2023年12月11日发(作者：小学数学试卷错题原因分析)
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）
数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A x 1≤x≤3，
B x 2＜x＜4，则 1.设集合
A∪B
（ ）
C.{x 1≤x 4A.{x 2＜x≤32 i
2. =1 2i
A.1
D.{x 1＜x＜4B.{x 2≤x≤3（ ）
1
B.
i
C.
i
D.
（ ）
D.30 种
3.6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有
A.120 种 B.90 种 C.60 种
4.
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时
间．把地球看成一个球（球心记为
O
），地球上一点
A
的纬度是指
OA
与地球赤道所在平面所成角，点
A
处的水平面是指过点
A
且与
OA
垂直的平面．在点
A
处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点
A
处的纬度为北纬
40
，则晷针与点
A
处的水平面所成角为
（ ）
A.
20
B.
40
C.
50
D.
905.
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，
82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
（
A.62% B.56%
）
D.42% C.46%
6.
基本再生数
R0
与世代间隔T
是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染
的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用 指数模型：
I(t) e描述累计感染病例数
I
rt
t随时间t
（单位：天）的变化规律，指数增长
率r
与
R0
，
T
近似满足
R0
1 rT
.有学者基于已有数据估计出
R0
3.28
，
T 6
.据此，在 新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（
ln 2≈0.69
）
（
A.1.2 天
）
C.2.5 天 D.3.5 天
）
B.1.8 天
7.
已知
P
是边长为 2 的正六边形
ABCDEF
内的一点，则
AP AB
的取值范围 （
(2,6)
A.
8.
若定义在R
的奇函数
f
(6,2)
B.
(2,4)
C.
(4,6)
D.
x
在(, 0)
单调递减，且
f
2
0，则满足
xf ( x 1)≥0
的
x
的取（
[0,1]
B.[3, 1] U
值范围是
A.[ 1,1] U [3, )
C.[ 1, 0] U [1, )
）
D.[1, 0] U [1, 3]
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9.
已知曲线C : m x
2
ny
2
1
A.
若
m＞n＞0
，则
C
是椭圆，其焦点在
y轴上
（ ）
C
是圆，其半径为
n
B.
若m=n＞0，则
C.
若mn＜0，则
C
是双曲线，其渐近线方程为
y
D.
若
m 0
，
n＞0，则
C
是两条直线
m
x
n
y sin10.
下图是函数
x x的部分图像，则sin
（ ）
πA.
sin(x ）
3
πC.
cos(2x ）
6
11.已知
a＞0，
b＞0，且
a b 1，则
1A.
a2
b2≥
2
C.
log
2
a log
2
b≥ 2
n
π
B.
sin( 2 x)
3
5π
D.
cos( 2x)
6
1B.
2ab＞
2
D.
a b ≤ 2
, n),
pi
1
，定义
X
的信息熵
H ( X )
pi
log
2
pi
i 1 i 1
n
（ ）
12.
信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量
X
所有可能的取值为 1，2，L，
L
n
，且
P( X i) pi＞0(i 1, 2,
A.
若n 1，则
H（ ）
X
0
随着
p
的增大而增大
B.
若
n 2
，则
H
X
1
(i 1, 2,, n)
，则
H
X
随着n
的增大而增大
C.
若
p1
i
n D.
若
n 2m
， 随 机 变 量
Y
所 有 可 能 的 取 值 为
1, 2,, m
， 且
P(Y j) pj
p2m1 j
( j 1,2,,m)，则
HX
≤HY三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.斜率为
3
的直线过抛物线C
：y2
4x的焦点，C
交于
A
，B
两点，且与 则
AB ．
14.
将数列
2n1与
3n2的公共项从小到大排列得到数列an， 则
an的前
n
项和为
．
15.
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O
为圆孔及轮廓圆弧
AB
所在圆的圆心，
A
是圆弧
AB
与直线
AG
的切点，
B
是圆弧
AB
与直线
BC
的切点，四边形
3
DEFG
为矩形，BC⊥DG
，垂足为C
，tanODC
，BH∥DG，EF 12 cm
，DE 2 cm，
5
A
到直线
DE
和
EF
的距离均为
7 cm
，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为
cm
2
．
16.
已知直四棱柱
ABCD – A B C D
的棱长均为 2，
BAD 60
．以
D
为球心，
5
为半径的球
1 1 1 1 1
面与侧面
BCC1
B1
的交线长为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
c sin A 3
，③
17.
在①
ac 3
，②
c 3b
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求c
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC
，它的内角
A
，B
，C
的对边分别为a
，b，c
，且sin A =
3 sin B
，
C
，
6
？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18.
已知公比大于 1 的等比数列{an
}
满足
a2
a4
20
，
a3
8
．
（1）
求{an
}
的通项公式；
（2）
记bm
为{an
}
在区间(0, m](m N*
)
中的项的个数，求数列{bm
}
的前 100 项和
S
1 0 0
．
19.
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100
天空气中的PM2.5
和SO
浓度（单位： ，得下表：
μg/m
3
）2
SO
2
[0,50]
(50,150]
(150, 475]
PM2.5
[0,35]
(35, 75]
(75,115]
32
18
4
12
6
8
7 3 10
（1）
估计事件“该市一天空气中PM2.5
浓度不超过 75，且SO
2
浓度不超过 150”的概率；
（2）
根据所给数据，完成下面的22列联表：
SO
2
[0,150]
(150, 475]
PM2.5
[0, 75]
(75,115]
（3）
根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中
PM2.5
浓度与SO
2
浓度有关？
附：
K
2n(ad bc)2
(a b)(c d)(a c)(b d)
P ( K ≥ k )
2
，
0.050
0.010
0.001
10.828
k
3.841 6.635 20.
如图，四棱锥
P ABCD的底面为正方形，PD⊥底面
ABCD
．设平面
PAD
与平面
PBC
的交线为l
．
（1）
证明：
l⊥平面
PDC
；
（2）
已知
PD AD1，
Q
为l
上的点，求
PB
与平面QCD
所成角的正弦值的最大值．
21.
已知函数
f ( x ) a e
x 1
ln x ln a
．
（1）
当
a e
时，求曲线
y f
（2）
若
f
x在点1, f
1
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
x≥1，求a
的取值范围．
2 2
22.
已知椭圆
C
：
x
y
2
的离心率为，且过点
A1(a＞b＞0)
2,1．
a
2
b2
2
（1）
求
C
的方程：
（2）
点
M
，
N
在
C
上，且
AM⊥AN
，
AD⊥MN
，
D
为垂足．证明：存在定点
Q
，使得
DQ
为定值． 2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I卷（山东）
数学答案解析
一、选择题
【答案】C
.1【解析】
A U B [1,3] U (2, 4) [1, 4)
，故选 C．
【考点】集合并集
【考查能力】基本分析求解
【答案】D
.22 i
2 i
1 2i
5i
【解析】
i
，故选 D．
1 2i
1 2i
1 2i
5
【考点】复数除法
【考查能力】分析求解
【答案】C
.31
【解析】首先从 6 名同学中选 1 名去甲场馆，方法数有C6
；然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙2
场馆， 方法数有
C
5
； 最后剩下的 3 名同学去丙场馆． 故不同的安排方法共有 2
C1C510 60
种．故选：C．
6
6
【考点】分步计数原理和组合数的计算
【考查能力】运算求解
【答案】B
.4【解析】画出截面图如下图所示，其中CD
是赤道所在平面的截线；l
是点
A
处的水平面的截线，
依题意可知OA⊥l
；
AB
是晷针所在直线． m 是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知
m//CD
、根据线面垂直的定义可得
AB⊥m
． 由于
AOC 40
，
m//CD
， 所 以
OAG AOC 40
， 由 于
OAG GAE BAE GAE 90
，所以BAE OAG 40
，也即晷针与点
A
处的水平面所成角为BAE 40
，故选B．
【考点】中国古代数学文化，球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质
【答案】C
.5【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件
A
，“该中学学生喜欢游泳”为事件
B
，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件
A B
，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件
A B
， 则
P( A) 0.6
，
P(B) 0.82
，
P
A B
0.96
， 所 以
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
0.6 0.82 0.96 0.46
，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
46%
．故选 C．
【考点】事件的概率公式
【答案】B
.6【解析】因为
R 3.28
，
T 6
，
R 1 rT
，所以
r
0 0
3.28 1
6设在新冠肺炎疫情初始阶段， 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为
t1
天， 则
ln 2 0.69
1.8
天．故选：
0.38(t t ) 0.38t 0.38t
2
，所以0.38t ln 2
，所以t
e 2e，所以e1 1
1
1
0.38 0.38
B．
【考点】指数型函数模型的应用
【考查能力】运算求解
【答案】A
.7
0.38
，所以
I
t
ert
e
0.38t
，
【解析】
AB
的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到
AP
在
AB
方向上的投影的取值范围是(1,3)
，
结合向量数量积的定义式，可知
AP AB
等于
AB
的模与
AP
在
AB
方向上的投影的乘积，
所以
AP AB
的取值范围是(2,6)
，故选：A．
【考点】有关平面向量数量积的取值范围
【考查能力】运算求解
【答案】D
.8【解析】因为定义在
R
上的奇函数
f (x)
在(,0)
上单调递减，且
f (2) 0
，所以
f (x)
在(0, )
上也是单调递减，且
f (2) 0
，
f (0) 0
，所以当
x (, 2) (0, 2)
时，
f (x)＞0
，当x (2, 0) (2, )
时，
f (x)＜0
，
x＜0x＞0
所以由
xf (x 1)≥0
可得：
或
或
x 0
，解得
2≤x 1≤0或x 1≥2
0≤x 1≤2或x 1≤ 2
1≤x≤0
或1≤x≤3
，所以满足
xf (x 1)≥0
的 x 取值范围是[1,0] [1,3]，故选：D．
【考点】函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式
【考查能力】分类讨论思想方法
二、选择题
【答案】ACD
.9x2
y2
1 1
2 1可化为
1，因为
m＞n＞0
，所以
＜，
1
【解析】对于 A，若
m＞n＞0
，则
mx
ny
1
m n
m n
即曲线C
表示焦点在
y
轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B，若
m n＞0
，则
mx2 ny2 1可化为
1
x2
y2
，
n
n
此时曲线C
表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；对于 C，若
mn＜0
，则
mx2 ny2 1
n
2
x2
ym
可化为
1
1，此时曲线C
表示双曲线，由
mx
2
ny2
0
可得
y x
，故 C 正
1
n
m n
确；
2 n
1
，此时曲线C
表示平行于
对于 D，若
m 0
，
n＞0
，则
mx2 ny2 1可化为
y2
，
y n
n
x 轴的两条直线，故 D 正确；故选 ACD．
【考点】曲线方程的特征
【考查能力】运算求解
.01【答案】BC
T 2
2
2
， 则
2
， 所以不选 A ， 当
【 解析】 由函数图像可知：
2 3 6 2 T
2
5
3
6
5
时 ，
2 2kk Z
， 解 得 ：
x
3
y 1
， ∴
2 12
12 2
2 2k
k Z
，
3
2
cos2x sin 2x
．
即函数的解析式为：
y sin2x
2k sin2x
3
3 6
6 2
5
而cos
2x
cos
2x
，故选：BC．
6
6
【考点】诱导公式变换
【考查能力】运算求解
.1【答案】ABD
211
11
2
2a 2a 1 2a ≥
，当且仅当
a b
22 2 2
a b a
1 a
【解析】对于A，
2
2
2 2
1
时，等号成立，故A正确；对于B，
a b 2a 1＞ 1
，所以2ab＞21
，故B正确；对
2
21
1
a b
于C，
log2
a log2
b log2
ab≤log2
a b
时，等号
log2
4
2
，当且仅当
2 2
成立，故C不正确；
1
2
对于D，因为a
b 1 2
ab≤1 a b 2
，所以
a
b≤
2
，当且仅当
a b 时，
2
等号成立，故D正确；故选：ABD．
【考点】不等式的性质
【考查能力】运算求解
.21【答案】AC
【解析】对于A选项，若
n 1
，则i 1, p1
1，所以
H
X
1 log2
1
0
，所以A选项正
H
X
log2
1 p1
确．
对于B选项，若
n 2
，则i 1, 2
，p2
1 p1
，所以
p1
log2
p1
1 p1
，
1 3
3
1
1 3
3
3 1
当
p
时，H
X
log
2
log
，当p
时，H
X
log
2
log
1
1
4 4
2
1
4 4 4
2
，4 44 44
1
i 1, 2,, n
，则
两者相等，所以B选项错误．对于C选项，若
pi
n
1
1
1
H
X
log
n
n log
2
log
2
n
，则
H
X
随着
n
的增大而增大，所以C选项正确．
n
2
n
对于D选项，若
n 2m
，随机变量Y
的所有可能的取值为1, 2,, m
，且
P
Y j
p
j
p2m1 j
, m
）．
2m
2m
H
X
log
p p log
1
p
i 2
p
i 2 i
i1
i1
i
（
j 1, 2,1
p log p
1 2
p1
11
p p
log
H
Y
p p
log
2
L
p p
log
2 2m1 2 m1 2
1 2m
p p
m
p p
2m1
p p
m1 1 2m 2 m
1 1 1 1
p log p log p log p log
由
1 2 2 2
2m1 2
p p p p
2m 2
p p2m1
p
1
p2m 1 2m 2 2m1 2
1 1 1 1
于
p ＞0i 1, 2,, 2m
， 所以
＞
， 所以
log ＞log
， 所以
i
2 2
p p p p p p
i i 2m1i i i 2m1i
1
1
，所以
H
X
＞H
Y
，所以D选项错误．故选：AC．
p log ＞p log
2
i 2 i
p p
p
i i 2m1i
1
log 2 2
p2
p
2m1
log
1
p
2m1
p log
2m 2
1
1
．
2
p2m
【考点】新定义“信息熵”的理解和运用
【考查能力】分析、思考和解决问题
三、填空题
16 .31【答案】
3
【解析】∵抛物线的方程为
y2 4x
，∴抛物线的焦点F坐标为
F(1,0)
，
又∵直线
AB
过焦点F且斜率为
3
，∴直线
AB
的方程为：
y 3(x 1)
代入抛物线方程消去y并化简得3x10x 3 0
，
1 1 16x
3
，所以| AB |1 3 | 3 |
2| x x |解法一：解得
x
,
1 k
1 2 1
3
2
3 3
解法二：
100 36 64＞0
，设
A(x , y ), B(x , y )
，则
x x
10
，
1 2
1 1 2 2
3
过
A, B
分别作准线
x 1
的垂线，设垂足分别为C, D
如图所示．
16| AB || AF | | BF || AC | | BD | x 1 x 1 x x +2=
1 2
1 2
3
2
16故答案为：
3
【考点】抛物线焦点弦长
【考查能力】运算求解
2
.41【答案】3n 2n
【解析】因为数列2n 1是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列3n 2
是以 1 首项，
以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列an
是以 1 为首项，以
n(n 1)
6 为公差的等差数列，所以a
的前 n 项和为
n 1 6 3n2
2n
，
n
22
故答案为：
3n 2n
．
【考点】等比数列的通项公式和前 n 项和公式 【考查能力】运算求解
5 .51【答案】
4
2
【解析】设OB OA r
，由题意
AM AN 7
，
EF 12
，所以
NF 5
，
因为
AP 5
，所以AGP 45，因为
BH / / DG
，所以AHO 45，
因为
AG
与圆弧
AB
相切于
A
点，所以OA⊥AG
，即△OAH
为等腰直角三角形；
2 2
r
，
DQ 7 r
，
在直角△OQD
中，
OQ 5 2 2
OQ 3 3 2 5 2
因为tan ODC
，所以
21 r 25 r
，解得
r 2
2
；
DQ 5 2 2
1
等 腰 直 角
△OAH
的 面 积 为
S 2 2 2 4
； 扇 形
AOB
的 面 积
2
1
2
2
1 3S 2 2 3，
2
2 4
15
5
所以阴影部分的面积为
S S
4
．故答案为：
4
．
1 2
2 2 2
【考点】三角函数在实际中应用
【考查能力】运算求解
2
.61【答案】
2
【解析】如图：
取
B1C1
的中点为
E
，
BB1
的中点为
F
，
CC1
的中点为G
，
因为BAD 60
，直四棱柱
ABCD A1B1C1D1
的棱长均为 2，所以△D1B1C1
为等边三角形，所
以
D1E 3
，
D1E⊥B1C1
， 又四棱柱
ABCD A1B1C1D1
为直四棱柱， 所以
BB1
平面
A1B1C1D1
，所以
BB1
B1C1
，
因为
BB1
B1C1
B1
，所以
D1E
侧面
B1C1CB
， 设
P
为侧面
B1C1CB
与球面的交线上的点，则
D1E EP
，
2 2因为球的半径为
5
，
D1E
3
，所以| EP || D P | | D E |
5 3
2
，
1 1
所以侧面
B1C1CB
与球面的交线上的点到
E
的距离为
2
，
因为| EF || EG |
2
，所以侧面
B1 1 C
CB
与球面的交线是扇形
EFG
的弧
FG
，
因为B EF C EG
，所以FEG
，所以根据弧长公式可得
FG
1 1
4 2 2
2
故答案为：
．
2
【考点】直棱柱的结构特征，直线与平面垂直的判定
【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解
2
2
2
．
四、解答题
.71【答案】解法一：由sin A
=
2 2 2
a
3 sin B
可得：
3
，不妨设
a 3m,b m
m 0
，
b
2 2
则：
c a b 2ab cos C 3m m 2 3m m 3
2
m2
，即 c m ．
选择条件①的解析：据此可得：
ac 3m m 3m2
3
， m 1
，此时c m 1
．
b2
c2
a2
m2
m2
3m2
1
选择条件②的解析：据此可得：
cos A
，
2bc 2m
2
2
1
3
，此时：
c sin A m 3
则：
sin A 1
3
，则：
c m 2
3
．
2
2 2
c m
选择条件③的解析：可得
1
，
c b
，与条件c 3b
矛盾，则问题中的三角形不存在．
b m
解法二：∵
sinA 3sinB,C 2, B
A C
，
6
3 1
3
A C
3 sin
sin A C 3sin A 3cos A
，
∴
sinA 3 sin
A
，
sin A 6
2 2
2
∴
sin A 3cos A
，∴
tan A
3
，∴
A
，∴
B C
，
3 6
若选①，
ac
3
，∵
a 3b 3c
，∴
3c2 3
，∴
c 1
；
3c
若选②，
csin A 3
，则
3
，
c 2
3
;若选③，与条件c 3b
矛盾．
2
【考点】正弦定理、余弦定理、三角恒等变换
【考查能力】化归与转化，运算求解
【答案】（1）由于数列an
是公比大于 1 的等比数列，设首项为
a1
，公比为
q
，依题意有
.811
a q a q3 20
32, q
（舍），所以
a 2n
，所以数列a
11
21
2, q 2
，或
a
，解得
a
a q 8
1
n n
2
1
n的通项公式为
a
n
2
．
（2）由于
21
2, 22
4, 23
8, 24
16, 25
32, 26
64, 27
128
，所以b
1
对应的区间为：
0,1
，
则b1
0
；
b2
,b3
对应的区间分别为：
0, 2,0,3
，则b2
b3
1
，即有 2 个 1；
b ,b ,b ,b
对应的区间分别为：
0, 4,
0,5,
0, 6,
0, 7
，则b b b b
2
，即有
22
个 2；
b ,b ,8 9
4 5 6 7
,b
对应的区间分别为：
0,8,
0,9,15
31
,
0,15，则b b 8 9
16
4 5
b
17
6 7
b ,b ,,b
16 17
对应的区间分别为：0,16,
0,17,,
0,31，则b b b
31
15
3
，即有
23
个 3；
4
，即有
24
个
4； b ,b ,,b
32 33
对应的区间分别为：0,32,
0,33,63
,
0, 63
，则b b 32 33
b
63
5
，即有
25
个
5；
b64
,b65
,,b100
对应的区间分别为：0, 64,
0, 65,,
0,100
，则b64
b65
b100
6
，即有37
个 6．
所以
S 1 2 2 22
3 23
4 24
5 25
6 37 480
．
100
【考点】等比数列基本量的计算
【考查能力】分析思考与解决问题的能力
19．【答案】（1）0.64
（2）
答案见解析
（3）
有
【解析】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的
PM 2.5
浓度不超过 75，且SO2
浓度不超过 150 的天数有32 6 18 8 64
天，所以该市一天中，空气中的
PM 2.5
浓度不超过 75，
64且SO
浓度不超过 150 的概率为
0.64
；
2
100
（2）
由所给数据，可得
2 2
列联表为：
SO2
PM 2.5
0,15064
10
74
150, 47516
10
26
合计
80
20
100
0, 7575,115合计
（3）
根据
2 2
列联表中的数据可得
2
n(ad bc)2
100 (64 10 16 10)2
3600
7.4844＞6.635
，
K
(a b)(c d )(a c)(b d ) 80 20 74 26 481
因为根据临界值表可知，有99%
的把握认为该市一天空气中
PM 2.5
浓度与SO2
浓度有关．
【考点】古典概型的概率公式
【考查能力】逻辑推理，运算求解
.02【答案】（1）证明：
在正方形
ABCD
中，AD//BC
，因为
AD
平面
PBC
，BC
平面
PBC
，所以
AD//
平面
PBC
，
又因为
AD
平面
PAD
，平面
PAD I
平面
PBC l
，所以
AD//l
，
因为在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
是正方形，所以
AD DC,l DC,
且
PD
平面
ABCD
，所以
AD PD,l PD,
因为CD I PD D
，所以l
平面
PDC
；
（2）如图建立空间直角坐标系
D xyz
，
因为
PD AD 1
，则有
D(0,0,0),C(0,1,0), A(1,0,0), P(0,0,1), B(1,1,0)
， 设Q(m,0,1)
，则有
DC (0,1,0), DQ (m,0,1), PB (1,1, 1)
，
设平面QCD
的法向量为
n (x, y, z)
，
uuur r
DC n 0
y 0
则uuur r
，即，
mx z 0
DQ n 0
令
x 1
，则 z m ，所以平面QCD
的一个法向量为
n (1,0, m)
，则
r uur
r uur
n PB
cos＜n, PB＞=
r uur
1 0 m
n PB
3 m2
1
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所 以 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 等 于
r uur
|1 m |
2| cos n, PB |
3
1 2m m
3
m2
1
3 m2
1
3 6
12m
≤ 3
1
2 | m |
≤
3
11
，当且仅当
m 1
时取等号，所以直
2 2
3 m1 3 m1 3 3
6
线
PB
与平面QCD
所成角的正弦值的最大值为 ．
3
【考点】线面平行的判定和性质
【考查能力】推理论证，运算求解，抽象概括
x x
1
.12【答案】（1）
f (x) e ln x 1， f
(x) e
， k f
(1) e 1
．
x
Q
Q f (1) e 1
，∴切点坐标为1,1 e
，
∴函数
f
x
在点1, f
1处的切线方程为
y e 1 (e 1)(x 1)
，即
y
e 1
x 2
，
21
∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0, 2),(
, 0)
，∴所求三角形面积为
2|
2
|=
2
；
e 1 e 1
e 1 2
x1
（2）解法一：
Q
f (x) ae ln x ln a
，
1
1
f
(x) aex1
，且
a＞0
．设
g(x) f (x)
，则
g(x) aex1
＞0,
x2
x
∴
g
x
在(0, )
上单调递增，即
f (x)
在(0, )
上单调递增，
当
a 1
时，
f
(1) 0
，∴
f
x
f
1
1
，∴
f
x≥1成立．
min
1
1
1
1
1 1
aa
当
a＞1
时，
＜1，∴e
＜1， f
( ) f
(1) a(e1)(a 1)＜0
，
a
a
1
x1
∴存在唯一
x ＞0
，使得
f
(x ) ae0
0
，且当
x (0, x )
时
f
(x)＜0
，当
x (x , )
时
0
0
0
0
x
0
1
f
(x)＞0
， aex0
1
，ln a x
1 ln x
，因此
f (x)
f (x ) aex0
1
ln x
ln a
0 0
min 0 0
x0
1
1
x
0
2ln a 1＞1
，
ln a x0
1 ln a 2ln a 1 2
x
x
0
0
∴
f
x＞1,
∴
f
x≥1恒成立；
当0 a 1
时，
f (1) a ln a a 1,
∴
f (1) 1, f (x) 1
不是恒成， )
． 立． 综上所述，实数 a 的取值范围是[1解法二：
f
x
aex1 lnx lna elnax1 lnx lna≥1
等价于
elnax1 lna x 1≥lnx x elnx lnx
，
令
g
x
ex x
，上述不等式等价于
g
lna x 1≥g
lnx
， 显然
g
x
为单调增函数，∴又等价于lna x 1≥lnx
，即lna≥lnx x 1
，
1 1 x令
h
x
lnx x 1，则
h
x
1
x x
在0,1
上
h’
x＞0
，h
x
单调递增；在(1， )
上
h
x＜0
，h
x
单调递减，
∴
h
x
h
1
0
，
lna≥0，即a≥1，∴ a 的取值范围是[1， )
．
max
【考点】导数几何意义
【考查能力】综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想
c
3
a 2
2 2
4 1
2 2 2
xy22．【答案】（1）由题意可得：解得：a 6,b c 3
，故椭圆方程为：
1．
1
，2 2
b6 3
a2 2 2a b c
（2）设点
M
x1
, y1
, N
x2
, y2
．
x1 2x2 2
y1 1y2 1
0
，① 因为
AM⊥AN
，∴
AM ·AN 0
，即
当直线
MN
的斜率存在时，设方程为
y kx m
，如图 1．
代入椭圆方程消去
y
并整理得：
1 2k2 x2 4kmx 2m2 6 0
，
2m2 6
4km
x1
x2
, x1x2
②，根据
y1
kx1
m, y2
kx2
m
，代入①整理可得：
1 2k
2
1 2k
2
2
k 1x x
km k 2
x x
m 1 4 0
，
2m 6
km k 2
4km
m 1
将②代入，
k 11 2k
2k
1
22
1 2 1
2222
2
4 0
，
整理化简得2k 3m 12k m 1
0
，
∵
A2,1不在直线
MN
上，∴
2k m 1 0
，
∴
2k 3m 1 0，k 1
，
2 1
于是
MN
的方程为
y k
，
x 3 3
2 1
所以直线过定点直线过定点
E ,
．
3
3 当直线
MN
的斜率不存在时，可得
N
x1, y1
，如图 2．
2
代入
x 2x 2
y 1y 1
0
得
x 21 y2 0
，
1 2 1 2 1 2
2 2
x1
y1
1，解得
x1
2舍, x1
2
，
结合6 3 3
2 1
此时直线
MN
过点
E ,
，
3
3 由于
AE
为定值，且△ADE
为直角三角形，
AE
为斜边，
2
2
1
2
1
4 2
）．
所以
AE
中点Q
满足
QD
为定值（
AE
长度的一半
2
1
2
3
3
3
2 1
4 1
Q,
由于
A2,1, E
3
,
3
，故由中点坐标公式可得
3 3
．
4 1
故存在点Q,
，使得
DQ
为定值．
3 3
【考点】椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题
【考查能力】数形结合，化归与转化
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