近5年高考新课标(文科)数学高考试卷和详解答案

2023年12月2日发(作者：数学试卷反省作文)

2009-2013年普通高等学校招生全国统一考试试卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12，则AB

A．{3，5} B．{3，6} C．{3，7} D．{3，9}

2．复数32i

23iA．1 B．1 C．i (D)i

），得散点图1；对变量u,v有观测数据（ui，vi）3．对变量x,y有观测数据（xi，yi）（i,201,1,（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断

A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关

4．有四个关于三角函数的命题：

p1：xR，

sin2p3:

x0,，其中假命题的是

x12x+cos=

p2:

x,yR，

sin(xy)sinxsiny

2221cos2xsinx

p4:

sinxcosyxy

22A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3

5．已知圆C1：(x1)+(y1)=1，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为

A．(x2)+(y2)=1 B．(x2)+(y2)=1

C．(x2)+(y2)=1 D．(x2)+(y2)=1

2222222222 第 1 页共 41 页 2xy4,6．设x,y满足xy1,则zxy

x2y2,A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值

C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值

7．已知a3,2,b1,0，向量ab与a2b垂直，则实数的值为

A．1111 B． C． D．

767628．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知am1am1am0，S2m138，则m

A．38 B．20 C．10 D．9

9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF下列结论中错误的是

A．ACBE B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥ABEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

10．执行如图所示的程序框图，输入x2,h0.5，那么输出的各个数的和等于

A．3 B． 3.5 C． 4 D．4.5

1，则2

第 2 页共 41 页

11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm）为

A．48122 B．48242 C．36122 D．36242

12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)min{2,x2,10x}(x0)，则f(x)的最大值为

A．4 B．5 C．6 D．7

x2第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线yxe2x1在点（0，1）处的切线方程为________________．

14．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________________．

15．等比数列{an}的公比q0，已知a2=1，an2an16an，则{an}的前4项和xS4=________________．

16．已知函数f(x)2sin(x)的图像如图所示，则f712________________．

 第 3 页共 41 页

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50m，BC120m，于A处测得水深AD80m，于B处测得水深BE200m，于C处测得水深CF110m，求∠DEF的余弦值．

18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º．

（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）若PC4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC体积．

19．（本小题满分12分）

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．

（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？

（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．

表1：

第 4 页共 41 页生产能力分组

人数

表2：

生产能力分组

人数

100,110

110,120

120,130

130,140

140,150

110,120

120,130

130,140

140,150

（i）先确定x,y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．

20．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

第 5 页共 41 页（Ⅱ）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)x3ax9axa.

（Ⅰ）设a1，求函数fx的极值；

（2）若a

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

3223OPOMe，（e为椭圆C的离1\'，且当x1,4a时，f(x)12a恒成立，试确定a的取值范围．

4如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且AEAF。

（1）证明：B,D,H,E四点共圆；

（2）证明：CE平分DEF。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．B 11．A 12．C

13．y3x1 14．y4x 15．215 16．0

21．【答案】D【解析】集合A与集合B都有元素3和9，故AB3,9，选.D。

2．【答案】C【解析】32i(32i)(23i)69i4i6i，故选.C。

23i(23i)(23i)133．【答案】C【解析】图1的的散点分布在斜率小于0的直线附近，y随x的增大而减小，故变量x 与y 负相关；图2的的散点分布在斜率大于0的直线附近，u随v的增大而减小，故变量v 与v 正相第 6 页共 41 页关，故选C。

4．【答案】A【解析】因为sin2x2x+cos＝1，故p1是假命题；当x＝y时，p2成立，故p2是真命221cos2x1(12sin2x)题；＝｜sinx｜，因为x0,，所以，｜sinx｜＝sinx，p3正确；22当x＝9，y＝时，有sinxcosy，但xy，故p4假命题，选.A。

442a1b110a2225．【答案】B【解析】设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，b2b11a1对称圆的半径不变，为1，故选B。.

6．【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B

7．【答案】A【解析】向量ab＝（－3－1，2），a2b＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）³（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝1，故选.A。

728．【答案】C【解析】因为an是等差数列，所以，am1am12am，由am1am1am0，得：2am－am＝0，所以，am＝2，又S2m138，即解得m＝10，故选.C。

9．【答案】D【解析】可证AC平面D1DBB1，从而ACBE;故A正确，由B1D1∥平面ABCD，可知EF//平面ABCD，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥ABEF的高，2(2m1)(a1a2m1)＝38，即（2m－1）³2＝38，2 第 7 页共 41 页 SBEF1122111为定值，C正确；D错误。选1，三棱锥ABEF的体积为34224224D.

10．【答案】B【解析】第1步：y＝0，x＝－1.5；第2步：y＝0，x＝－1；第3步：y＝0，x＝－0.5；第4步：y＝0，x＝0；第5步：y＝0，x＝0.5；第6步：y＝0.5，x＝1；第7步：y＝1，x＝1.5；第8步：y＝1，x＝2；第9步：y＝1，退出循环，输出各数和为：0.5＋1＋1＋1＝3.5，故选.B。

11．【答案】A【解析】棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝62，全面积为：111³6³6＋2³³6³5＋³62³4＝48＋122，故选.A。

222

12．【答案】C【解析】画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。.

y\'exe2，13．【答案】【解析】斜率k＝e02＝3，所以，y－1＝3x，即y3x1

y3x114、【答案】y4x【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1x2＝k＝2³2，故y4x.

22xx015n1nn12【解析】由an2an16an得：qq6q，即qq60，q0，解21(124)115得：q＝2，又a2=1，所以，a1，S42＝。

22122522）＝16．【答案】0【解析】由图象知最小正周期T＝（＝，故＝3，又x＝时，3344415．【答案】f（x）＝0，即2sin(34）＝0，可得4，所以，7f127sin(3)＝0。 212417．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M．

第 8 页共 41 页 DFMF2DM2302170210198，

DEDN2EN25021202130，

EF(BEFC)2BC29021202150．

在△EDF中，由余弦定理，

DE2EF2DF21302150210229816．

cosDEF2DEEF21301506518．解：（Ⅰ）因为△PAB是等边三角形，PACPBC90，

所以RtPBC≌RtPACRtPBC≌RtPAC，可得AC=BC．

如图，取AB中点D，连结PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，

所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC．

（Ⅱ）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．因为RtPBC≌RtPAC，

所以AE⊥PC，AE=BE．由已知，平面PAC平面PBC，故AEB90．

因为RtAEB≌RtPEB，所以AEB,PEB,CEB都是等腰直角三角形．由已知PC=4，得AE=BE=2，AEB的面积S2．

因为PC⊥平面AEB，所以三角锥PABC的体积V18SPC．

3319．解：（Ⅰ）A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名．

（Ⅱ）（ⅰ）由48x5325，得x5；6y361875，得y15；

频率分布直方图如下

从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．

48553105115125135145123，

252525252525756153618

xB115125135145133.8，

x123133.8131.1．

75757575100100（ii）xAA类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计第 9 页共 41 页值分别为123，133.8和131.1.

20．解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c，由已知得

ac1 解得a=4，c=3，

ac7x2y21. 所以椭圆C的方程为167x2y1232e.（Ⅱ）设M（x，y），P(x，y1)，其中x4,4.由已知得2而，故

exy241127x216(xy)9(xy). ① 由点P在椭圆C上得

y,代入①式并化简得1622122219y2112,

所以点M的轨迹方程为y

47(4x4),轨迹是两条平行于x轴的线段．

3 第 10 页共 41 页

21．解：（Ⅰ）当a=1时，对函数f(x)求导数，得f(x)23x6x令9.f(x)0,解得x11,x23.

列表讨论f(x),f(x)的变化情况：

f(x)

f(x)

(,1)

-1

极大值6

（-1，3）

极小值-26

(3,)



所以，f(x)的极大值是f(1)6，极小值是f(3)26.

（Ⅱ）f(x)3x6ax9a的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．

若221a1，则f(x)在[1,4a]上是增函数，从而f(x)在[1,4a]上的最小值是4f(1)36a9a2,最大值是f(4a)15a2.由

|f(x)|12a,得12a3x26ax9a212a,于是有

f(1)36a9a212a，且f(4a)15a212a.

由f(1)12a得14a1，由f(4a)12a得0a.

35414,即a,.

545所以a,1,10,14132若a>1，则|f(a)|12a12a．故当x[1,4a]时，|f(x)|12a不恒成立．

所以使|f(x)|12a(x[1,4a])恒成立的a的取值范围是22）解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD,CE是角平分线，

所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°

14,．

45 第 11 页共 41 页于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°，

所以B,D,H,E四点共圆。

（Ⅱ）连结BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30°

由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，

所以CEDHBD30°

又AHEEBD60°，由已知可得EFAD，

可得CEF30°

所以CE平分DEF

2010年数学(宁夏)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合Axx2,xR,Bx|x4,xZ|，则AB

（A）（0，2）（B）[0，2] （C）|0，2| （D）|0，1，2|

（2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于

（A）816816 （B） （C）（D）

656565653i，则|z|=

2(13i)（3）已知复数z(A)11 （B）（C）1 （D）2

422（4）曲线yx2x1在点（1,0）处的切线方程为

（A）yx1 （B）yx1

（C）y2x2 （D）y2x2

（5）中心在远点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为

（A）6 （B）5

（C）65 （D）

22 (6)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，-2），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

第 12 页共 41 页

(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

（A）3a2

（B）6a2

（C）12a2

（D） 24a2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于

（A）5465（B）（C）（D）

5645(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则xfx20=

（A）xx2或x4 （B）xx0或x4

（C）xx0或x6

（D）xx2或x2

（10）若sina= -4，a是第一象限的角，则sin(a)=

54（A）-727222 （B）（C） - （D）

10101010（11）已知 ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在 ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是

（A）（-14，16）（B）（-14，20）（C）（-12，18）（D）（-12，20）

lgx1,0x10（12）已知函数f(x)=1x6,x0 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范围2是

（A）（1，10）（B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)

第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）圆心在原点上与直线xy20相切的圆的方程为-----------。

（14）设函数yf(x)为区间0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0fx1，可以用第 13 页共 41 页随机模拟方法计算由曲线yf(x)及直线x0，x1，y0所围成部分的面积，先产生两组i每组N个，区间0,1上的均匀随机数和，由此得到V个点x,yiN。再数出其中满足y1f(x)(iN)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___________

(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)

①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

(16)在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD,ADBD=_____

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

设等差数列an满足a35，a109。

（Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

（18）（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。

2,ADB135.若AC2AB,则

（Ⅰ）证明：平面PAC 平面PBD;

（Ⅱ）若AB6,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。

（19）（本小题满分12分）

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿性别

需要

不需要

男

160

女

270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由

第 14 页共 41 页附：

（20）（本小题满分12分）

y2设F1,F2分别是椭圆E：x+2=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、Bb2两点，且AF2，AB，BF2成等差数列。

（Ⅰ）求AB

（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值。

（21）本小题满分12分）

x2设函数fxxe1ax

（Ⅰ）若a=1，求fx的单调区间；

2（Ⅱ）若当x≥0时fx≥0，求a的取值范围

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

ACBD 如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；

（Ⅱ）BC=BF³CD。

2010年新课标文科数学答案解析

一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最第 15 页共 41 页符合题目要求的。

（1）D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C

(7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C

二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。

（13）x2+y2=2 (14)N1 (15)①②③⑤ (16)2+5

N三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）解：

（1）由am

= a1

+（n-1）d及a1=5，aw=-9得

{a12d5a19d9

解得{d2

n(n1)。d=10n-n2

2a19数列{am}的通项公式为an=11-2n。 ……..6分

(2)由(1) 知Sm=na1+

因为Sm=-(n-5)2+25.

所以n=5时，Sm取得最大值。 ……12分

(18)解：

(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H.

所以AC平面PBD.

故平面PAC平面PBD. ……..6分

(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB= 所以HA=HB=6.

因为APB=ADR=600

所以PA=PB=6,HD=HC=1.

可得PH=3.

等腰梯形ABCD的面积为S=1AC x BD = 2+3. ……..9分

2 所以四棱锥的体积为V=3231x（2+3）x3= ……..12分

33（19）解：

（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%. ……4分

500500(4027030160)29.967 (2)

k200300704302 第 16 页共 41 页由于9.9676.635所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分

（20）解：

（1）由椭圆定义知F2+F2

又2AB=AFF得AB

2 （2）L的方程式为y=x+c,其中c1b

(，)A，B 两点坐标满足方程组设A(x1，y1),Bx1y1,则

x+c

y=y2x221b222cx12b

0. 化简得(1b)x22c12b2则x1x2,x1x2.

221b1b因为直线AB的斜率为1，所以 即

x2x1

42x2x1 .

384(1b2)4(12b2)8b42则(x1x2)4x1x2

22229(1b)1b1b解得

b2.

2（21）解：

（Ⅰ）a112xxxx时，f(x)x(e1)x，f\'(x)e1xex(e1)(x1)。当x,122时f\'(x);当x1,0时，f\'(x)0;当x0,时，f\'(x)0。故f(x)在,1，0,单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）f(x)x(x1ax)。令g(x)x1ax，则g\'(x)ea。若a1，则当x0,aax时，g\'(x)，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

第 17 页共 41 页若a，则当x0,lna时，g\'(x)，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x0,lna时g(x)＜0，即f(x)＜0.

综合得a的取值范围为,1

,

ACBD（22）解: （Ⅰ）因为所以BCDABC.

又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC

所以ACEBCD. ……5分

（Ⅱ）因为ECBCDB,EBCBCD,

所以BDCECB,故即

BCBE

2BCCD.

BEBC ……10分

D2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=MN，则P的子集共有

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

2．复数

5i

12iA．2i

C．

2i

B．12i

D．12i

3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是

A．yx

23B．y|x|1

|x|C．yx1 D．y2

x2y21的离心率为 4．椭圆168 A．1

3B．1

2 C．D．5．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

A．120 B． 720

第 18 页共 41 页 C． 1440 D． 5040

6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

7．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2=

A．

1

32C．

3A．1

23D．

4B．

5B．3

5C．

5D．4

8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧

视图可以为

9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为

A．18 B．24

x C． 36 D． 48

10．在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为

A．(,0)

14B．(0,)

14C．(,)

1142D．(,)

132411．设函数f(x)sin(2x

A．yf(x)在(0,B．yf(x)在(0,C．yf(x)在(0,D．yf(x)在(0,)cos(2x)，则

442)单调递增，其图象关于直线x)单调递增，其图象关于直线x)单调递减，其图象关于直线x)单调递减，其图象关于直线x4对称

对称

222242212．已知函数yf(x)的周期为2，当x[1,1]时f(x)x，那么函数yf(x)的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有

第 19 页共 41 页 A．10个 B．9个 C．8个 D．1个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．

14．若变量x，y满足约束条件32xy9，则zx2y的最小值是_________．

6xy915．ABC中，B120,AC7,AB5，则ABC的面积为_________．

16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

11，公比q．

331an（I）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn

2已知等比数列{an}中，a1（II）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列{bn}的通项公式．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD．

（I）证明：PABD；

（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

19．（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]

8 20 42 22 8

频数

B配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]

4 12 42 32 10

频数

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

2,t94y2,94t102

4,t102 第 20 页共 41 页估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线yx6x1与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB,求a的值．

221．（本小题满分12分）

已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30．

x1xlnx．

x1（I）求a，b的值；

（II）证明：当x>0，且x1时，f(x) 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根．

（I）证明：C，B，D，E四点共圆；

（II）若A90，且m4,n6,求C，B，D，E所在圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2cos(为参数）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，M为C1上的动点，Py22sin点满足OP2OM，点P的轨迹为曲线C2．

（I）求C2的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)|xa|3x，其中a0．

3与C1的异于极点的交点为第 21 页共 41 页

（I）当a=1时，求不等式f(x)3x2的解集．

（II）若不等式f(x)0的解集为｛x|x1}，求a的值．

2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试卷参考答案

一、选择题

（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A

（7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A

二、填空题

（13）1 （14）-6 （15）三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）因为an1531 （16）

4311n11()n.

333111(1n)1n33,

Sn312131an,

2所以Sn（Ⅱ）bnlog3a1log3a2log3an

(12n)

n(n1)

2n(n1).

2所以{bn}的通项公式为bn(18)解：

（Ⅰ）因为DAB60,AB2AD，由余弦定理得BD3AD

从而BD2+AD2= AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

第 22 页共 41 页所以BD平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。

故BC平面PBD，BCDE。

则DE平面PBC。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，

根据BE·PB=PD·BD，得DE=3，

2即棱锥D—PBC的高为（19）解

2（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为产品的优质品率的估计值为0.42

228=0.3，所以用A配方生产的10032100.42，所以用B配方生产的100（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.

用B配方生产的产品平均一件的利润为

1(4(2)542424)2.68（元）

100(20）解：

（Ⅰ）曲线yx6x1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（322,0),(322,0).

故可设C的圆心为（3，t），则有3(t1)(22)t,解得t=1.

22则圆C的半径为3(t1)3.

22222所以圆C的方程为(x3)(y1)9.

（Ⅱ）设A（x1,y1），B（x2,y2），其坐标满足方程组：

22 第 23 页共 41 页 xya0,

22(x3)(y1)9.消去y，得到方程

2x2(2a8)xa22a10.

由已知可得，判别式5616a4a0.

2因此，x1,2(82a)5616a4a24,从而

x1x24a,x1x2a202a12 ①

由于OA⊥OB，可得x1x2y1y20,

又y1x1a,y2x2a,所以

2x1x2a(x1x2)a20. ②

由①，②得a1，满足0,故a1.

（21）解：

( （Ⅰ）f\'(x)x1lnx)bx

(x1)2x2

f(1)1,1由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故1即

2f\'(1),2b1,a1

b,22 解得a1，b1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)lnx1，所以

x1x

x21lnx1f(x)(2lnx)

2x11xx考虑函数h(x)2lnxx21x(x0)，则

第 24 页共 41 页 2222x(x1)(x1)2h(x)

xx2x2所以当x1时，h(x)0,而h(1)0,故

当x(0,1)时，h(x)0,可得1h(x)0;

21x1h(x)0;

21x当x(1,)时，h(x)0,可得从而当x0,且x1,f(x)（22）解：

lnxlnx0,即f(x).

x1x1（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即ADAE.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

ACAB 因此∠ADE=∠ACB

所以C，B，D，E四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.

故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF=

故C，B，D，E四点所在圆的半径为52

（23）解：

（I）设P(x，y)，则由条件知M(1(12-2)=5.

2XY,).由于M点在C1上，所以

22sx4co

y44sin

x2cos,2 即

y22sin2从而C2的参数方程为

第 25 页共 41 页

x4cos（为参数）

y44sin（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin。

射线

3与C1的交点A的极径为14sin与C2的交点B的极径为28sin3，

。

射线33所以|AB||21|23.

（24）解：

（Ⅰ）当a1时，f(x)3x2可化为

|x1|2。

由此可得

x3或x1。

故不等式f(x)3x2的解集为

{x|x3或x1}。

(Ⅱ) 由f(x)0 得

xa3x0

此不等式化为不等式组

xaxa 或

xa3x0ax3x0

xaxaaa即

x 或a

42因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得

a2

1，故a2

第 26 页共 41 页绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）

文科数学

新课标(宁、吉、黑、晋、豫、新)试卷

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效²

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1

（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=

－3+i（2）复数z＝的共轭复数是

2+i（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i

3、在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若1所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为

21（A）－1 （B）0 （C）（D）1

2x2y23a（4）设F1、F2是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F1PF2是底角为ab230°的等腰三角形，则E的离心率为（）

1234（A）（B）（C）（D）

23455、已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是

（A）(1－3，2) （B）(0，2) （C）(3－1，2) （D）(0，1+3)

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN，输出A,B，则

（A）A+B为a1,a2,…,aN的和

A＋B（B）为a1,a2,…,aN的算术平均数

2（C）A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数

（D）A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数

第 27 页共 41 页开始

输入N，a1,a2,…,aN

k=1,A=a1,B=a1

x =ak

k=k+1

x＞A

否

是

B=x

否

是

A=x

k≥N

是

输出A，B

否

结束

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6

（B）9

（C）12

（D）18

第 28 页共 41 页

(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为

（A）6π （B）43π （C）46π （D）63π

π5π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=

44πππ3π（A）（B）（C）（D）

4324（10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=43，则C的实轴长为

（A）2 （B）22 （C）4 （D）8

1(11)当0

2（A）(0，22) （B）(，1) （C）(1，2) （D）(2，2)

22（12）数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为

（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________

(14)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______

(15)已知向量a,b夹角为45°，且|a|=1，|2a－b|=10，则|b|=

(x+1)2+sinx(16)设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____

x2+1

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = 3asinC－ccosA

(1) 求A

(2) 若a=2，△ABC的面积为3，求b,c

第 29 页共 41 页

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n

频数

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

（19）（本小题满分12分）

1如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

2(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

（20）（本小题满分12分）

设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。

（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。

第 30 页共 41 页

（21）（本小题满分12分）

设函数f(x)= ex－ax－2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

AGEDFBC

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

x＝2cosφ已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立y＝3sinφ

极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针第 31 页共 41 页 π次序排列，点A的极坐标为(2，)

3(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA|

2+ |PB|2

+ |PC|

2+ |PD|2的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

参考答案

第 32 页共 41 页

第 33 页共 41 页第 34 页共 41 页启封并使用完毕前

2013年普通高等学校招生全国统一考试

第 35 页共 41 页

绝密★ 文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( )

（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}

（2） = ( )

（A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i

（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是

（）

（A）（B）

（C）（D）

（4）已知双曲线C：

= 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为

（）

（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x

，则下列命题（5）已知命题p：中为真命题的是：

（A） p∧q

（）

（B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q

（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则

（）

（A）Sn =2an-1 （B）Sn =3an-2 （C）Sn =4-3an （D）Sn =3-2an

第 36 页共 41 页（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]

（B）[-5,2]

（C）[-4,3]

（D）[-2,5]

（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4面积为

（A）2 （B）2 （C）2 （D）4

x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4

，则△POF的（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为

（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=

（A）10 （B）9 （C）8 （D）5

第 37 页共 41 页

（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为

（A）18+8π （B）8+8π

（C）16+16π （D）8+16π

（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是

（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

（13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b，若b²c=0，则t=_____.

(14)设x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______.

（15）已知H是求O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB⊥平面a，H为垂足，a截球o所得截面的面积为π，则求o的表面积为_______.

(16)设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=______.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

第 38 页共 41 页已知等差数列｛an｝的前n项和Sn满足S3=0，S5=-5.

（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）求数列

的前n项和

18（本小题满分共12分）

为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5

2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=600.

（Ⅰ）证明AB⊥A1C;

（Ⅱ）若AB=CB=2,的体积

A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1

（20）（本小题满分共12分）

已知函数f（x）=e（ax+b）-x-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为

x2 第 39 页共 41 页 y=4x+4

（Ⅰ）求a，b的值

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值

(21)(本小题满分12分)

已知圆M：（x+1）2+y2=1,圆N：（x+1）2+y2=9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.

（Ⅰ）求C得方程；

（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长是，求|AB|.

（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=

（A）10 （B）9 （C）8 （D）5

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

第 40 页共 41 页

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=

，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x=4+5cost，y=5+5sint，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣2x-1∣+∣2x+a∣,g(x)=x+3.

（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x) ＜g(x)的解集；

（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[-, )时，f(x) ≤g(x),求a的取值范围.

第 41 页共 41 页

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