2024年3月16日发(作者：2下青岛数学试卷)

十一 几何综合探究题

满分训练

类型1 探究线段长度的极值和定值问题

1.（2018·某高新一中模拟）如图，直线l外有一点D,D到直线l的距离是5，在△ABC中，

∠ABC=90°，AB=6,tan∠CAB=

多少？

1

,边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD的周长的最小值是

3

2.（2018·某铁一中模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E，F分别是AB，CD上的动

点，且EF⊥AC,连接EC，FA,求EC+FA的最小值是多少。

1

3.（2018·某交大附中模拟）在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC=4,D是AB的中点，P是平面

上一点，且DP=1,连接BP，CP,将线段PB绕点P顺时针旋转90°，得到线段PB′,连接AB′,

则AB′的最大值为多少？

4.（2018·某工大附中模拟）（1）如图①，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=

∠CDE=90°，AB=AC=3,DE=CD=1,连接AD,BE,求

AD

。

BE

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4,过点A作AM⊥AB,P是射线AM

上一动点，连接CP,作CQ⊥CP,交线段AB于点Q,求PQ的最小值。

(3)小姜准备加工一个四边形零件，如图③，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4,

∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD。请你帮小姜求出这个零件的对角线BD的最大值。

2

类型2 探究图形面积的最值问题

5.【问题提出】

(1)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8,△ABC的最大面积是 。

(2)如图②，在菱形ABCD中，对角线AC+BD=14,求菱形的最大面积。

【问题解决】

(3)如图③，赵师傅用一个半径为a的圆形板材，想制作一个面积最大的矩形。能否裁出？

若能，请算出这个矩形的最大面积；若不能，请说明理由。

6.（2018·某工大附中模拟）【问题探究】

（1）如图①，在矩形ABCD中，P是AB上一点，请在AD上求作一点Q，使∠QPC=60°。

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=7,P是AB上一点，且AP=3,E是BC上一点，且BE=43,

点Q在AD边上，且∠QPE=60°，求△PQE的面积。

【问题解决】

（3）为了积极响应政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区建造如图③的休

闲广场。在矩形ABCD中，AB=100米，BC=180米，P为AB上一点，且AP∶PB=2∶3,E为BC

上一点，点Q在AD边上，且满足∠QPE=60°，其中△APQ，△BPE为景观绿化区，四边形CDQE

为健身休闲区，△PQE为商业活动区，为了更好地服务于广大业主，希望极大地减少商业服

务区的面积，那么按此要求修建的商业活动区△PQE是否存在最小面积？如果存在，求出最

小面积；如果不存在，说明理由。

3

7.（2018·某高新一中模拟）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3,∠BAD=∠

BCD=90°，∠ADC=60°，则四边形ABCD的面积为多少？

（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=2

2

，BC=3,在

AD，CD上分别找一点E，F,使△BEF的周长最小，并求出最小周长。

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=BC=2,AD=CD=3,∠ABC=150°，∠BCD=90°，在四边形

ABCD中（包括边缘）是否存在一点E,使∠AEC=30°，且使四边形ABCE的面积最大？若存在，

找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由。

8.（2018·某高新一中模拟）如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相

等，那么我们把这样的四边形称为“等角线四边形”。

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中 是“等角线四边形”(填写图形名称)；

②若M,N,P,Q分别是等角线四边形ABCD四边AB,BC,CD,DA的中点，当对角线AC,BD还要满

足 时四边形MNPQ是正方形。

(2)如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D为平面内一点，若四边形ABCD是等角

线四边形，且AD=BD，求四边形ABCD的面积。

（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=4,点E是以C为圆心1为半径的圆上一动

点，D为平面内一动点，若四边形ABED是“等角线四边形”，求四边形ABED的面积的最大

值，并说明理由。

4

类型3 探究图形面积的分割问题

9.【问题探究】

（1）如图①，点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l

1

，使其将平行四边形

ABCD分成面积和周长分别相等的两部分。

【问题探究】

（2）如图②，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半

轴上，点B的坐标为（8，6）。已知点P（6，7）为矩形外一点，请过点P画一条能将矩形

OABC分成面积和周长分别相等的两部分的直线l

2

，说明理由并求出直线l

2

被矩形OABC截得

的线段的长度。

【问题解决】

（3）如图③，在平面直角坐标系xOy中，五边形OABCD的边OA，OD分别在x轴、y轴的正

半轴上，DC∥x轴，AB∥y轴，且OA=OD=8，AB=CD=2，点P（10-5

2

，10-5

2

）为五边

形OABCD内一点。请问：是否存在过点P的直线l

3

，与边OA，BC分别交于点E，F，且将五

边形OABCD分成面积和周长分别相等的两部分?若存在，请求出点E和点F的坐标;若不存在，

请说明理由。

10.（2018·交大附中模拟）【问题探究】

（1）如图①，在平面直角坐标系内，M是边长为4的正方形ABCO边上一点，请过点M（0，

3）作一条直线，使它将正方形的面积二等分，求这条直线的解析式。

（2）如图②，在平面直角坐标系中有A（1,4）,B（4,0）两点，请过点C

3,

作一条直

4

3

5

线将△ABO的面积二等分，求这条直线的解析式。

【问题解决】

（3）农民张伯伯有一块四边形空地，如图③，在四边形ABCD中，AB=2 km,BC=4 km，∠BAD=90°,

∠BCD=90°,∠ABC=120°，张伯伯想过点C修一条路将四边形ABCD的面积等分为相等的两

部分。这样的路是否存在？若存在，求出路的长度；若不存在，请说明理由。

11.【问题探究】

定义：若一条直线平分任意一个几何图形的面积，则称这条直线为该几何图形的面积等分线。

（1）如图①，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；

①②③

第11题图

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S

△ABC

＜S

△ACD

，过点A画出四

边形ABCD的面积等分线，并写出理由。

【探索应用】

（3）小张有一块正方形的土地如图③，由于修建高速公路被占去一块三角形BCP区域。现

决定在DP右侧补给小张一块土地，补偿后，土地变为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD

的面积与原来正方形ABCD的面积相等且点M在射线BP上，请你在图中画出点M的位置，并

简要叙述其作法。

6

类型4 探究符合条件的点的问题

12.（2015·陕西中考）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，

AD=8，BC=12。

（1）如图①，M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为 。

（2）如图②，N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值。

（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存

在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。

7

13.（2014·陕西中考）【问题探究】

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4。如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，

那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP的长。

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E，F分别为边AB，AC

的中点。当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长。

问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点

M安装监控装置，用来监视边AB。现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达

到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270 m，AE=400 m，ED=285 m，CD=340 m，问：在线段

CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长;若不存在，请说明

理由。

8

参考答案

9

10


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面积,四边形,存在,问题