人教版高中数学知识点汇总

2023年12月31日发(作者：对口数学试卷山西)

人教版高中数学知识点汇总

本章主要介绍高中数学必修1中的集合与函数概念。集合是研究对象的总体，由元素组成。集合的三个要素是确定性、互异性和无序性。如果两个集合的元素相同，那么它们就相等。常见的集合有正整数集合、整数集合、有理数集合和实数集合。集合的表示方法有列举法和描述法。

集合间的基本关系包括子集和真子集。如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。如果集合A是集合B的子集，但存在元素x在集合B中而不在集合A中，则称集合A是集合B的真子集。空集是不含任何元素的集合，是任何集合的子集。如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子集。

集合间的基本运算包括交集和并集。由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集。由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合称为集合A与B的交集。全集和补集是集合间的特殊运算。全集是包含所有元

素的集合，而补集是由全集中不属于集合A的元素组成的集合。

函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。函数可以用图像、表格或公式来表示。函数的定义域是指输入的集合，值域是指输出的集合。函数的性质包括单射、满射和双射。如果函数的每个输出值都有唯一的输入值对应，则称该函数是单射函数；如果函数的每个输入值都有至少一个输出值对应，则称该函数是满射函数；如果函数既是单射函数又是满射函数，则称该函数是双射函数。

A和B是非空的数集。如果存在一个确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数，记作f(x)=y，其中x∈A，y=f(x)∈B。

一个函数的构成要素包括定义域、对应关系和值域。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等。

函数可以通过解析法、图象法和列表法来表示。

单调性的定义见书P28.一般的，证明函数单调性的格式为：设x1和x2∈[a,b]，且x1

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(−x)=f(x)，那么就称函数f(x)为偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(−x)=−f(x)，那么就称函数f(x)为奇函数。奇函数的图象关于原点对称。

指数的n次方根定义为x=a^(1/n)，其中n>1，n∈N+。

当n为奇数时，a^n=a；当n为偶数时，a^n=a.a^n/2.

规定：a^n*m=a^(n*m)（a>0，m,n∈N*，m>1）；a^(-n)=1/a^n（n>0）；a^0=1.

指数函数的图象为y=a^(x)（a>0，a≠1），其性质包括：

对数的定义为a=N⟺log_a(N)=x；alog_a(N)=a；log_a(1)=0；log_a(a)=1.

当a>0，a≠1，M>0，N>0时，有以下运算性质：

log_a(MN)=log_a(M)+log_a(N)；log_a(M/N)=log_a(M)−log_a(N)；log_a(M^n)=nlog_a(M)。

换底公式：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。

1.棱柱是一种多面体，其中有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。棱柱由这些面所围成。

2.棱台是一种多面体，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分就是棱台。

3.空间几何体的投影分为中心投影和平行投影。中心投影是光由一点向外散射形成的投影，投影线交于一点；平行投影是在一束平行光线照射下的投影，投影线是平行的。

4.空间几何体的表面积和体积有不同的公式，如圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式。

5.点、直线、平面之间的位置关系有多种，包括公理和定理，如公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空

间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

6.线线位置关系包括平行、相交、异面；线面位置关系包括直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交；面面位置关系包括平行、相交。

7.线面平行的判定和性质：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

8.面面平行的判定和性质：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

9.线面垂直的定义、判定和性质：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；垂直于同一个平面的两条直线平行。

10.面面垂直的定义、判定和性质：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

⑶ 性质：如果两个平面互相垂直，则这两个平面内垂直于它们的交线的直线互相垂直。

第三章：直线与方程

1、倾斜角与斜率：斜率k=tanα。

2、直线方程：

⑴点斜式：y-y1=k(x-x1)。

⑵斜截式：y=kx+b。

⑶两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。

⑷一般式：Ax+By+C=0.

3、对于直线

⑴l1//l2：当且仅当k1=k2.

⑵l1和l2相交：当且仅当k1≠k2.

⑶l1和l2重合：当且仅当k1=k2且b1=b2.

⑷l1⊥l2：当且仅当k1k2=-1.

4、对于直线

⑴l1//l2：当且仅当A1B2=A2B1.

⑵l1和l2相交：当且仅当A1B2≠A2B1.

⑶l1和l2重合：当且仅当A1B2=A2B1且B1C2=B2C1.

⑷l1⊥l2：当且仅当A1A2+B1B2=0.

5、两点间距离公式：P1P2=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

第四章：圆与方程

1、圆的方程：

⑴标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

⑵一般方程：Ax+By+Dx+Ey+F=0.

2、两圆位置关系：设圆心分别为O1和O2，半径分别为R和r，它们之间的距离为d，则有以下五种情况：

⑴外离：d>R+r。

⑵外切：d=R+r。

⑶相交：R-r

⑷内切：d=R-r。

⑸内含：d

3、空间中两点间距离公式：P1P2=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

第一章：算法

1、算法的三种语言：自然语言、流程图、程序语言。

2、算法的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构。

3、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法。

4、循环结构中常见的两种结构：for循环和while循环。

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本文介绍了算法、统计和概率三个方面的基本知识。

在算法方面，介绍了赋值语句、输入输出语句、条件语句和循环语句等基本语句，以及辗转相除法的算法案例。

在统计方面，介绍了抽样方法、总体分布的估计和总体特征数的估计等内容。其中，频率分布表、频率分布直方图和频率分布折线图可以直观地展示总体分布，而茎叶图则适用于数据较少的情况。

在概率方面，介绍了随机事件及其概率的概念，以及古典概型的基本原理。

需要注意的是，在计算平均数和方差时，要注意频率分布表计算平均数要取组中值。同时，线性回归方程的制作需要先判断变量之间的相关关系，并使用最小二乘法计算出直线方程。

总的来说，本文介绍了一些基本的算法、统计和概率知识，对于提升个人能力和知识储备有一定的帮助。

1.1.1 任意角

在本节中，我们研究了正角、负角、零角和象限角的概念。此外，我们还研究了与角α终边相同的角的集合，即{β=α+2kπ，k∈Z}。

1.1.2 弧度制

在本节中，我们研究了弧度制的概念。我们定义了1弧度角，并研究了弧度制下的角度计算公式。此外，我们还研究了弧长公式和扇形面积公式。

1.2.1 任意角的三角函数

在本节中，我们研究了任意角的三角函数。我们定义了sinα、cosα和tanα，并研究了它们在四个象限的符号和三角函数线的画法。我们还研究了诱导公式一，即sin(α+2kπ)=sinα和cos(α+2kπ)=cosα（其中k∈Z）。

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度。这四种向量都是带有大小和方向的量，被称为向量。

2、向量是带有大小和方向的量。带有方向的线段称为有向线段，包含三个要素：起点、方向、长度。向量AB的大小也就是向量AB的长度（或称模），记作AB。长度为零的向量叫做零向量，长度等于1个单位的向量叫做单位向量。方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量），规定零向量与任意向量平行。

3、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

4、向量加法运算有两种几何意义：三角形法则和平行四边形法则。向量减法运算是将一个向量加上它的相反向量。向量数乘运算是实数与向量的积，记作λa。平面向量共线定理是向量aa≠与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa。

5、平面向量基本定理是如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.平面向量的正交分解及坐标表示是a=xi+yj=（x，y）。平面向量的坐标运算包括加法、减法和数乘。平面向量共线的坐标表示是设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则线段AB中点坐标为…（此处省略具体公式）。

第二章：平面向量

2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义：

1、向量a和b的数量积为它们的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。

2、向量a在向量b方向上的投影长度为a的模长乘以它们的夹角的余弦值。

3、向量a的模长等于它的横纵坐标的平方和的平方根。

4、向量a的模长的平方等于它的横纵坐标分别平方和的和。

5、向量a和向量b垂直的充分必要条件是它们的数量积为0.

2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角：

1、设向量a和向量b的坐标分别为(x1.y1)和(x2.y2)，则它们的数量积为x1x2 + y1y2.

2、设点A的坐标为(x1.y1)，点B的坐标为(x2.y2)，则AB的长度为√[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

3、向量a和向量b垂直的充分必要条件是它们的坐标分别乘积之和为0.

2.5.1、平面几何中的向量方法：

向量方法可以简化几何问题的解决过程，例如向量的加减法可以用来求线段中点、平行四边形的对角线等。

2.5.2、向量在物理中的应用举例：

向量在物理中有着广泛的应用，例如力的合成、速度的合成、加速度的求解等。

第三章、三角恒等变换

3.1.1、两角差的余弦公式：

1、两角差的余弦等于两角的余弦的乘积减去两角的正弦的乘积。

2、15度的正弦、余弦、正切值需要记住。

3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

1、两角和的余弦等于两角的余弦的乘积减去两角的正弦的乘积。

2、两角差的正弦等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦减去第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。

3、两角和的正弦等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。

4、两角和的正切等于第一个角的正切加上第二个角的正切除以它们的余切之积。

5、两角差的正切等于第一个角的正切减去第二个角的正切除以它们的余切之积。

3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式：

1、二倍角的正弦等于两倍角的正弦乘以两倍角的余弦。

2、二倍角的余弦等于两倍角的余弦的平方减去一。

3、二倍角的正切等于两倍角的正弦除以两倍角的余弦。

4、需要注意正切化弦、平方降次的方法。

第一章：解三角形

1、正弦定理可以用来求解三角形的边长和角度。其中abc为三角形三边的长度，R为三角形外接圆的半径。