高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

2023年12月10日发(作者：咸宁2022中考数学试卷)

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛试题（模拟）

一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。）。

A。-x+9x-12

B。x+9x-12

C。-x-9x+12

D。x-9x+12

2.有四个函数：

①y=sinx+cosx

②y=sinx-cosx

③y=sinxcosx

④y=（空缺）

其中在(x,y)上为单调增函数的是（。）。 A。①

B。②

C。①和③

D。②和④

3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141„，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。）。

A。

B。

C。1

D。4

4.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。）。

A。36π

B。32π

C。20π

D。16π

5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。）。

A。9

B。12

C。15

D。18

6.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。）。

A。80

7.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。）。

A。(-2-1,2)

B。(-2,2-1)

C。[,2-1)

D。(,2-1)

8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。）。

A。

B。

C。

D。

9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。）。

A。x

B。y

C。z

D。z

10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。）。

A。

B。 C。

D.

二、填空题

11.设P是椭圆$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$上异于长轴端点的任意一点，$F_1$、$F_2$分别是其左、右焦点，O为中心，则$|PF_1|cdot|PF_2|+|OP|^2=169$.

12.已知$triangle ABC$中，$AB=vec{a}$，$AC=vec{b}$，试用$vec{a}$、$vec{b}$的向量运算式子表示$triangle

ABC$的面积，即$S_{triangle

ABC}=frac{1}{2}|vec{a}timesvec{b}|$.

13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为$frac{3}{4}$，则$n=4$.

14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为2个.

三、解答题

15.对于函数$f(x)$，若$f(x)=x$，则称$x$为$f(x)$的“不动点”，若$f(f(x))=x$，则称$x$为$f(x)$的“稳定点”，函数$f(x)$的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为$A$和$B$，即$A={x|f(x)=x}$，$B={x|f[f(x)]=x}$.

1).证明：$Asubseteq B$.

证明：对于任意$xin A$，即$f(x)=x$，则$f(f(x))=f(x)=x$，即$xin B$，故$Asubseteq B$.

2).若$f(x)=ax-1(ain R,xin R)$，且$A=Bneqemptyset$，求实数$a$的取值范围.

设$x_0$为$f(x)$的不动点，则$a(x_0-1)=x_0$，即$x_0=frac{a}{a-1}$，又因为$x_0$是$f(f(x))=x$的稳定点，所以$f(x_0)=x_0$，即$aleft(frac{a}{a-1}right)-1=frac{a}{a-1}$，解得$a=-frac{1}{2}$，故$a=-frac{1}{2}$时，XXX.

16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？

组 |上衣(件)|裤子(条)|

A |20 |30 |

B |25 |25 | C |30 |20 |

D |35 |15 |

设组A生产$x$套上衣，$y$套裤子，同理可设组B、C、D分别生产$u,v$套和$t,w$套，则有：

begin{cases}

x+yleq 20

u+vleq 25

t+wleq 35

x+u+tleq 30

y+v+wleq 20

x+v+wleq 25

u+y+tleq 15

end{cases}$$

将上述7个不等式相加，得：

2(x+y+u+v+t+w)leq 170$$

即$x+y+u+v+t+wleq 85$，故4个组最多能生产85套上衣和85套裤子，即最多能生产85套配套服装. 17.设数列${a_n}$满足条件：$a_1=1$，$a_2=2$，且$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n(n=1,2,3,cdots)$，求证：对于任何正整数$n$，都有$na_{n+1}geq 1+frac{a_n}{8}$.

证明：对于任意正整数$n$，有：

na_{n+1}=n(a_n+a_{n-1})=(n-1)a_{n+1}+a_{n+1}+na_{n-1}$$

又因为$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，所以$a_n=a_{n+2}-a_{n+1}$，代入上式得：

na_{n+1}=(n-1)a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+1}+na_{n-1}$$

na_{n+1}=na_{n-1}+(n-2)a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+1}$$

na_{n+1}geq na_{n-1}+(n-2)a_{n+1}$$

na_{n+1}geq (n-1)a_{n+1}+(n-2)a_{n+1}$$

na_{n+1}geq (2n-3)a_{n+1}$$

a_{n+1}geqfrac{1}{n-frac{3}{2}}a_{n}$$

又因为$a_1=1$，$a_2=2$，所以$a_ngeqfrac{1}{n}a_{n-1}$，代入上式得：

a_{n+1}geqfrac{1}{n-frac{3}{2}}cdotfrac{1}{n-1}a_{n-2}geqfrac{1}{n-frac{3}{2}}cdotfrac{1}{n}a_{n-3}geqcdotsgeqfrac{1}{n-frac{3}{2}}cdotfrac{1}{n-1}cdotsfrac{1}{3}a_1$$ a_{n+1}geqfrac{1}{n-frac{3}{2}}cdotfrac{1}{n-1}cdotsfrac{1}{3}$$

当$ngeq 4$时，$frac{1}{n-frac{3}{2}}cdotfrac{1}{n-1}cdotsfrac{1}{3}>frac{1}{8}$，故$na_{n+1}geq

1+frac{a_n}{8}$对于任何正整数$n$均成立.

18.在周长为定值的$triangle ABC$中，已知$|AB|=6$，且当顶点$C$位于定点$P$时，$cos C$有最小值为$-frac{1}{3}$.

1).建立适当的坐标系，求顶点$C$的轨迹方程.

设$angle BAC=alpha$，则由余弦定理得：

cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=frac{c^2+36-a^2}{2ccdot 6}$$

c^2-12ccosalpha+a^2-36=0$$

当$cos C$有最小值$-frac{1}{3}$时，$c=3$，代入上式得：

a^2-27=0$$

a=sqrt{27}=3sqrt{3}$$

设点$A$的坐标为$(0,0)$，点$B$的坐标为$(6,0)$，则点$C$的坐标为$(x,y)$，由余弦定理得：

x^2+y^2-6x=frac{27}{4}$$

y=pmsqrt{frac{27}{4}-x^2+6x}$$ 故顶点$C$的轨迹方程为$(x-3)^2+y^2=frac{27}{4}$.

2).过点$A$作直线与(1)中的曲线交于$M$、$N$两点，求$|BM|cdot|BN|$的最小值的集合.

设点$M$的坐标为$(m,n)$，则直线$AM$的方程为$y=frac{n}{m}x$，代入(1)中的轨迹方程得：

x-3)^2+left(frac{n}{m}xright)^2=frac{27}{4}$$

化XXX：

4m^2+n^2)x^2-24mx+27=0$$

由于$xneq 0$，故上式有实数解的充要条件是判别式$Deltageq 0$，即：

Delta=576m^2-4(4m^2+n^2)27geq 0$$

m^2geqfrac{27}{4n^2-144}$$

又因为$M$在直线$AM$上，故$frac{n}{m}x=frac{n}{m}m=n$，故$M$的坐标为$(m,n)=left(m,frac{n}{m}mright)$，点$N$的坐标为$(6-m,frac{n}{m}(6-m))$，故$|BM|cdot|BN|$的平方为：

begin{aligned}|BM|cdot|BN|&=left(sqrt{(m-6)^2+left(n-frac{n}{m}mright)^2}right)left(sqrt{m^2+left(n-frac{n}{m}(6-m)right)^2}right) sqrt{m^2left((m-6)^2+(n-m)^2right)left(m^2+(n-m)^2right)}

end{aligned}$$

由于$m^2geqfrac{27}{4n^2-144}$，故$|BM|cdot|BN|$的平方为：

begin{aligned}|BM|cdot|BN|&geqsqrt{frac{27}{4n^2-144}left(frac{27}{4n^2-144}((m-6)^2+(n-m)^2)(m^2+(n-m)^2)right)}

frac{27}{2sqrt{3}(n^2-12)}sqrt{(n^2-3m^2)^2+(6n^2-24nm+5m^2)^2}

end{aligned}$$

令$f(m,n)=(n^2-3m^2)^2+(6n^2-24nm+5m^2)^2$，则$|BM|cdot|BN|$的平方为$frac{27}{2sqrt{3}(n^2-12)}sqrt{f(m,n)}$，要使$|BM|cdot|BN|$最小，只需使$f(m,n)$最小，故问题转化为求$f(m,n)$的最小值.

设$g(m,n)=n^2-3m^2$，$h(m,n)=6n^2-24nm+5m^2$，则$f(m,n)=g^2(m,n)+h^2(m,n)$，对$g(m,n)$求偏导数，得：

frac{partial g}{partial m}=-6m, frac{partial g}{partial

n}=2n$$ 令$frac{partial g}{partial m}=0$，$frac{partial

g}{partial n}=0$，解得$m=0$，$n=0$，故$g(m,n)$在原点处取得最小值0.

对$h(m,n)$求偏导数，得：

frac{partial h}{partial m}=10m-24n, frac{partial

h}{partial n}=12n-24m$$

令$frac{partial h}{partial m}=0$，$frac{partial

h}{partial n}=0$，解得$m=frac{5}{3}$，$n=frac{5}{2}$，故$h(m,n)$在点$left(frac{5}{3},frac{5}{2}right)$处取得最小值$-frac{1}{6}$.

故$f(m,n)$的最小值为$left(-frac

剔除后的文章：

参考答案

一、选择题：ADCBC CCCBA

二、填空题：

11.25 12.1

a|·|b|)2-(a·b)2

13.4

14.1/2

三、解答题：

15.证明：

1) 若A=φ，则A⊆B显然成立；

若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t，即t∈B，从而A⊆B.

2) 解：

A中元素是方程f(x)=x即ax⁻¹=x的实根.

由A≠φ，知a=0或a≠0且Δ=1+4a≥0。

即a≥-(1/4).

B中元素是方程a(ax⁻¹)-1=x即ax⁻²-ax+x-a⁻¹=0的实根

由A⊆B，知上方程左边含有一个因式ax-x-1，即方程可化为

ax-x-1)(ax+ax-a+1)=0

因此，要A=B，即要方程ax+ax-a+1=① 要么没有实根，要么实根是方程ax-x-1=②的根.

若①没有实根，则Δ=4a(1-a)<0，由此解得a<-(1/4).

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有ax=ax+a，代入①有2ax+1=0.

再代入②得a²-a+1=0，由此解得a=1.

故a的取值范围是[-(1/4),1].

16.解：

A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：6:7、8:11、9:10、7:12，且

6x+8y+7(7-x-y)+9(7-x-y)>11(7-x-y)+10x+12y ①

由此解得x=-(1/6)y+(49/24)

只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.

由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子；D组做7天上衣，C组做7天裤子.

则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)

依题意，有42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即y=9-(6/7)x

令μ=42+8x+9y=42+8x+9(9-(6/7)x)=123+(8/7)x 因为-(7/6)≤x≤7，所以，当x=7时，此时y=3，μ取得最大值，即μmax=125.

因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.

17.证明：令a=1，则有a^k+1=2^(k+1)sin(π/(k+1))≥0，即a^k≥-1，即a^k+1≥0，得证.

根据题意，当y≠k+1时，不存在M、N使得|BM|×|BN|的最小值集合非空。

证明：已知sinα+sinβ+sinγ=1，且α、β、γ∈(0,π/2)。因此，sinα=1-sinβ-sinγ=2cos(β+γ)cos(β-γ)。

由于cos(β-γ)>cos(β+γ)，所以sinα>cos(β+γ)=sin(π/2-(β+γ))。当β+γ≥π/2时，α+β+γ>π/2；当β+γπ/2-(β+γ)，同样有α+β+γ>π/2.

另一方面，不妨设α≥β≥γ，则sinα≥1/3，sinγ≤1/3.令sinα1=2/3，sinγ1=1/3-sin2β，则sinα1+sinβ+sinγ1=1，且sin2β=cos(α+γ)cos(α-γ)=cos(α+γ)/cos(α-γ)≥1.因此，cos(α+γ)≥cos(α-γ)，所以α+γ≤α1+γ1. 如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使α1+β1+γ1增大。因此，当α=β=γ=arcsin(1/3)时，α+β+γ取最大值3arcsin(1/3)。

综上可知，π/2<α+β+γ≤3arcsin(1/3)。