 且〔x1﹣1〕•〔x2﹣1〕≥0，
∴﹣2b﹣2≤0 且﹣3b﹣〔﹣2b〕+1≥0，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时 0＜b≤1，
总上所述，对满足 x≥1 的任意实数 x，都使得 y≥0 成立，那么﹣3≤b≤1．
2021 年四川宜宾中考数学试题及答案
一、选择题；本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1. ﹣2 的绝对值是（ ）
A. 2
【答案】A
1B.
2
C.
1D.
2
2
2.
下列图形是轴对称图形的是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】D
3.
2021 年宜宾市中考人数已突破 64000 人，数据 64000 用科学记数法表示为（ ）
A.
64 103
B.
6.4 104
C.
0.64 105
D.
6.4 105
【答案】B
4.
若长度分别是
a、3、5 的三条线段能组成一个三角形，则
a
的值可以是（ ） A.
1 B. 2
【答案】C
C. 4 D. 8
5.
一块含有 45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2 的度数是（ ）
A. 30°
B. 35° C. 40° D. 45°
【答案】B
6.
下列运算正确的是（ ）
A.
a a2 a3
【答案】D
B.
2a2 2a6
3
C.
a6 a2 a3
D.
a3
a2
a5
7.
下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等
C. 平行四边形的对角线互相垂直
D. 平行四边形的对角线互相平分
m
x
3 有增根，则
m
的值是（ ）
8.
若关于
x
的分式方程
x 2
x 2
【答案】D
A. 1
B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2
【答案】C
9.
如图，在△ABC
中，点
O
是角平分线
AD、BE
的交点，若
AB＝AC＝10，BC＝12，则 tan∠OBD
的值是（ ）
1A.
2
【答案】A
B. 2 C.
6
3
D.
6
4
m、n
是一元二次方程
x＋3x﹣9＝0 的两个根，则m2 4m n
的值是（ ）
10.
若
2A. 4
【答案】C
B. 5 C. 6 D. 12
11.
在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A 27 B. 42 C. 55 D. 210
【答案】B
12.
如图，在矩形纸片
ABCD
中，点
E、F
分别在矩形的边
AB、AD
上，将矩形纸片沿
CE、CF
折叠，点
B
落在H
处，点
D
落在
G
处，点
C、H、G
恰好在同一直线上，若
AB＝6，AD＝4，BE＝2，则
DF
的长是（ ）
A. 2
B.
7
4
3
2
C.
2
D. 3
【答案】A
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上． 13. 不等式 2x﹣1＞1 的解集是 ．
【答案】
x 1
14. 分解因式：
a3
2a2
a
．
【答案】a
a 1．
15.
从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是 88.9，方差分别
2
是
S
2 2.25, S
2 1.81, S
2
3.42
，你认为最适合参加决赛的选手是
甲 乙 丙
（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】乙
16.
据统计，2021 年第一季度宜宾市实现地区生产总值约 652 亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值
960 亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为
x，则可列方程
【答案】6521 x 960
2
．
17.
如图，⊙O
的直径
AB＝4，P
为⊙O
上的动点，连结
AP，Q
为
AP
的中点，若点
P
在圆上运动一周，则点
Q
经过的路径长是
．
【答案】2
18.
如图，在矩形
ABCD
中，AD＝
O，动点
M
从点
B
向点
A
运动（到点
A
即停止），
3
AB，对角线相交于点
点
N
是
AD
上一动点，且满足∠MON＝90°，连结
MN．在点
M、N
运动过程中，则以下结论中，①点
M、N
的
运动速度不相等；②存在某一时刻使
S
AMN
SΔMON
；③
S
AMN
逐渐减小；④
MN
2 BM
2 DN
2
．正确
的是
．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③．
三、解答题；本大题共 7 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
19. （1）计算：
(
3)0
12
4sin 60
；
2
2
1a a
．
（2）化简：
2
a 1
a 2a 1
【答案】（1）-1；（2）
a 1
a
20.
如图，已知
OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．
21
【答案】证明见解析
21.
为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）
张老师调查的学生人数是 ．
（2）
若该校共有学生 1000 名，请估计有多少名学生选修泥塑；
（3）
现有 4 名学生，其中 2 人选修书法，1 人选修绘画，1 人选修摄影，张老师要从这 4 人中任选 2 人了
解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选 2 人都是选修书法的概率．
【答案】(1)50 名；(2)240 名；(3)
1
6
22.
全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度
AB，在
C
处测得塔顶
A
的仰角为 45°，再向白塔方向前进 15 米到达
D
处，又测得塔顶
A
的仰角为 60°，
点
B、D、C
在同一水平线上，求白塔的高度
AB．（
3
≈1.7，精确到 1 米）
【答案】35
y
23.
如图，一次函数
y＝ax＋b
的图象与反比例函数
k
的图象交于点
A、B，与
x
轴交于点C(5，0)，若
x
OC＝AC，且
S
OAC
＝10
（1）
求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）
请直接写出不等式
ax＋b＞
的解集．
k
x
y
【答案】（1）
32
y x
，
4 20
3 x 0, x 8
． ；（2）
3 3
x
24.
如图 1，D
为⊙O
上一点，点
C
在直径
BA
的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）
判断直线
CD
与⊙O
的位置关系，并说明理由；
1
（2）
若 tan∠ADC＝
，AC＝2，求⊙O
的半径；
2
（3）
如图 2，在（2）的条件下，∠ADB
的平分线
DE
交⊙O
于点
E，交
AB
于点
F，连结
BE．求 sin∠DBE
的值．
3 10
【答案】（1）见详解；（2）3；（3）
10
25.
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与
x
轴分别交于
A、B
两点，与
y
轴交于点
C（0，6），抛物线顶点坐标为
E（2，8），连结
BC、BE、CE．
（1）
求抛物线的表达式；
（2）
判断△BCE
的形状，并说明理由；
1
为半径作⊙C，在⊙C
上是否存在点
P，使得
BP＋
EP
的值最小，若存在，
（3）
如图 2，以
C
为圆心，
2
请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=
1
x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，2
2
290
2
四川省乐山市
2021
年中考数学试卷
一、单选题（共 10 题；共 20 分）
1.
如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作 ，支出 5 元记作（ ）.
C. 元 D. 7 元 A. 5 元 B. 元
2.
在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）.
类型 健康 亚健康 不健康
1
B. 7 C. D.
32 7
数据（人）
A. 32
3.
某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品 8 千克的售价为（ ）
A.
（元） B. （元） C.
.若
（元） D. （元）
4.
如图，已知直线 、 、 两两相交，且 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
的面积平5.
如图，已知直线 与坐标轴分别交于A、B 两点，那么过原点O 且将
分的直线 的解析式为（ ）
A. B. C. D.
6.
如图是由 4 个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转 90°后，其主视图是（ ）
A.
B. C. D.
7.
七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，
如图 1 所示.19 世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图 2 是由边长为 4 的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图.则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）
A. 3
8.
如图，已知点P 是菱形
B. C. 2
的对角线
，
延长线上一点，过点P 分别作
，则
D.
、 延长线的垂线，
垂足分别为点 E、F.若
的值为（ ）
A. B.
9.
如图，已知
C. 2
， ， 与 、
D.
均相切，点P 是线段 与抛物线，
的交点，则a 的值为（ ）
A. 4 B. C. D. 5
10.
如图，直线 与反比例函数 的图象相交于A、B 两点，线段 的中点为点C，过点C 作，满足 ， x 轴的垂线，垂足为点D.直线 过原点O 和点C.若直线 上存在点
则 的 值 为 （ ）
A. B. 3 或 C. 或 D. 3
二、填空题（共 6 题；共 6 分）
11.计算：
12.
因式分解：
.
.
13.
如图是根据甲、乙两人 5 次射击的成绩（环数）制作的折线统计图.你认为谁的成绩较为稳？
（填“甲”或“乙”）
C
处测得石碑顶A
点的仰角为
14.
如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点
5
米到达点D
处，又测得石顶
A
点的仰角为 碑前行
果保留根号）
，那么石碑的高度 的长
，她朝石米.（结
15.在
合），且
中，
.有一个锐角为 ，
.
.若点P 在直线
上（不与点 A、B 重
， 于
.
，则 的长为
16.如图，已知点 ，点 B 为直线 上的一动点，点 ，
点 C，连接
.若直线 与 正半轴所夹的锐角为 ，那么当 的值最大时，n 的值为
三、解答题（共 10 题；共 96 分）
17.
当 取何正整数时，代数式
18.
如图，已知
与 的值的差大于 1
， 与 相交于点 O，求证： .
，
19.
已知
20.
已知关于x
的一元二次方程
，求 A、B 的值.
.
（1）
若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
（2）
二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解.
21.
某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬.学校德育处随后决定在全校 1000 名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动.张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将
收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图.
（1）
求这组数据的平均数和众数；
（2）
经调查，当学生身上的零花钱多于 15 元时，都到出零花钱的 20%，其余学生不参加捐款.请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）
捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从 4 人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率.
22.
如图，直线l 分别交x 轴，y 轴于 A、B 两点，交反比例函数 的图象于P、Q 两点.若
，且 的面积为 4
（1）
求k 的值；
（2）
当点P 的横坐标为 时，求 的面积.
23.
通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y 随时间 x（分钟）
变化的函数图象如图所示，当
反比例函数的一部分.
和 时，图象是线段；当 时，图象是
（1）
求点 A 对应的指标值；
（2）
张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由.
24.
如图，已知点C 是以 为直径的圆上一点，D 是
，且
.
延长线上一点，过点D 作 的垂线交 的E，连结 延长线于点
（1）求证： 是 的切线；
（2）若
25.在等腰
，
中，
，求
，点D 是
的半径.
边上一点（不与点B、C
重合），连结
.
（1）
如图 1，若 ，点 D 关于直线
；
，将线段
的对称点为点E，结 ， ，则
（2）
若 绕点 A 顺时针旋转 得到线段 ，连结 .
①在图 2 中补全图形；
②探究 与 的数量关系，并证明；
，且 ，试探究 、 、 之间满足的数量关系，
（3）
如图3，若
并证明.
26.已知二次函数 的图象开口向上，且经过点 ， .
（1）
求 b 的值（用含 a 的代数式表示）；
（2）
若二次函数
（3）
将线段
在 时，y 的最大值为 1，求 a 的值；
.若线段 与抛物线 仅有一向右平移 2 个单位得到线段
个交点，求 a 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.
【解析】【解答】解：根据题意得：支出 5 元记作 元故答案为：B.
【分析】利用已知条件：规定收入为正，那么支出为负，据此可得答案,.
2.
【解析】【解答】解：根据题意，得测试结果为“健康”的频率是
故答案为：D.
【分析】利用健康的人数除以抽取的人数，列式计算即可.
3.
【解析】【解答】解：∵m
千克的售价为
n
元，
∴1
千克商品售价为
∴8
千克商品的售价为
故答案为：A.
，
（元）；
【分析】利用单价=总价÷数量，可得到 1 千克商品售价，再求出 8 千克商品的售价.
4.
【解析】【解答】解：
∵
∵
，
，
.
∴∠2=90°；
∴
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义求出∠2
的度数，再利用对顶角相等，可求出∠1
的度数，然后连同三角形外角的性质，可求出 β 的度数.
5.
【解析】【解答】解：如图所示，
当
解得：
∴
当
∴
时，
，
，
时，
，
，
，
∵C
在直线
AB
上，
设 ，
∴
，
，
∵ 且将
∴
∴
的面积平分，
，
，
，
，
，
∴
解得
，
∴
设直线 的解析式为
则 ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】求出当 y=0 时的 x 的值，可得到点 A 的坐标，求出当 x=0 时的 y 的值，可得到点B 的坐标；设点C（m，-2m+4），分别表示出△OBC 和△AOC 的面积，再根据两三角形的面积相等，可建立关于m 的方程，解方程求出
m
的值，可得到点C
的坐标，然后利用待定系数法求出直线l2
的解析式.
6.
【解析】【解答】解：把该几何体它在水平面内顺时针旋转 90°后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，
∵该几何体的从右面看到的图形为 ，
∴该几何体它在水平面内顺时针旋转
90°后，旋转后几何体的主视图为
.
故答案为：C.
【分析】观察几何体，可知把该几何体它在水平面内顺时针旋转 90°后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，由此可得答案.
7.
【解析】【解答】解：如下图所示，由边长为 4 的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：
①腰长是 的等腰直角三角形，
②腰长是 的等腰直角三角形，
③腰长是
的等腰直角三角形，
④边长是 的正方形，
⑤边长分别是 2 和 ，顶角分别是 和 的平行四边形，
根据图 2 可知，图中抬起的“腿”（即阴影部分）是由一个腰长是
是 2 和
的等腰直角三角形，和一个边长分别，顶角分别是 和 的平行四边形组成，
如下图示，
根据平行四边形的性质可知，顶角分别是 和 的平行四边形的高是
，
，
，且 ，
∴一个腰长是 的等腰直角三角形的面积是：
顶角分别是 和 的平行四边形的面积是：
， ∴阴影部分的面积为：
故答案为：A.
【分析】利用由边长为 4 的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：①腰长是
角形，②腰长是 的等腰直角三角形；③腰长是
边长分别是 2 和
一个腰长是
，顶角分别是 和
的等腰直角三角形；④边长是
的等腰直角三的正方形；⑤
的平行四边形，再观察图中抬起的“腿”（即阴影部分）是由
，顶角分别是 和 的平行四边形的等腰直角三角形，和一个边长分别是 2 和
组成，利用三角形的面积公式求出等腰三角形的面积和平行四边形的面积，然后求和即可.
8.
【解析】【解答】解：∵四边形
ABCD
是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC=
∴AP= +PC，
，
在直角△AEP 中，
∵∠PAE=30°，AP=
∴PE= AP= +
+PC，
PC，
在直角△PFC 中，
∵∠PCF=30°，
∴PF=
∴
PC，
= + PC- PC=
，
故答案为：B.
【分析】利用菱形的性质可证得
AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，求出∠CAE
的度数，利用勾股定理求出 AC 的长，即可表示出 AP 的长；在 Rt△AEP 中，可表示出 AP，PE 的长；在 Rt△PFC 中，利用 30°
角所对的直角边等于斜边的一半，可求出 PF=
9.【解析】【解答】解：如图，
PC；然后求出PE-PF 的值.
在 Rt△AOB 中，
，
，
；
∴
∵
∴OC=6，
， ，
∴C（0，6）；
∵ ，
，
∴A（6，0）；
设直线 AC 的解析式为
∴
，
，
；
解得
AC
的解析式为 ∴直线
设 的半径为 m，
∵ 与 相切，
∴点P
的横坐标为m，
∵点P
在直线直线
AC
上，
∴P（m，-m+6）；
连接PB、PO、PA，
∵ 与 、 均相切，
∴△OBP
边
OB
上的高为
m，△AOB
边
AB
上的高为
m，
∵P（m，-m+6）；
∴△AOP
边
OA
上的高为-m+6，
∵
∴
解得 m=1，
∴P（1，5）；
∵抛物线
，
，
过点P，
. ∴
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出 BC 的长，可得到 OC 的长，由此可求出点C 的坐标，利用待定系数法求出直线AC
的函数解析式；设
AC
上，因此设
P的半径为m，利用圆的切线的性质和点P
在直线 （m，-m+6）；， 建立关于m 的方程，解方程求出 m 的连接PB、PO、PA，利用切线的性质可知△OBP 边 OB 上的高为m，△AOB 边AB 上的高为m，可得到△AOP
边 OA 上的高为-m+6，根据值；即可得到点 P 的坐标，然后将点P 的坐标代入二次函数解析式，可求出a 的值.
10.
【解析】【解答】解：根据题意，得 ， ，即 ，
C ∵直线 过原点O
和点
∴直线 ：
∵
∴
∴
连接 ， ，
在直线 上 利用已知条件可得到
∴ ，线段
C 的中点为点
∴
，
过点C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D
∴
∴
∴
∴
， ，
AB
交于点
F，点
F
为圆心 ∴点A、B、D、P
共圆，直线 和
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当
∴
∴
∴
∴
∴
，
，且
或
时，
不符合题意
和 位于直线 两侧，即
，且
，
∴
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可表示出 PC 的长，连接PA，PB，FB，可证得 PA=PB，线段 AB 的中点为点 C，过点C
作 x 轴的垂线，垂足为点D，可得到点D 的坐标，利用勾股定理分别求出AD，AB，BD 的长，利用勾股
A、B、D、P
共圆，直线 和
AB
交于点F，点
F
为圆心，利用解 定理的逆定理可得∠ABD=90°；可证得点
直角三角形求出 FC 的长；分情况讨论：当 PC=PF+PC 时；当 PC=PF-FC 时，据此建立关于 m 的方程，解方程求出符合题意的 m 的值.
二、填空题
11.
【解析】【解答】解： .
故答案为：1.
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案.
12.【解析】【解答】
故答案为(2a+3)(2a﹣3).
【分析】利用平方差公式进行分解即可.
(2a)2-32=(2a+3)(2a﹣3)，
13.【解析】【解答】解： =（7+6+9+6+7）÷5=7（环），
=（5+9+6+7+8）÷5=7（环），
=[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]÷5=1.2，
=[（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2]÷5=2，
∵1.2＜2，
∴甲的成绩较为稳定，
故答案为：甲.
【分析】利用平均数公式分别求出甲和乙的平均数，再利用方差公式求出甲和乙的方差，再比较方差的大小，根据方差越小，成绩越稳定，可得答案.
14.
【解析】【解答】解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°
∴∠CAD=30°
∴△ADC
是等腰三角形，
∴DA=DC
又
DC=5
米
故 AD=5 米
在
Rt△ADB
中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD=
故答案为：
【分析】利用已知条件可得到△ADC 是等腰三角形，可求出 AD 的长，在 Rt△ADB 中，利用解直角三角形可得到 AB=sin60°×AD，代入计算求出 AB 的长.
15.
【解析】【解答】解：情形
1：
米 ，则 ，
，
∵
∴
∴
∴
，
，
是等边三角形，
；
，则 ， ， ，
2： 情形
∵
∴
∴
，
，
，解得
，
；
情形 3：
，
，
，则
∵
∴
故答案为：
，
；
或 或 2.
【分析】分情况讨论：当∠A=60°，可得到∠B=30°，易证△ACP
是等边三角形，可求出
CP
的长；当
∠B=60°，∠A=30°时，利用直角三角形的性质（30°）可求出
BC
的长，利用勾股定理求出
AC
的长，再利用
16.
【解析】【解答】解：如图，设直线
y＝﹣2
与
y
轴交于
G，过
A
作
AH⊥直线
y＝﹣2
于H，AF⊥y
轴于
三角形的面积公式求出
CP
的长；当∠ ，∠A=30° 时，利用 ，可求出
B=60° CP=AC CP
的长
.
F，
∵BH∥x
轴，
∴∠ABH＝α，
在 Rt△ABH 中，
即 =
,
，
∵sinα
随BA
的减小而增大，
∴当BA
最小时
sinα
有最大值；即
BH
最小时，sinα
有最大值，即
BG
最大时，sinα
有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，
∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴
，
，
，
（n+2）（3﹣n） （n
）2 ，
∵
即
∴BG
∵
n
∴当 时，BG
最大值
故答案为： .
【分析】设直线
y＝﹣2
与
y
轴交于G，过
A
作
AH⊥直线
y＝﹣2
于H，AF⊥y
轴于
F，利用平行线的性质可得∠ABH＝α，利用勾股定理求出AB
的长，利用解直角三角形求出sinα，利用正弦的增减性，可知当BA
最小时 sinα 有最大值；即BH 最小时，sinα 有最大值，即BG 最大时，sinα 有最大值；再证明
△ACF
∽△CBG
，利用相似三角形的性质可建立 BG 与n 的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用三、解答题17.
【解析】【分析】利用已知条件列出不等式，再求出不等式的解集，根据x 为正整数，可求出x 的值.
二次函数的性质，可求解.
18.
【解析】【分析】利用AAS
证明△ABO≌△DCO，利用全等三角形的性质，可证得
OB=OC，然后利用等
19.
【解析】【分析】将方程的左边通分计算，再根据左右两边的分子相等，由此可得对应项的系数相等，
边对等角，可证得结论.
由此建立关于 A，B 的方程组，解方程组求出 A，B 的值.
20.
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得到 b2-4ac＞0，由此建立关于 m 的不等式 ，然后求出不等式的解集.
（2）利用函数图象可知方程的一个根为 1，可求出m 的值；再将 m 的值代入方程，解方程求出此方程的根.
21.
【解析】【分析】（1）利用加权平均数公式进行计算，可求出这组数据的平均数.
（2）
利用条形统计图求出零花钱多于 15 元的学生的平均数，再求出周五这一天该校收到捐款数.
（3）
利用已知条件可知此事件是抽取不放回，列表，可求出所有等可能的结果数及两人来自不同学校 的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22.
【解析】【分析】（1）过点P
作PE⊥x
轴于点
E，由PE∥BO，可证得△ABO∽△APE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出△APE 和△PED 的面积，利用反比例函数的几何意义，可求出 k 的值.
（2）利用函数解析式求出点P 的坐标，由 AB=2PB，可求出△PBO 的面积，即可得到点 B 的坐标；再利
用待定系数法求出直线PB 的函数解析式，将此函数解析式与反比例函数联立方程组，求出点 Q 的坐标，
然后利用三角形的面积公式求出△POQ 的面积.
23.
【解析】【分析】（1）将点（20，45）代入反比例函数解析式，可求出 k 的值，将 x=45 代入函数解析式可求出点 A 对应的指标值.
（2）
利用点A，B 的坐标求出直线 AB 的函数解析式，利用已知条件建立关于x 的不等式组，求出不等式组的解集，即可作出判断.
24.
【解析】【分析】（1）连接
OC，BC，利用等边对等角可证得∠OCA=∠OAC，∠E=∠DCE，利用垂直的定义可推出∠E+∠OAC=90°，即可得到∠DCB+∠BCO=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论.
（2）利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DCB∽△DAC，利用相似三角形的对应边成比
例，可得到 CD2=AD·DB，设 AO=r，可表示出 DC，DE 的长，利用解直角三角形建立关于 r 的方程，解方程∵
25.
【解析】【解答】解：（1）
求出r
的值.
，
∴△ABC
是等边三角形
∴∠B=60°
D
关于直线 ∵点
E 的对称点为点
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